高考平面向量真題分類(lèi)詳細(xì)解析平面向量作為高中數(shù)學(xué)的“橋梁性”工具，兼具代數(shù)的抽象運(yùn)算與幾何的直觀特征，在高考中常以小題綜合考查基礎(chǔ)運(yùn)算、大題結(jié)合三角/解析幾何考查綜合應(yīng)用的形式出現(xiàn)。本文結(jié)合近年高考真題，按題型分類(lèi)解析核心考點(diǎn)、解題思路與規(guī)律，助力考生構(gòu)建系統(tǒng)的向量解題體系。一、線(xiàn)性運(yùn)算與平面向量基本定理類(lèi)核心考點(diǎn)：向量的加減數(shù)乘（三角形/平行四邊形法則）、平面向量基本定理（基底分解）。真題示例（2023·新高考Ⅰ卷）在$\triangleABC$中，$D$為$BC$中點(diǎn)，$E$為$AD$上一點(diǎn)，滿(mǎn)足$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED}$。若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol$，用$\boldsymbol{a},\boldsymbol$表示$\overrightarrow{BE}$。解析思路1.中點(diǎn)公式：$D$為$BC$中點(diǎn)，故$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol$（平行四邊形法則的推論）。2.分點(diǎn)比例：由$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED}$，得$AE:ED=2:1$，因此$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol\right)=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol$。3.向量減法：$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$（三角形法則：$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$），代入得：$$\overrightarrow{BE}=\left(\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol\right)-\boldsymbol{a}=-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol$$解題規(guī)律線(xiàn)性運(yùn)算優(yōu)先用“首尾相接用加法，共起點(diǎn)用減法”的幾何法則，分點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合定比分點(diǎn)公式（或比例關(guān)系）?；追纸鈺r(shí)緊扣“平面向量基本定理”，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知基底的線(xiàn)性組合（系數(shù)唯一）。二、數(shù)量積與模長(zhǎng)問(wèn)題類(lèi)核心考點(diǎn)：數(shù)量積的定義（$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|\cos\theta$）、坐標(biāo)運(yùn)算（$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1),\boldsymbol=(x_2,y_2)\Rightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=x_1x_2+y_1y_2$）、模長(zhǎng)公式（$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}$）。真題示例（2022·全國(guó)甲卷）已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol$滿(mǎn)足$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol|=3$，且$\boldsymbol{a}$與$\boldsymbol$的夾角為$60^\circ$，求$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|$。解析思路求模長(zhǎng)的核心技巧是“模長(zhǎng)平方=向量自身的數(shù)量積”，避免直接開(kāi)方運(yùn)算：1.平方轉(zhuǎn)化：$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|^2=(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol)\cdot(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol)$。2.展開(kāi)運(yùn)算：根據(jù)數(shù)量積的分配律，展開(kāi)得：$$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|^2=4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+\boldsymbol\cdot\boldsymbol$$3.代入已知：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2=1$，$\boldsymbol\cdot\boldsymbol=|\boldsymbol|^2=9$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|\cos60^\circ=1\times3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。4.計(jì)算結(jié)果：代入得$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|^2=4\times1-4\times\frac{3}{2}+9=7$，故$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol|=\sqrt{7}$。解題規(guī)律求模長(zhǎng)：優(yōu)先用“模長(zhǎng)平方=向量自身數(shù)量積”轉(zhuǎn)化，減少開(kāi)方運(yùn)算的復(fù)雜度。數(shù)量積計(jì)算：幾何背景明顯（夾角已知）用定義，坐標(biāo)已知/易建系用坐標(biāo)法。垂直（$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=0$）、平行（$\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol\Leftrightarrowx_1y_2-x_2y_1=0$）問(wèn)題，直接結(jié)合坐標(biāo)條件列式。三、坐標(biāo)運(yùn)算與幾何綜合類(lèi)核心考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示（將幾何圖形“坐標(biāo)化”）、向量與幾何圖形（三角形、四邊形、圓）的位置關(guān)系。真題示例（2021·新高考Ⅱ卷）在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，已知$A(1,0)$，$B(0,1)$，$C(2,5)$。(1)若$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol$，且$\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}$（$\boldsymbol{e_1}=(1,1)$，$\boldsymbol{e_2}=(1,-1)$），求$x,y$；(2)若$D$為$BC$中點(diǎn)，求$\overrightarrow{AD}$的坐標(biāo)。解析思路第(1)問(wèn)：基底分解的坐標(biāo)運(yùn)算求$\boldsymbol{a},\boldsymbol$的坐標(biāo)：$\overrightarrow{AB}=(0-1,1-0)=(-1,1)$，$\overrightarrow{AC}=(2-1,5-0)=(1,5)$?；追纸猓?\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}$即$(-1,1)=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y)$，列方程組：$$\begin{cases}x+y=-1\\x-y=1\end{cases}$$解得$x=0$，$y=-1$。第(2)問(wèn)：中點(diǎn)坐標(biāo)與向量坐標(biāo)中點(diǎn)公式：$B(0,1)$，$C(2,5)$，故$D$的坐標(biāo)為$\left(\frac{0+2}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(1,3)$。向量坐標(biāo)：$\overrightarrow{AD}=(1-1,3-0)=(0,3)$。解題規(guī)律幾何圖形規(guī)則（如三角形、矩形、坐標(biāo)系中已知點(diǎn)）時(shí)，優(yōu)先建立平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)、向量“坐標(biāo)化”，用代數(shù)運(yùn)算替代幾何分析。中點(diǎn)、分點(diǎn)問(wèn)題直接用坐標(biāo)公式（中點(diǎn)：$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$；分點(diǎn)：$\left(\frac{\lambdax_2+x_1}{\lambda+1},\frac{\lambday_2+y_1}{\lambda+1}\right)$，其中$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$）。四、最值與范圍問(wèn)題類(lèi)核心考點(diǎn)：結(jié)合函數(shù)、不等式、幾何意義（投影、模長(zhǎng)限制）求向量相關(guān)的最值（數(shù)量積、模長(zhǎng)、夾角等）。真題示例（2022·浙江卷）設(shè)$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$為單位向量，滿(mǎn)足$|\boldsymbol{e_1}+2\boldsymbol{e_2}|\leq\sqrt{2}$，$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}$，$\boldsymbol=3\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}$，求$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol$的最大值。解析思路步驟1：數(shù)量積展開(kāi)$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=(\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2})\cdot(3\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2})=3\boldsymbol{e_1}^2+4\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_2}+\boldsymbol{e_2}^2$。由$\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$為單位向量，得$\boldsymbol{e_1}^2=\boldsymbol{e_2}^2=1$，因此$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=4+4\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_2}$。步驟2：利用模長(zhǎng)限制求$\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_2}$的范圍由$|\boldsymbol{e_1}+2\boldsymbol{e_2}|\leq\sqrt{2}$，平方得：$$|\boldsymbol{e_1}+2\boldsymbol{e_2}|^2=(\boldsymbol{e_1}+2\boldsymbol{e_2})\cdot(\boldsymbol{e_1}+2\boldsymbol{e_2})\leq2$$展開(kāi)得$\boldsymbol{e_1}^2+4\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_2}+4\boldsymbol{e_2}^2\leq2$，代入$\boldsymbol{e_1}^2=\boldsymbol{e_2}^2=1$，得：$$1+4\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_2}+4\leq2\Rightarrow\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_2}\leq-\frac{3}{4}$$步驟3：求$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol$的最大值由$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=4+4\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_2}$，結(jié)合$\boldsymbol{e_1}\cdot\boldsymbol{e_2}\leq-\frac{3}{4}$，得：$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol\leq4+4\times\left(-\frac{3}{4}\right)=1$$解題規(guī)律向量最值問(wèn)題常用方法：坐標(biāo)法：將向量坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值（如二次函數(shù)、三角函數(shù)值域）。幾何意義法：利用向量的投影、模長(zhǎng)的幾何限制（如圓上的點(diǎn)），結(jié)合圖形分析。不等式法：結(jié)合均值不等式、柯西不等式等，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式求范圍。五、與其他知識(shí)綜合類(lèi)（三角、解析幾何）平面向量常作為工具，與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合考查“綜合應(yīng)用能力”，核心是“向量關(guān)系→代數(shù)/幾何條件”的轉(zhuǎn)化。1.與三角函數(shù)綜合（以解三角形為例）真題示例（2019·江蘇卷）在$\triangleABC$中，$AB=4$，$AC=3$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$在邊$BC$上，且$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，求$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}$的值。解析思路（坐標(biāo)法）建系：設(shè)$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(0,3)$，則$\overrightarrow{BC}=(-4,3)$。分點(diǎn)坐標(biāo)：$D$分$BC$為$BD:DC=2:1$，由分點(diǎn)公式得$D\left(\frac{4+2\times0}{3},\frac{0+2\times3}{3}\right)=\left(\frac{4}{3},2\right)$。向量坐標(biāo)：$\overrightarrow{AD}=\left(\frac{4}{3},2\right)$，$\overrightarrow{BC}=(-4,3)$。數(shù)量積：$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{4}{3}\times(-4)+2\times3=-\frac{16}{3}+6=\frac{2}{3}$。2.與解析幾何綜合（以橢圓為例）真題示例（2021·浙江卷）已知橢圓$\frac{x^2}{4}+y^2=1$的左焦點(diǎn)為$F$，過(guò)$F$的直線(xiàn)交橢圓于$A,B$兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}$（$\lambda\in[1,2]$），求弦$AB$中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍。解析思路（參數(shù)法+韋達(dá)定理）橢圓焦點(diǎn)：左焦點(diǎn)$F