高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省N20名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?且.即的取值范圍為.故選：D.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，故故選：A.3.若數(shù)列滿足，則該數(shù)列前12項(xiàng)和（）A.22 B.32 C.42 D.53【答案】C【解析】因?yàn)椋傻炔钪许?xiàng)的性質(zhì)知數(shù)列為等差數(shù)列，∴，.故選：C.4.已知是兩個(gè)單位向量，在上的投影向量為，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因在上的投影向量為，則，依題意，所以，因向量在向量上的投影向量為，由，故向量在向量上的投影向量為.故選：C.5.除以7的余數(shù)為（）A.3 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】，前面10項(xiàng)都是7的倍數(shù)，最后一項(xiàng)不是7的倍數(shù)，除以7的余數(shù)為除以7的余數(shù)，又除以7的余數(shù)為2，故除以7的余數(shù)為2.故選：B.6.已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因是定義在上的奇函數(shù)，則，由可得，即，則得，故4是函數(shù)的一個(gè)周期.因當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，于是，.故選：B.7.已知橢圓的上頂點(diǎn)，左頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別是，直線均與橢圓相切，則菱形周長的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】橢圓具有對(duì)稱性，不妨討論與相切在第一象限情況.設(shè)與相切于，切線方程：.，又，，，當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，菱形周長的取值范圍是.故選：D.8.小朋友們?cè)谌鐖D所示的正八邊形的游樂場玩丟手絹.場地被等分成8段（標(biāo)記為到），每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)小朋友，小明從點(diǎn)處開始選擇順時(shí)針或逆時(shí)針方向在8個(gè)小朋友身后放手絹，小明每跑完一段（例如）需要3秒，在每個(gè)點(diǎn)都會(huì)隨機(jī)選擇順時(shí)針或逆時(shí)針方向繼續(xù)跑動(dòng).若小明一直不停下來，21秒恰好在點(diǎn)的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】小明21秒后恰好停在，則小明不停狀態(tài)下走了7段路恰好停在點(diǎn)，有以下情況:（1）從處順時(shí)針走6步返回1步，即順時(shí)針走6段小路，逆時(shí)針走1段小路，此情況有種可能；（2）從處逆時(shí)針走5步返回2步，即順時(shí)針走2段小路，逆時(shí)針走5段小路，此情況有種可能；由（1）（2）可知所求概率為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（）A.B.C.隨機(jī)變量的密度曲線比隨機(jī)變量的密度曲線更“瘦高”D.【答案】AD【解析】選項(xiàng)A，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)椋@里，那么，而不是2，故錯(cuò)誤.選項(xiàng)C，由正態(tài)分布的概率性質(zhì)可知，越大，則正態(tài)分布曲線越矮胖，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，因?yàn)?，又，所以，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.若在上有最大值，則的取值范圍為D.【答案】ACD【解析】依題意可知，點(diǎn)為切點(diǎn)，代入可得，，又，即.又由，得.依題可得，代入上式，可得，即，由，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上分析可得，則由，可得或；由，可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，因，由題在區(qū)間上有最大值，故有，解得，故C正確；對(duì)于D，因，則，于是，故D正確.故選：ACD.11.正三棱臺(tái)上下底面邊長分別為2和6，側(cè)棱長為分別為兩個(gè)底面正三角形的中心.點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），，點(diǎn)分別在線段上，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在一個(gè)球和正三棱臺(tái)的所有面都相切B.的最小值為C.若存在唯一的點(diǎn)使得，則D.平面把線段分割成的兩段長度之比為【答案】BC【解析】將正三棱臺(tái)補(bǔ)形成正三棱錐，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得正三棱錐是棱長的正四面體，則正四面體的側(cè)面高為，則該正四面體的高，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為r，則由；選項(xiàng)A.由上可知正三棱錐的最大內(nèi)切球直徑為，又臺(tái)體高，所以該內(nèi)切球?yàn)榕_(tái)體內(nèi)能放入的最大的球，且不與臺(tái)體上底面相切，所以不存在一個(gè)球和正三棱臺(tái)的所有面都相切，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)辄c(diǎn)到側(cè)面的距離為正四面體的體高，則點(diǎn)在側(cè)面的軌跡是圓，圓心是側(cè)面對(duì)應(yīng)的正三角形的中心，半徑為，此時(shí)為正三角形外接圓的半徑，所以的最小值為，故B正確；選項(xiàng)C，設(shè)為的中點(diǎn)，作的中垂截面三角形，考慮過點(diǎn)垂直于的截面分別交于，根據(jù)相似比例易得，此時(shí)的中垂面與側(cè)面的交線為梯形的中位線，且剛好與點(diǎn)的軌跡圓相切.即存在唯一的點(diǎn)使得，意味著與重合.所以，故C正確；選項(xiàng)D，根據(jù)，易得為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為.平面與的交點(diǎn)為，作出的中垂截面三角形，易得：，由勾股定理得：，三角形和三角形相似，根據(jù)相似比易得，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】60【解析】的常數(shù)項(xiàng)為,故答案為：13.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，當(dāng)取最大值時(shí)，__________.【答案】9【解析】方法一：（利用二次函數(shù)的最值）由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)滿足上式，故，，可知數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為17，公差為.又由可得，解得，故，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.方法二：（利用等差數(shù)列的性質(zhì)）仿照方法一，由證明數(shù)列為等差數(shù)列，由首項(xiàng)為17和可得數(shù)列公差為負(fù)數(shù)，且，即，因，故數(shù)列的前9項(xiàng)和最大，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：9.14.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為，則的最大值為__________.【答案】8【解析】由余弦定理，可得，又，可得，即，因，則.由，即，解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，取得最大值8.故答案為：8.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：（1）已知函數(shù)于是而所以得即.（2）令則.由得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.從而.即.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間16.某學(xué)校器樂大賽有7名選手進(jìn)入最后決賽，6名評(píng)委給出評(píng)分如下表，按去掉2個(gè)最高分和2個(gè)最低分規(guī)則計(jì)算選手成績：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委619.609.409.809.209.659.3029.109.359.158.959.379.3539.709.559.659.459.759.5048.908.859.058.608.958.7059.209.309.509.159.4091068.808.708.408.208.358.2578.008.158.358.808.258.05（1）試確定冠軍、亞軍、季軍選手的序號(hào)；（2）若比賽結(jié)束后從7名選手中任選3名談參賽體會(huì)，設(shè)談體會(huì)的3人中含有冠軍或亞軍的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望以及方差.解：（1）考察各選手得分發(fā)現(xiàn)，號(hào)選手得分較低，不可能進(jìn)入前三名，按規(guī)則計(jì)算其余選手得分如下：1號(hào)選手平均得分，同理可得號(hào)選手平均得分，所以本次決賽的冠軍，亞軍，季軍分別是3號(hào)，1號(hào)，2號(hào)選手.（2）由題意得的可能取值為，則故隨機(jī)變量的分布列為012由期望公式得，故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，則.17.已知橢圓，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，長軸長是短軸長的2倍.（1）求橢圓方程；（2）若點(diǎn)在橢圓外，過作直線交橢圓于兩點(diǎn),橢圓的上頂點(diǎn)為（A,P,B不重合）.求的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，由題得，解得，故橢圓方程為：.同理可得當(dāng)時(shí)，橢圓方程為故橢圓方程為或.（2）因點(diǎn)在橢圓外，可得橢圓方程為因不重合，故可設(shè)直線方程為，令直線與橢圓聯(lián)立消元得，由，解得.則，又，于是，將韋達(dá)定理代入得.18.數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）方法一：因?yàn)?，且，，所以故是首?xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.方法二：由題意得（），同除以得，因?yàn)?，，所以，且，故是首?xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.（2）由題意得是從開始的等差數(shù)列，則，即，得到，則，而，.19.在平行六面體中，，.（1）以為空間的一個(gè)基底，求平面的一個(gè)法向量；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若動(dòng)點(diǎn)滿足,且，則的最小值為多少？解：（1）由題可知，，則，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得到，即，取，得到，所以，故平面的一個(gè)法向量為.（2）由（1）知平面的一個(gè)法向量，所以，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）由，可知點(diǎn)在平面內(nèi)，易知四邊形為正方形，又，所以點(diǎn)在以點(diǎn)和點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦距為的雙曲線的一支上，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支.設(shè)點(diǎn)為，又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，的最小值為.河北省N20名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?且.即的取值范圍為.故選：D.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，故故選：A.3.若數(shù)列滿足，則該數(shù)列前12項(xiàng)和（）A.22 B.32 C.42 D.53【答案】C【解析】因?yàn)?，由等差中?xiàng)的性質(zhì)知數(shù)列為等差數(shù)列，∴，.故選：C.4.已知是兩個(gè)單位向量，在上的投影向量為，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因在上的投影向量為，則，依題意，所以，因向量在向量上的投影向量為，由，故向量在向量上的投影向量為.故選：C.5.除以7的余數(shù)為（）A.3 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】，前面10項(xiàng)都是7的倍數(shù)，最后一項(xiàng)不是7的倍數(shù)，除以7的余數(shù)為除以7的余數(shù)，又除以7的余數(shù)為2，故除以7的余數(shù)為2.故選：B.6.已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因是定義在上的奇函數(shù)，則，由可得，即，則得，故4是函數(shù)的一個(gè)周期.因當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，于是，.故選：B.7.已知橢圓的上頂點(diǎn)，左頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別是，直線均與橢圓相切，則菱形周長的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】橢圓具有對(duì)稱性，不妨討論與相切在第一象限情況.設(shè)與相切于，切線方程：.，又，，，當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，菱形周長的取值范圍是.故選：D.8.小朋友們?cè)谌鐖D所示的正八邊形的游樂場玩丟手絹.場地被等分成8段（標(biāo)記為到），每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)小朋友，小明從點(diǎn)處開始選擇順時(shí)針或逆時(shí)針方向在8個(gè)小朋友身后放手絹，小明每跑完一段（例如）需要3秒，在每個(gè)點(diǎn)都會(huì)隨機(jī)選擇順時(shí)針或逆時(shí)針方向繼續(xù)跑動(dòng).若小明一直不停下來，21秒恰好在點(diǎn)的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】小明21秒后恰好停在，則小明不停狀態(tài)下走了7段路恰好停在點(diǎn)，有以下情況:（1）從處順時(shí)針走6步返回1步，即順時(shí)針走6段小路，逆時(shí)針走1段小路，此情況有種可能；（2）從處逆時(shí)針走5步返回2步，即順時(shí)針走2段小路，逆時(shí)針走5段小路，此情況有種可能；由（1）（2）可知所求概率為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（）A.B.C.隨機(jī)變量的密度曲線比隨機(jī)變量的密度曲線更“瘦高”D.【答案】AD【解析】選項(xiàng)A，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，這里，那么，而不是2，故錯(cuò)誤.選項(xiàng)C，由正態(tài)分布的概率性質(zhì)可知，越大，則正態(tài)分布曲線越矮胖，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，因?yàn)?，又，所以，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.若在上有最大值，則的取值范圍為D.【答案】ACD【解析】依題意可知，點(diǎn)為切點(diǎn)，代入可得，，又，即.又由，得.依題可得，代入上式，可得，即，由，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上分析可得，則由，可得或；由，可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，因，由題在區(qū)間上有最大值，故有，解得，故C正確；對(duì)于D，因，則，于是，故D正確.故選：ACD.11.正三棱臺(tái)上下底面邊長分別為2和6，側(cè)棱長為分別為兩個(gè)底面正三角形的中心.點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），，點(diǎn)分別在線段上，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在一個(gè)球和正三棱臺(tái)的所有面都相切B.的最小值為C.若存在唯一的點(diǎn)使得，則D.平面把線段分割成的兩段長度之比為【答案】BC【解析】將正三棱臺(tái)補(bǔ)形成正三棱錐，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得正三棱錐是棱長的正四面體，則正四面體的側(cè)面高為，則該正四面體的高，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為r，則由；選項(xiàng)A.由上可知正三棱錐的最大內(nèi)切球直徑為，又臺(tái)體高，所以該內(nèi)切球?yàn)榕_(tái)體內(nèi)能放入的最大的球，且不與臺(tái)體上底面相切，所以不存在一個(gè)球和正三棱臺(tái)的所有面都相切，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)辄c(diǎn)到側(cè)面的距離為正四面體的體高，則點(diǎn)在側(cè)面的軌跡是圓，圓心是側(cè)面對(duì)應(yīng)的正三角形的中心，半徑為，此時(shí)為正三角形外接圓的半徑，所以的最小值為，故B正確；選項(xiàng)C，設(shè)為的中點(diǎn)，作的中垂截面三角形，考慮過點(diǎn)垂直于的截面分別交于，根據(jù)相似比例易得，此時(shí)的中垂面與側(cè)面的交線為梯形的中位線，且剛好與點(diǎn)的軌跡圓相切.即存在唯一的點(diǎn)使得，意味著與重合.所以，故C正確；選項(xiàng)D，根據(jù)，易得為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為.平面與的交點(diǎn)為，作出的中垂截面三角形，易得：，由勾股定理得：，三角形和三角形相似，根據(jù)相似比易得，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】60【解析】的常數(shù)項(xiàng)為,故答案為：13.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，當(dāng)取最大值時(shí)，__________.【答案】9【解析】方法一：（利用二次函數(shù)的最值）由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)滿足上式，故，，可知數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)為17，公差為.又由可得，解得，故，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.方法二：（利用等差數(shù)列的性質(zhì)）仿照方法一，由證明數(shù)列為等差數(shù)列，由首項(xiàng)為17和可得數(shù)列公差為負(fù)數(shù)，且，即，因，故數(shù)列的前9項(xiàng)和最大，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：9.14.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為，則的最大值為__________.【答案】8【解析】由余弦定理，可得，又，可得，即，因，則.由，即，解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，取得最大值8.故答案為：8.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：（1）已知函數(shù)于是而所以得即.（2）令則.由得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.從而.即.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間16.某學(xué)校器樂大賽有7名選手進(jìn)入最后決賽，6名評(píng)委給出評(píng)分如下表，按去掉2個(gè)最高分和2個(gè)最低分規(guī)則計(jì)算選手成績：選手評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5評(píng)委619.609.409.809.209.659.3029.109.359.158.959.379.3539.709.559.659.459.759.5048.908.859.058.608.958.7059.209.309.509.159.4091068.808.708.408.208.358.2578.008.158.358.808.258.05（1）試確定冠軍、亞軍、季軍選手的序號(hào)；（2）若比賽結(jié)束后從7名選手中任選3名談參賽體會(huì)，設(shè)談體會(huì)的3人中含有冠軍或亞軍的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望以及方差.解：（1）考察