第14頁(yè)（共15頁(yè)）第二章有理數(shù)及其運(yùn)算（培優(yōu)卷）一．選擇題（共10小題）1．下列四個(gè)數(shù)中，最小的是（）A．1.25×106 B．1.15×106 C．1.25×105 D．1.15×1052．如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A，M，B分別表示數(shù)a+b，a，2a，若AM＞BM，則下列運(yùn)算結(jié)果一定是正數(shù)的是（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)﹣b C．a(chǎn)b D．|a|+b3．現(xiàn)有以下結(jié)論：①正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù)；②若兩個(gè)數(shù)的差是正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)；③任意一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；④若|a|＝|b|，則a＝b；⑤幾個(gè)非零有理數(shù)相乘，若負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則乘積為負(fù)數(shù)；⑥數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)是3或﹣3．其中正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．已知a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，則關(guān)于（b﹣c）2+4k的最值，下列說法正確的是（）A．有最小值1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最大值﹣15．設(shè)x＞0，y＞0，定義新運(yùn)算：x?y=x×yx+y，若a＞0，b＞0，A．a(chǎn)?（b×c）＝（a?b）×c B．a(chǎn)?（b?c）＝（a?b）?c C．a(chǎn)?（b+c）＝a?b+a?c D．a(chǎn)×（b?c）＝（a×b）?c6．將圖1中周長(zhǎng)為40的長(zhǎng)方形紙片剪成1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)正方形和5號(hào)長(zhǎng)方形，并將它們按圖2的方式放入周長(zhǎng)為58的長(zhǎng)方形中，則沒有覆蓋的陰影部分的周長(zhǎng)為（）A．44 B．48 C．46 D．507．已知a、b、c三個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷：①c＞﹣a；②a+b＞0；③abc＜0；④|b|＞|c|＞|a|中，結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．﹣a、b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞0，b＜0 B．a(chǎn)＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|9．“幻方”最早記載于春秋時(shí)期的《大戴禮記》中，現(xiàn)將數(shù)字1～9填入如圖所示的“幻方”中，使得每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)字的和都等于21，若每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)字的平方和分別記A、B、C，且A+B+C＝411．如果將交點(diǎn)處的三個(gè)圓圈填入的數(shù)字分別記作為x、y、x+y，則xy的值為（）A．6 B．10 C．14 D．1810．設(shè)A=48×(132-4+14A．18 B．20 C．24 D．25二．填空題（共5小題）11．某貨車運(yùn)送300顆西瓜，每顆西瓜的運(yùn)費(fèi)是1.5元，若摔裂一顆西瓜，不但沒有運(yùn)費(fèi)，還需要賠付10元，貨車司機(jī)一共獲得運(yùn)費(fèi)415.5元，摔裂的西瓜有顆．12．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是．13．已知x1，x2滿足x12-2x1x2+2x2214．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，則yx＝．15．下列說法：①若a+b＝0，則ab=-1；②若a+b＜0，且ba＞0，則|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，則（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，則三．解答題（共7小題）16．簡(jiǎn)算：（1）(-7（2）(1（3）-5×(-71（4）361217．規(guī)定一種新的運(yùn)算：a*b＝ab﹣a﹣b2．例如3*（﹣4）＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）2＝﹣31．請(qǐng)用上面規(guī)定計(jì)算下列各式：（1）1*5；（2）（﹣5）*[3*（﹣1）]．18．我校開展陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)，是為切實(shí)推動(dòng)億萬(wàn)學(xué)生陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)的廣泛開展，吸引廣大青少年學(xué)生走向操場(chǎng)，積極參加體育鍛煉．小梅為響應(yīng)號(hào)召，決定每天練習(xí)跳繩．小梅以1分鐘跳172個(gè)為目標(biāo)，并把10次1分鐘跳繩的數(shù)量記錄如表（超過172個(gè)的部分記為“+”，少于172個(gè)的部分記為“﹣”）：與目標(biāo)數(shù)量的差值（單位：個(gè)）﹣8﹣6﹣3+2+8次數(shù)32212（1）小梅在這10次跳繩練習(xí)中，1分鐘最多跳多少個(gè)？（2）小梅在這10次跳繩練習(xí)中，1分鐘跳繩個(gè)數(shù)最多的一次比最少的一次多幾個(gè)？（3）小梅在這10次跳繩練習(xí)中，累計(jì)跳繩多少個(gè)？19．有一個(gè)像如圖那樣的長(zhǎng)方體容器，現(xiàn)在以每秒0.75升的速度向這個(gè)容器注水．容器的底面有一塊隔板（垂直于底面，不考慮厚度），將容器隔為A、B兩個(gè)部分．B部分有一個(gè)洞，水按一定的流量往下漏．圖①是表示從注水開始A部分的水的高度變化的圖象．回答下面的問題：（1）求圖①中D表示的數(shù)；（2）從B的洞中每秒鐘流出來(lái)多少升水；（3）求圖①中P、Q表示的數(shù)．20．一個(gè)商場(chǎng)打折銷售，規(guī)定購(gòu)買200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如購(gòu)買500元以上的商品，就把500元以內(nèi)（包括500元）的打九折，超出的打八折，一個(gè)人買了兩次，分別用了198元、466元，那么如果他一次購(gòu)買這些商品的話，可節(jié)省多少元？21．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)P表示的數(shù)是（用含t的代數(shù)式表示）；（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)．求：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度？22．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在數(shù)軸上表示5的點(diǎn)與原點(diǎn)（即表示0的點(diǎn)）之間的距離．又如式子|6﹣3|，它在數(shù)軸上的意義是表示6的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離．即點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，則A、B兩點(diǎn)的距離可表示為：|AB|＝|a﹣b|．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)x和﹣1．①用代數(shù)式表示A、B兩點(diǎn)之間的距離；②如果|AB|＝2，求x的值．（3）直接寫出代數(shù)式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相應(yīng)的x的取值范圍．第二章有理數(shù)及其運(yùn)算（培優(yōu)卷）答案一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案DBCBBBBCDD1．解：A：1.25×106，其中n＝6．B：1.15×106，其中n＝6．C：1.25×105，其中n＝5．D：1.15×105，其中n＝5．因?yàn)?＜6，所以1.25×105和1.15×105小于1.25×106和1.15×106．∵1.15＜1.25，∴1.15×105＜1.25×105．故選：D．2．解：AM＝a﹣（a+b）＝﹣b＞0，BM＝2a﹣a＝a＞0，∵AM＞BM，∴﹣b＞a，∴﹣b﹣a＞0，即﹣（a+b）＞0，∴a+b＜0，∴A不符合題意；∵﹣b＞a，∴a﹣b＞2a，∵a＞0，∴a﹣b＞0，∴B正確，符合題意；∵﹣b＞0，∴b＜0，∵a＞0，∴ab＜0，∴C不符合題意；∵a＞0，∴|a|+b＝a+b，∵a+b＜0，∴|a|+b＜0，∴D不符合題意．故選：B．3．解：①∵正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0可以統(tǒng)稱為有理數(shù)，∴①說法正確；②∵若兩個(gè)數(shù)的差是正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)不一定都是正數(shù)，比如：5﹣（﹣1）＝6，∴②的說法錯(cuò)誤；③∵每個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，∴③的說法正確；④∵若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b，∴④的說法錯(cuò)誤；⑤∵多個(gè)數(shù)相乘法則：幾個(gè)非零有理數(shù)相乘，若負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則乘積為負(fù)數(shù)，∴⑤的說法正確；⑥∵數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)是3或﹣3，∴⑥的說法正確，綜上可知：說法正確的有4個(gè)，故選：C．4．解：∵a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，∴a﹣c＝3k，a﹣b＝k，∴b﹣c＝2k，∴(b-c)有最小值﹣1，故選：B．5．解：∵a?（b×c）=abc（a?b）×c=aba+b×∴A不符合題意；∵a?（b?c）＝a?bcb+c（a?b）?c=aba+b?c∴B符合題意；∵a?（b+c）=a(b+c)a?b+a?c=ab∴C不符合題意；∵a×（b?c）＝a×bc（a×b）?c=abc∴D不符合題意．故選：B．6．解：設(shè)1號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為x，2號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為y，則3號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為x+y，4號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為2x+y，5號(hào)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3x+y，寬為y﹣x，如圖1中是周長(zhǎng)為40的長(zhǎng)方形，可得y+（3x+y）+y+x+y＝20，解得：x+y＝5，將A、B、C、D四點(diǎn)在圖2中標(biāo)出，如圖所示，如圖，圖2中長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為58，∴AB+x+y+x+y+2x+y+y﹣x＝29，∴AB＝29﹣3x﹣4y，根據(jù)平移得，沒有覆蓋的陰影部分的周長(zhǎng)是如圖中四邊形ABCD的周長(zhǎng)，∴2（AB+AD）＝2×（29﹣3x﹣4y+x+y+2x+y+y﹣x）＝2×（29﹣x﹣y）＝58﹣2（x+y）＝58﹣2×5＝48，故選：B．7．解：根據(jù)題意得：b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|，∴c＞﹣a故①正確；|b|＞|c|＞|a|，故④正確；∴a+b＜0，故②錯(cuò)誤；abc＞0，故③錯(cuò)誤；所以結(jié)論正確的是①④，共2個(gè)．故選：B．8．解：由題意：﹣a＞0，b＜0，b的絕對(duì)值大于﹣a的絕對(duì)值．∵﹣a＞0，∴a＜0．∴A選項(xiàng)不正確．∵b的絕對(duì)值大于﹣a的絕對(duì)值，b＜0，a＜0，∴a＞b．∴B選項(xiàng)不正確．∵﹣a＞0，b＜0，∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．∴C選項(xiàng)正確．∵b的絕對(duì)值大于﹣a的絕對(duì)值，∴|b|＞|a|．∴D選項(xiàng)不正確．故選：C．9．解：∵每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)字的和都等于21，∴三個(gè)大圓圈上的數(shù)字之和為：21×3＝63，∵各小圓圈的數(shù)字之和為：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，為什么63≠45，這是因?yàn)閤、y、x+y都加了兩次，∴x+y+x+y＝63﹣45，∴2x+2y＝18，∴x+y＝9，∵A+B+C＝411，而各圓圈的數(shù)字的平方和為12+22+32+42+52+62+72+82+92＝285，為什么411≠285呢？這是因?yàn)槿切胃黜旤c(diǎn)處三個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)字的平方都加了兩次，∴（x+y）2+x2+y2＝411﹣285＝126，∴x2+2xy+y2+x2+y2＝156，∴2（x2+y2+xy）＝126，∴x2+y2+xy＝63，∵x+y＝9，∴（x+y）2＝92，∴x2+2xy+y2＝81，∴x2+y2＝81﹣2xy，將x2+y2＝81﹣2xy代入x2+y2+xy＝63得81﹣2xy+xy＝63，∴xy＝81﹣63＝18，∴xy＝18．故選：D．10．解：利用等式1n2-4A=48×(1＝48×14（＝12×（1-1＝12×[（1+12+＝12×（1+1而12×（1+1故選：D．二．填空題（共5小題）11．解：（1.5×300﹣415.5）÷（1.5+10）＝3（個(gè)）．故答案為：3．12．解：12∴點(diǎn)A所表示的數(shù)是5-故答案為：5-13．解：∵x12-2x1x2∴2x22-2x1x∴Δ=(2x1)2-4×2×（x12∴x1∴當(dāng)x12=4時(shí)，x1∴當(dāng)x1＝2時(shí)，代入方程得：4﹣4x2+2x22=2，即：x2∴(x∴x2﹣1＝0，∴x2＝1，∴==3當(dāng)x1＝﹣2時(shí)，代入方程得：4+4x2+2x22=2，即：x2∴(x∴x2+1＝0，∴x2＝﹣1，∴==綜上所述：=3；故答案為：3；14．解：∵x、y滿足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；則yx＝（﹣3）2＝9．故答案為：9．15．解：對(duì)于①：當(dāng)a＝b＝0時(shí)，ab故①錯(cuò)誤，不符合題意；對(duì)于②：∵ba∴ab同號(hào)，∵a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴a+3b＜0，∴|a+3b|＝﹣a﹣3b，故②正確，符合題意；對(duì)于③：若|a|＞|b|，則有四種情況，1°如數(shù)軸所示，此時(shí)a＞b＞0，∴a+b＞0，a﹣b＞0，∴（a+b）（a﹣b）＞0；2°如數(shù)軸所示，此時(shí)﹣a＜b＜0＜a，∴a+b＞0，a﹣b＞0，∴（a+b）（a﹣b）＞0；3°如數(shù)軸所示，此時(shí)a＜b＜0，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴（a+b）（a﹣b）＞0；4°如數(shù)軸所示，此時(shí)a＜0＜b＜﹣a，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴（a+b）（a﹣b）＞0；綜上，若|a|＞|b|，則（a+b）（a﹣b）＞0；故③正確，符合題意；對(duì)于④：∵a+b+c＜0，∴a、b、c中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)，∵ab＞0，∴ab同號(hào)，∵c＞0，∴a和b均為負(fù)數(shù)，∴|a|a故④正確，符合題意；綜上，正確的有②③④；故答案為：②③④．三．解答題（共7小題）16．解：（1）原式=-7（2）(＝14﹣15+13×60＝14×60﹣15×60+13×60＝15﹣12+20＝23；（3）-5×(-7=110＝﹣22；（4）36＝3612＝36×(-＝﹣312917．解：（1）1*5＝1×5﹣1﹣52＝5﹣1﹣25＝﹣21；（2）3*（﹣1）＝3×（﹣1）﹣3﹣（﹣1）2＝﹣3﹣3﹣1＝﹣7，（﹣5）*[3*（﹣1）]＝（﹣5）*（﹣7）＝（﹣5）×（﹣7）﹣（﹣5）﹣（﹣7）2＝35+5﹣49＝﹣9．18．解：（1）跳繩最多的一次為：172+8＝180（個(gè)），答：1分鐘最多跳180個(gè)；（2）8﹣（﹣8）＝16（個(gè)），答：1分鐘跳繩個(gè)數(shù)最多的一次比最少的一次多16個(gè)；（3）172×10﹣8×3﹣6×2﹣2×3+2×1+8×2＝1696（個(gè)），答：累計(jì)跳繩1696個(gè)．19．解：（1）0.75升＝750立方厘米，750×15÷25÷30＝15（厘米）；答：圖①中D表示的數(shù)是15；（2）30×15×15＝6750（立方厘米）；6750立方厘米＝6.75升，6.75÷（30﹣15）＝0.45（升/秒），0.75﹣0.45＝0.3（升/秒）．答：從B洞中每秒鐘流出0.3升水；（3）0.45升/秒＝450立方厘米/秒，P點(diǎn)表示的數(shù)是：30×（25+15）×（24﹣15）÷450+30＝54（秒）．Q點(diǎn)表示的數(shù)是：（70﹣54）×450÷[30×（25+15）]+24＝30（厘米）．答：P表示的數(shù)是54，Q表示的數(shù)是30．20．解：200×90%＝180（元），200元＞198元＞180元，∴第一次的原價(jià)就是198元，沒有打折；或者原價(jià)是198÷90%＝220元，∵500×90%＝450（元），466元＞450元，∴原價(jià)500元以內(nèi)支付450元，打八折后支付466﹣450＝16元，∴超過500元打八折的原價(jià)為：16÷80%＝20（元），∴第二次的原價(jià)為500+20＝520元．①當(dāng)原價(jià)是198+520＝718（元）時(shí)，打折后的支付：450+（718﹣500）×80%＝624.4（元）．節(jié)省（198+466）﹣624.4＝3