線性代數(shù)期末考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，則$A$的秩為（）A.0B.1C.2D.33.若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性相關(guān)，則（）A.至少有一個零向量B.至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)D.向量組中向量個數(shù)小于向量維數(shù)4.設(shè)$A$為$n$階方陣，且$\vertA\vert=0$，則（）A.$A$的列向量組線性無關(guān)B.$A$的行向量組線性無關(guān)C.方程組$Ax=0$有非零解D.方程組$Ax=b$有唯一解5.矩陣$A$的特征值為$1,2,3$，則$\vertA\vert$的值為（）A.6B.5C.7D.86.設(shè)$A$、$B$為$n$階方陣，且$AB=0$，則（）A.$A=0$或$B=0$B.$\vertA\vert=0$或$\vertB\vert=0$C.$A+B=0$D.$A$與$B$都不可逆7.向量$\alpha=(1,2,3)$與向量$\beta=(3,2,1)$的內(nèi)積為（）A.10B.12C.8D.148.若$A$為正交矩陣，則（）A.$A^TA=E$B.$A^T=-A$C.$\vertA\vert=-1$D.$A^2=E$9.設(shè)$A$為$3$階方陣，且$r(A)=2$，則齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.310.二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$的矩陣為（）A.$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是矩陣的運算（）A.加法B.減法C.乘法D.除法2.向量組線性相關(guān)的判定方法有（）A.向量組中含有零向量B.向量組的向量個數(shù)大于向量維數(shù)C.向量組的秩小于向量個數(shù)D.存在一組不全為零的數(shù)使線性組合為零向量3.關(guān)于矩陣的秩，正確的有（）A.初等變換不改變矩陣的秩B.矩陣的秩等于其行向量組的秩C.矩陣的秩等于其列向量組的秩D.零矩陣的秩為04.設(shè)$A$、$B$為$n$階方陣，下列等式成立的有（）A.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$B.$(AB)^T=B^TA^T$C.$\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert$D.$(A^{-1})^{-1}=A$（當$A$可逆時）5.方陣$A$可逆的充要條件有（）A.$\vertA\vert\neq0$B.$r(A)=n$C.$A$的列向量組線性無關(guān)D.存在方陣$B$，使得$AB=BA=E$6.下列哪些是二次型的標準形的特點（）A.只含平方項B.交叉項系數(shù)為0C.平方項系數(shù)為1或-1D.矩陣是對角矩陣7.設(shè)$\lambda$是矩陣$A$的特征值，對應(yīng)的特征向量為$\xi$，則（）A.$A\xi=\lambda\xi$B.$(\lambdaE-A)\xi=0$C.$\vert\lambdaE-A\vert=0$D.不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)8.正交矩陣具有以下性質(zhì)（）A.行列式的值為1或-1B.列向量組是單位正交向量組C.行向量組是單位正交向量組D.逆矩陣等于轉(zhuǎn)置矩陣9.齊次線性方程組$Ax=0$的解的性質(zhì)有（）A.若$\xi_1,\xi_2$是解，則$\xi_1+\xi_2$也是解B.若$\xi$是解，$k$是常數(shù)，則$k\xi$也是解C.基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)等于$n-r(A)$D.只有零解時，$r(A)=n$10.非齊次線性方程組$Ax=b$有解的判定條件有（）A.$r(A)=r(A|b)$B.$b$可由$A$的列向量組線性表示C.增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩D.系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩三、判斷題（每題2分，共10題）1.行列式的值與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等。（）2.若矩陣$A$、$B$可相乘，則$AB=BA$。（）3.向量組中向量個數(shù)小于向量維數(shù)時，向量組一定線性無關(guān)。（）4.可逆矩陣一定是方陣。（）5.矩陣$A$的特征值一定是實數(shù)。（）6.正交矩陣的列向量組是正交向量組。（）7.齊次線性方程組一定有解。（）8.二次型的標準形是唯一的。（）9.若矩陣$A$的秩為$r$，則$A$中存在一個$r$階子式不為零。（）10.兩個矩陣等價，則它們的秩相等。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求矩陣$A$的逆矩陣的方法。答案：可通過伴隨矩陣法，$A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^$（$\vertA\vert\neq0$）；也可用初等行變換，對$(A|E)$進行初等行變換化為$(E|A^{-1})$。2.說明向量組線性無關(guān)的定義。答案：對于向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$，若只有當$k_1=k_2=\cdots=k_m=0$時，$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$成立，則稱該向量組線性無關(guān)。3.什么是二次型的矩陣？答案：二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其矩陣$A=(a_{ij})$，$a_{ij}=a_{ji}$，$A$為實對稱矩陣。4.簡述矩陣的秩的概念。答案：矩陣$A$中不為零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣$A$的秩，記為$r(A)$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣可逆性與線性方程組解的關(guān)系。答案：若系數(shù)矩陣$A$可逆，對于線性方程組$Ax=b$，有唯一解$x=A^{-1}b$；若$A$不可逆，方程組可能無解或有無窮多解。2.探討特征值與特征向量在實際中的應(yīng)用。答案：在工程中可用于振動分析，如研究建筑物的振動特性；在圖像處理里可用于圖像壓縮，利用特征值和特征向量對圖像矩陣進行處理以減少數(shù)據(jù)量。3.論述正交矩陣在幾何中的意義。答案：正交矩陣對應(yīng)的線性變換保持向量的長度和夾角不變，在幾何上表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)、反射等正交變換，常用于圖形的旋轉(zhuǎn)、坐標系的變換等。4.談?wù)勏蛄拷M的線性相關(guān)性對數(shù)據(jù)處理的影響。答案：若數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量組線性相關(guān)，意味著存在冗余信息，可能導(dǎo)致模型過擬合；而線性無關(guān)的向量組可提供更有效的信息，有助于構(gòu)建更準確的模型。答案一、單項選擇題1.A2.C3.B4.C5.A6.B7.A8.A