2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合練習(xí)題附答案解析一、平行四邊形1．操作與證明：如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論．結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是；結(jié)論2：DM、MN的位置關(guān)系是；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識(shí)證明出CE=CF，繼而證明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，從而證明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì)，及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE，交MD于點(diǎn)G，標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等證出AE=AF，而DM=AF，從而得到DM，MN數(shù)量相等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān)系得到∠DMN=∠DGE=90°．從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，DM、MN的位置關(guān)系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，∴AF=2DM，∵M(jìn)N是△AEF的中位線，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立，連接AE，交MD于點(diǎn)G，∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可證：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵M(jìn)N∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立.考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.三角形中位線定理；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．2．如圖，在等腰中，，點(diǎn)E在AC上且不與點(diǎn)A、C重合，在的外部作等腰，使，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．請(qǐng)直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系；將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖，連接AE，請(qǐng)判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若，，在圖的基礎(chǔ)上將繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形時(shí)，直接寫出線段AE的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明見解析；（2）①②或.【解析】【分析】如圖中，結(jié)論：，只要證明是等腰直角三角形即可；如圖中，結(jié)論：，連接EF，DF交BC于K，先證明≌再證明是等腰直角三角形即可；分兩種情形a、如圖中，當(dāng)時(shí)，四邊形ABFD是菱形、如圖中當(dāng)時(shí)，四邊形ABFD是菱形分別求解即可.【詳解】如圖中，結(jié)論：．理由：四邊形ABFD是平行四邊形，，，，，，，是等腰直角三角形，．故答案為．如圖中，結(jié)論：．理由：連接EF，DF交BC于K．四邊形ABFD是平行四邊形，，，，，，，，，，，在和中，，≌，，，，是等腰直角三角形，．如圖中，當(dāng)時(shí)，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H，易知，，，如圖中當(dāng)時(shí)，四邊形ABFD是菱形，易知，綜上所述，滿足條件的AE的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點(diǎn)，屬于中考常考題型．3．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．【答案】(1)見解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DCO，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵AO=CO，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對(duì)角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．4．如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求證：AF=BF+EF．【答案】詳見解析.【解析】【分析】由四邊形ABCD為正方形，可得出∠BAD為90°，AB=AD，進(jìn)而得到∠BAG與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代換可得證.【詳解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF與△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴BF=AE．∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF．點(diǎn)睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON，使點(diǎn)N在格點(diǎn)上，且∠MON=90°；（2）在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）．【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)O向線段OM作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N，連接MN即可；（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可．試題解析：（1）過點(diǎn)O向線段OM作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N，連接MN，如圖1所示；（2）等腰直角三角形MON面積是5，因此正方形面積是20，如圖2所示；于是根據(jù)勾股定理畫出圖3：考點(diǎn)：1.作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；2.勾股定理.6．如圖①，在矩形中，點(diǎn)從邊的中點(diǎn)出發(fā)，沿著速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，，設(shè)的面積為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，與的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.(1)圖①中=，=，圖②中=.(2)當(dāng)=1秒時(shí)，試判斷以為直徑的圓是否與邊相切?請(qǐng)說明理由:(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，將矩形沿所在直線折疊，則為何值時(shí)，折疊后頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的一邊上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，證明見解析；（3）t=、5、.【解析】【分析】（1）由題意得出AB=2BE，t=2時(shí)，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11時(shí)，2t=22，得出BC=18，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P在E處，m=△AEQ的面積=AQ×AE=20即可；（2）當(dāng)t=1時(shí)，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出PQ=2，設(shè)以PQ為直徑的圓的圓心為O'，作O'N⊥BC于N，延長(zhǎng)NO'交AD于M，則MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，由三角形中位線定理得出O'M=AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圓O'的半徑，即可得出結(jié)論；（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上，A'落在BC邊上時(shí)，作QF⊥BC于F，則QF=AB=8，BF=AQ=10，由折疊的性質(zhì)得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出A'F==6，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，A'落在BC邊上時(shí)，由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP，證出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；③當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，A'落在CD邊上時(shí)，由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)P從AB邊的中點(diǎn)E出發(fā)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴AB=2BE，由圖象得：t=2時(shí)，BE=2×2=4，∴AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11時(shí)，2t=22，∴BC=22-4=18，當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P在E處，m=△AEQ的面積=AQ×AE=×10×4=20；故答案為8，18，20；（2）當(dāng)t=1秒時(shí)，以PQ為直徑的圓不與BC邊相切，理由如下：當(dāng)t=1時(shí)，PE=2，∴AP=AE+PE=4+2=6，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴PQ=，設(shè)以PQ為直徑的圓的圓心為O'，作O'N⊥BC于N，延長(zhǎng)NO'交AD于M，如圖1所示：則MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，∵O'為PQ的中點(diǎn)，∴O''M是△APQ的中位線，∴O'M=AP=3，∴O'N=MN-O'M=5＜，∴以PQ為直徑的圓不與BC邊相切；（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上，A'落在BC邊上時(shí)，作QF⊥BC于F，如圖2所示：則QF=AB=8，BF=AQ=10，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，由折疊的性質(zhì)得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，∴A'F==6，∴A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，A'落在BC邊上時(shí)，連接AA'，如圖3所示：由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP，∴∠APQ'=∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A'PQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP==6，又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；③當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，A'落在CD邊上時(shí)，連接AP、A'P，如圖4所示：由折疊的性質(zhì)得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA'==6，∴A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t，由勾股定理得：AP2=82+（2t-4）2，A'P2=22+（22-2t）2，∴82+（2t-4）2=22+（22-2t）2，解得：t=；綜上所述，t為或5或時(shí)，折疊后頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在矩形的一邊上．【點(diǎn)睛】四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象、直線與圓的位置關(guān)系、三角形中位線定理、等腰三角形的判定、以及分類討論等知識(shí).7．△ABC為等邊三角形，．．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若是的角平分線，連接，找出圖中所有的等腰三角形．【答案】(1)證明見解析；(2)圖中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【解析】【分析】（1）先求證BD∥AF，證明四邊形ABDF是平行四邊形，再利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分線段AC，進(jìn)而證明△DAC是等腰三角形，根據(jù)BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之間的關(guān)系,證明△DAE是等腰三角形，進(jìn)而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解題,見詳解.【詳解】(1)如圖1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴四邊形ABDF是菱形．(2)解：如圖2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，綜上所述，圖中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，屬于中考?？碱}型，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請(qǐng)直接寫出△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）12；探究：2或2．【解析】試題分析：（1）利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點(diǎn)，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC=A′D=2，過B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×2=2；②如圖2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C=BD=2，過C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面積是2或2．考點(diǎn)：四邊形綜合題．9．猜想與證明：如圖1，擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展與延伸：（1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為．（2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，證明見解析；（2）成立，證明見解析.【解析】試題分析：延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（1）、延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（2）、連接AE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根據(jù)RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根據(jù)RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，從而說明DM=ME.試題解析：如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如圖2，連接AE，∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一條直線上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考點(diǎn)：（1）、三角形全等的性質(zhì)；（2）、矩形的性質(zhì).10．如圖，拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)C作CE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求AC、BE的交點(diǎn)F的坐標(biāo)（3）若拋物線的頂點(diǎn)為D，連結(jié)DC、DE，四邊形CDEF是否為菱形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=x2+x﹣；（2）F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明見解析【解析】【分析】將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組求得該拋物線的解析式；根據(jù)（1）題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對(duì)稱軸方程以及B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，由CE∥x軸，可知C、E關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。根據(jù)A、C點(diǎn)求得直線AC的解析式，根據(jù)B、E點(diǎn)求出直線BE的解析式，聯(lián)立方程求得的解，即為F點(diǎn)的坐標(biāo)；由E、C、F、D的坐標(biāo)可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形．【詳解】（1）∵拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2+x﹣；（2）∵y=x2+x﹣，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣1，∵CE∥x軸，∴C、E關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∵C（0，﹣），∴E（﹣2，﹣），∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴B（1，0），設(shè)直線AC、BE解析式分別為y=kx+b，y=k′x+b′，則由題意可得，，解得，，∴直線AC、BE解析式分別為y=﹣x﹣，y=x﹣，聯(lián)立兩直線解析式可得，解得，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，∴D（﹣1，﹣2），∵F（﹣1，﹣1），∴DF⊥x軸，且CE∥x軸，∴DF⊥CE，∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），∴DF和CE互相平分，∴四邊形CDEF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與二元一次方程組．11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，AF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于F．求證：AE=AF．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等證得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根據(jù)ASA判定△ABF≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得AF=AE．【詳解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，又∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證明△ABF≌△ADE是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、D不重合），∠APE=90°，且點(diǎn)E在BC邊上，AE交BD于點(diǎn)F．（1）求證：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)DP=x，當(dāng)x為何值時(shí)，AE∥PC，并判斷此時(shí)四邊形PAFC的形狀．【答案】（1）見解析；（2）；（3）x=﹣1；四邊形PAFC是菱形．【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP°，再根據(jù)PB=PB，即可證出△PAB≌△PCB，②根據(jù)∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB，從而證出PE=PC；（2）根據(jù)PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根據(jù)∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求出；（3）先求出∠CPE=∠PEA=45°，從而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，從而證出BP=BC=1，x=﹣1，再根據(jù)AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，從而證出AF=AP=PC，得出答案．試題解析：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°．∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB（SAS）．②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90°，∴∠PAB+∠PEB=180°，又∵∠PEC+∠PEB=180°，∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值不改變．由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．∵PE=PC，∴PA=PE，又∵∠APE=90°，∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，∴=．（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45°，∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=（180°﹣45°）=67.5°．在△PBC中，∠BPC=（180°﹣∠CBP﹣∠PCE）=（180°﹣45°﹣67.5°）=67.5°．∴∠BPC=∠PCE=67.5°，∴BP=BC=1，∴x=BD﹣BP=﹣1．∵AE∥PC，∴∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四邊形PAFC是菱形．考點(diǎn)：四邊形綜合題．13．在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不須證明）（3）如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；（4）如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最小值．【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF；（2）是；（3）成立，理由見解析；（4）CP=QC﹣QP=．【解析】試題分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，所以點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接QC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，再由勾股定理可得QC的長(zhǎng)，再求CP即可．試題解析：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G，則∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如圖：由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，∴點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接QC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，在Rt△QDC中，QC=，∴CP=QC﹣QP=．考點(diǎn)：四邊形的綜合知識(shí)．14．已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第二象限內(nèi)左等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如圖1所示．（1）填空：AB=，BC=．（2）將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)AC與x軸平行時(shí)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到△BDE，如圖2所示，求過B、D兩點(diǎn)直線的函數(shù)關(guān)系式．③在②的條件下，旋轉(zhuǎn)過程中AC掃過的圖形的面積是多少？（3）將△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，點(diǎn)C′為直線AB上的一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出△ABC掃過的圖形的面積．【答案】（1）：5；5；（2）①（0，﹣2）；②直線BD的解析式為y=﹣x+3；③S=π；（3）△ABC掃過的面積為．【解析】試題分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理即可解答；（2）①因?yàn)锽（0，3），所以O(shè)B=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；②過點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，證明△AOB≌△CFA，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線AC解析式，根據(jù)AC∥BD，所以直線BD的解析式的k值與直線AC的解析式k值相同，設(shè)出解析式，即可解答．③利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出A，B，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案，再利用以BC為半徑90°圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90°圓心角的扇形面積求出答案；（3）利用平移的性質(zhì)進(jìn)而得出△ABC掃過的圖形是平行四邊形的面積．試題解析：（1）∵一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A（-4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3，在Rt△AOB中，AB=，∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，∴BC=；（2）①如圖1，∵B（0，3），∴OB=3，∵AB=5，∴AO=AB-BO=5-3=2，∴A（0，-2）．當(dāng)在x軸上方時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），②如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAO+∠CAF=90°，∵∠OBA+∠BAO=90°，∴∠CAF=∠OBA，在△AOB和△CFA中，，∴△AOB≌△CFA（AAS）；∴OA=CF=4，OB=AF=3，∴OF=7，CF=4，∴C（-7，4）∵A（-4，0）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入得：，解得：，則直線AC解析式為y=x，∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到△BDE，∴∠ABD=90°，∵∠CAB=90°，∴∠ABD=∠CAB=90°，∴AC∥BD，∴設(shè)直線BD的解析式為y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，∴直線BD的解析式為y=x+3；③因?yàn)樾D(zhuǎn)過程中AC掃過的圖形是以BC為半徑90°圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90°圓心角的扇形面積，所以可得：S=；（3）將△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC掃過的圖形是一個(gè)平行四邊形和三角形ABC，如圖3：將C點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=x+3，求得C′的橫坐標(biāo)為，平行四邊CAA′C′的面積為（7+）×4=，三角形ABC的面積為×5×5=△ABC掃過的面積