高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，且，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由可得，解得.故選：A.2.過點的直線的方向向量為，則該直線方程為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)點為直線上異于點的任意一點，則由直線的斜率和方向向量之間的關(guān)系可知，整理得，因此滿足題意的直線方程為.故選：A.3.平行六面體中，為與的交點，設(shè)，用表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如下圖所示：易知.故選：D.4.已知離心率為2的雙曲線與橢圓有相同的焦點，則（）A.21 B.19 C.13 D.11【答案】B【解析】由題意，解得，所以.故選：B.5.已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，設(shè)，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點的直線交橢圓于兩點，且的中點為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C.6.是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】，，則，故雙曲線的兩個焦點為,，,也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為,，，則的最大值為，故選：D.7.直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】將表達(dá)式整理可得，即可得曲線表示的是以圓心為，半徑為1的右半圓，如下圖所示：易知當(dāng)直線夾在直線之間時符合題意；當(dāng)在位置時，此時，當(dāng)在位置時，此時，此時直線于曲線有兩個交點，因此可得時，符合題意；當(dāng)在位置時，此時直線與半圓相切且，即，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故選：C.8.如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，則下列結(jié)論正確的是（）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.A.①② B.①③ C.②③ D.③④【答案】C【解析】對于①，根據(jù)題意，設(shè)棱長為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時外接球的表面積為，可知①錯誤；對于②，以為坐標(biāo)原點，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，設(shè)，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對于③，由②可知，，則；設(shè)平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對于④，根據(jù)正方體性質(zhì)平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會隨點的運動而變化，即④錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論為②③.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.經(jīng)過點，且在軸，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線：恒過點D.已知直線：，：，則“”的充要條件是“或”【答案】AC【解析】對于A，易知直線的斜率為，所以傾斜角為，即A正確；對于B，當(dāng)在軸，軸上截距互為相反數(shù)且都為0時，此時直線方程為，可得B錯誤；對于C，直線可化為，由點斜式方程可知其恒過點，即C正確；對于D，當(dāng)時，直線的方程不存在，當(dāng)時，直線的斜率不存在，此時兩直線不垂直；當(dāng)且時，若可得，解得；當(dāng)時，經(jīng)檢驗可得此時，因此“”的充要條件是“”，可得D錯誤.故選：AC.10.如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（）A.B.點E到直線的距離為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.點到平面的距離為【答案】AC【解析】如圖以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.11.法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓或的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓，則下列說法正確的是（）A.橢圓的蒙日圓方程為B.矩形的四邊均與橢圓相切，若為正方形，則的邊長為C.若是橢圓的蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于，兩點，則面積的最大值為D.若是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點，是坐標(biāo)原點，連接，當(dāng)為直角時，或【答案】ABD【解析】對于A選項，由橢圓的方程知，，故蒙日圓半徑為，則蒙日圓方程為，A正確；對于B選項，設(shè)橢圓的蒙日圓為圓，由題意知，矩形為圓的內(nèi)接矩形，當(dāng)為正方形時，由圓的半徑為得的邊長為，B正確；對于C選項，橢圓的蒙日圓的半徑為，因為，即為蒙日圓的直徑，所以，所以，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以面積的最大值為，C錯誤；對于D選項，設(shè)直線與橢圓的蒙日圓交于，兩點，聯(lián)立解得或，不妨令，，所以當(dāng)點與點或重合時，為直角，且，，所以直線的斜率為或，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則的值為______.【答案】5【解析】由可知，因此，即可得，所以.13.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為____________.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點，如下圖所示：則，解得，即此時即為最短路程，易知.所以最短總路程為.14.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為c，，，根據(jù)題意得，又，，設(shè)的中點為，在中，，，，則AF1=a，，根據(jù)可知，.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知關(guān)于的方程：．（1）當(dāng)為何值時，方程表示圓；（2）若圓C與直線相交于兩點，且，求的值．解：（1）由圓的一般方程性質(zhì)可知：解得，所以當(dāng)時，方程表示圓.（2）由，得，所以該圓圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式可知：，解得.16.如圖，四棱錐的側(cè)面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取上的點，使，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：取中點，連，因為，所以，因為為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，以為坐標(biāo)原點，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)為平面的法向量，則，可取，，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點，（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）已知直線與曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數(shù)m的值．解：（1）設(shè)雙曲線的方程為，代入，，得，解得，所以雙曲線的方程為．（2）由，得，設(shè)，，，，則中點坐標(biāo)為，，由韋達(dá)定理可得，所以，所以中點坐標(biāo)為，因為點在圓上，所以，解得．18.如圖1，在平行四邊形ABCD中，，，，將△ABD沿BD折起，使得平面平面，如圖2．（1）證明：平面BCD；（2）在線段上是否存在點M，使得二面角的大小為45°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）證明：在中，因為，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如圖所示：作于點，因平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以，又由，所以平面.（2）解：如圖所示：存在點M，當(dāng)M是的中點，二面角的大小為45°.證明如下：由（1）知平面，且，，又因為是的中點，，同理可得：BM=，取BD的中點為O，DC的中點為E，連接MO，EM，OE，因為，所以是二面角平面角，又因為，.此時.19.已知O為坐標(biāo)原點，橢圓的左右焦點分別為，，，P為橢圓的上頂點，以P為圓心且過，的圓與直線相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓C于M，N兩點.若直線l的斜率等于1，求面積的最大值．解：（1）因為，所以，又且以為圓心的圓與直線相切，所以，又圓過點，所以，解得，所以，故橢圓方程為；（2）如圖所示，不妨令直線，，聯(lián)立，得，所以，解得，又，且點到直線的距離為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最大值，此時滿足，所以.河北省保定市六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，且，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由可得，解得.故選：A.2.過點的直線的方向向量為，則該直線方程為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)點為直線上異于點的任意一點，則由直線的斜率和方向向量之間的關(guān)系可知，整理得，因此滿足題意的直線方程為.故選：A.3.平行六面體中，為與的交點，設(shè)，用表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如下圖所示：易知.故選：D.4.已知離心率為2的雙曲線與橢圓有相同的焦點，則（）A.21 B.19 C.13 D.11【答案】B【解析】由題意，解得，所以.故選：B.5.已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，設(shè)，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點的直線交橢圓于兩點，且的中點為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C.6.是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】，，則，故雙曲線的兩個焦點為,，,也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為,，，則的最大值為，故選：D.7.直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】將表達(dá)式整理可得，即可得曲線表示的是以圓心為，半徑為1的右半圓，如下圖所示：易知當(dāng)直線夾在直線之間時符合題意；當(dāng)在位置時，此時，當(dāng)在位置時，此時，此時直線于曲線有兩個交點，因此可得時，符合題意；當(dāng)在位置時，此時直線與半圓相切且，即，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故選：C.8.如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，則下列結(jié)論正確的是（）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.A.①② B.①③ C.②③ D.③④【答案】C【解析】對于①，根據(jù)題意，設(shè)棱長為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時外接球的表面積為，可知①錯誤；對于②，以為坐標(biāo)原點，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，設(shè)，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對于③，由②可知，，則；設(shè)平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對于④，根據(jù)正方體性質(zhì)平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會隨點的運動而變化，即④錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論為②③.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.經(jīng)過點，且在軸，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線：恒過點D.已知直線：，：，則“”的充要條件是“或”【答案】AC【解析】對于A，易知直線的斜率為，所以傾斜角為，即A正確；對于B，當(dāng)在軸，軸上截距互為相反數(shù)且都為0時，此時直線方程為，可得B錯誤；對于C，直線可化為，由點斜式方程可知其恒過點，即C正確；對于D，當(dāng)時，直線的方程不存在，當(dāng)時，直線的斜率不存在，此時兩直線不垂直；當(dāng)且時，若可得，解得；當(dāng)時，經(jīng)檢驗可得此時，因此“”的充要條件是“”，可得D錯誤.故選：AC.10.如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（）A.B.點E到直線的距離為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.點到平面的距離為【答案】AC【解析】如圖以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.11.法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓或的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓，則下列說法正確的是（）A.橢圓的蒙日圓方程為B.矩形的四邊均與橢圓相切，若為正方形，則的邊長為C.若是橢圓的蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于，兩點，則面積的最大值為D.若是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點，是坐標(biāo)原點，連接，當(dāng)為直角時，或【答案】ABD【解析】對于A選項，由橢圓的方程知，，故蒙日圓半徑為，則蒙日圓方程為，A正確；對于B選項，設(shè)橢圓的蒙日圓為圓，由題意知，矩形為圓的內(nèi)接矩形，當(dāng)為正方形時，由圓的半徑為得的邊長為，B正確；對于C選項，橢圓的蒙日圓的半徑為，因為，即為蒙日圓的直徑，所以，所以，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以面積的最大值為，C錯誤；對于D選項，設(shè)直線與橢圓的蒙日圓交于，兩點，聯(lián)立解得或，不妨令，，所以當(dāng)點與點或重合時，為直角，且，，所以直線的斜率為或，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則的值為______.【答案】5【解析】由可知，因此，即可得，所以.13.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為____________.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點，如下圖所示：則，解得，即此時即為最短路程，易知.所以最短總路程為.14.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為c，，，根據(jù)題意得，又，，設(shè)的中點為，在中，，，，則AF1=a，，根據(jù)可知，.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知關(guān)于的方程：．（1）當(dāng)為何值時，方程表示圓；（2）若圓C與直線相交于兩點，且，求的值．解：（1）由圓的一般方程性質(zhì)可知：解得，所以當(dāng)時，方程表示圓.（2）由，得，所以該圓圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式可知：，解得.16.如圖，四棱錐的側(cè)面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取上的點，使，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：取中點，連，因為，所以，因為為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，以為坐標(biāo)原點，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)為平面的法向量，則，可取