高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市六校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，且，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由可得，解得.故選：A.2.過點的直線的方向向量為，則該直線方程為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨設點為直線上異于點的任意一點，則由直線的斜率和方向向量之間的關系可知，整理得，因此滿足題意的直線方程為.故選：A.3.平行六面體中，為與的交點，設，用表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如下圖所示：易知.故選：D.4.已知離心率為2的雙曲線與橢圓有相同的焦點，則（）A.21 B.19 C.13 D.11【答案】B【解析】由題意，解得，所以.故選：B.5.已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，設，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點的直線交橢圓于兩點，且的中點為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C.6.是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】，，則，故雙曲線的兩個焦點為,，,也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為,，，則的最大值為，故選：D.7.直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】將表達式整理可得，即可得曲線表示的是以圓心為，半徑為1的右半圓，如下圖所示：易知當直線夾在直線之間時符合題意；當在位置時，此時，當在位置時，此時，此時直線于曲線有兩個交點，因此可得時，符合題意；當在位置時，此時直線與半圓相切且，即，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故選：C.8.如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，則下列結論正確的是（）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.A.①② B.①③ C.②③ D.③④【答案】C【解析】對于①，根據題意，設棱長為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時外接球的表面積為，可知①錯誤；對于②，以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，所以，設，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對于③，由②可知，，則；設平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對于④，根據正方體性質平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會隨點的運動而變化，即④錯誤；綜上所述，正確的結論為②③.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.經過點，且在軸，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線：恒過點D.已知直線：，：，則“”的充要條件是“或”【答案】AC【解析】對于A，易知直線的斜率為，所以傾斜角為，即A正確；對于B，當在軸，軸上截距互為相反數(shù)且都為0時，此時直線方程為，可得B錯誤；對于C，直線可化為，由點斜式方程可知其恒過點，即C正確；對于D，當時，直線的方程不存在，當時，直線的斜率不存在，此時兩直線不垂直；當且時，若可得，解得；當時，經檢驗可得此時，因此“”的充要條件是“”，可得D錯誤.故選：AC.10.如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（）A.B.點E到直線的距離為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.點到平面的距離為【答案】AC【解析】如圖以點為原點，建立空間直角坐標系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；，設平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.11.法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓或的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓，則下列說法正確的是（）A.橢圓的蒙日圓方程為B.矩形的四邊均與橢圓相切，若為正方形，則的邊長為C.若是橢圓的蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于，兩點，則面積的最大值為D.若是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，或【答案】ABD【解析】對于A選項，由橢圓的方程知，，故蒙日圓半徑為，則蒙日圓方程為，A正確；對于B選項，設橢圓的蒙日圓為圓，由題意知，矩形為圓的內接矩形，當為正方形時，由圓的半徑為得的邊長為，B正確；對于C選項，橢圓的蒙日圓的半徑為，因為，即為蒙日圓的直徑，所以，所以，又因為，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為，C錯誤；對于D選項，設直線與橢圓的蒙日圓交于，兩點，聯(lián)立解得或，不妨令，，所以當點與點或重合時，為直角，且，，所以直線的斜率為或，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則的值為______.【答案】5【解析】由可知，因此，即可得，所以.13.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為____________.【答案】【解析】設關于直線的對稱點，如下圖所示：則，解得，即此時即為最短路程，易知.所以最短總路程為.14.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段的中垂線經過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】設雙曲線的半焦距為c，，，根據題意得，又，，設的中點為，在中，，，，則AF1=a，，根據可知，.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知關于的方程：．（1）當為何值時，方程表示圓；（2）若圓C與直線相交于兩點，且，求的值．解：（1）由圓的一般方程性質可知：解得，所以當時，方程表示圓.（2）由，得，所以該圓圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，根據弦長公式可知：，解得.16.如圖，四棱錐的側面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取上的點，使，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：取中點，連，因為，所以，因為為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，以為坐標原點，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，則，，，設為平面的法向量，則，可取，，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且經過點，（1）求雙曲線C的標準方程（2）已知直線與曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數(shù)m的值．解：（1）設雙曲線的方程為，代入，，得，解得，所以雙曲線的方程為．（2）由，得，設，，，，則中點坐標為，，由韋達定理可得，所以，所以中點坐標為，因為點在圓上，所以，解得．18.如圖1，在平行四邊形ABCD中，，，，將△ABD沿BD折起，使得平面平面，如圖2．（1）證明：平面BCD；（2）在線段上是否存在點M，使得二面角的大小為45°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）證明：在中，因為，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如圖所示：作于點，因平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以，又由，所以平面.（2）解：如圖所示：存在點M，當M是的中點，二面角的大小為45°.證明如下：由（1）知平面，且，，又因為是的中點，，同理可得：BM=，取BD的中點為O，DC的中點為E，連接MO，EM，OE，因為，所以是二面角平面角，又因為，.此時.19.已知O為坐標原點，橢圓的左右焦點分別為，，，P為橢圓的上頂點，以P為圓心且過，的圓與直線相切.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知直線交橢圓C于M，N兩點.若直線l的斜率等于1，求面積的最大值．解：（1）因為，所以，又且以為圓心的圓與直線相切，所以，又圓過點，所以，解得，所以，故橢圓方程為；（2）如圖所示，不妨令直線，，聯(lián)立，得，所以，解得，又，且點到直線的距離為，，所以，當且僅當時取到最大值，此時滿足，所以.河北省保定市六校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，且，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由可得，解得.故選：A.2.過點的直線的方向向量為，則該直線方程為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨設點為直線上異于點的任意一點，則由直線的斜率和方向向量之間的關系可知，整理得，因此滿足題意的直線方程為.故選：A.3.平行六面體中，為與的交點，設，用表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如下圖所示：易知.故選：D.4.已知離心率為2的雙曲線與橢圓有相同的焦點，則（）A.21 B.19 C.13 D.11【答案】B【解析】由題意，解得，所以.故選：B.5.已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，設，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點的直線交橢圓于兩點，且的中點為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C.6.是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】，，則，故雙曲線的兩個焦點為,，,也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為,，，則的最大值為，故選：D.7.直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】將表達式整理可得，即可得曲線表示的是以圓心為，半徑為1的右半圓，如下圖所示：易知當直線夾在直線之間時符合題意；當在位置時，此時，當在位置時，此時，此時直線于曲線有兩個交點，因此可得時，符合題意；當在位置時，此時直線與半圓相切且，即，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故選：C.8.如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，則下列結論正確的是（）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.A.①② B.①③ C.②③ D.③④【答案】C【解析】對于①，根據題意，設棱長為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時外接球的表面積為，可知①錯誤；對于②，以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：則，所以，設，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對于③，由②可知，，則；設平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對于④，根據正方體性質平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會隨點的運動而變化，即④錯誤；綜上所述，正確的結論為②③.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.經過點，且在軸，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線：恒過點D.已知直線：，：，則“”的充要條件是“或”【答案】AC【解析】對于A，易知直線的斜率為，所以傾斜角為，即A正確；對于B，當在軸，軸上截距互為相反數(shù)且都為0時，此時直線方程為，可得B錯誤；對于C，直線可化為，由點斜式方程可知其恒過點，即C正確；對于D，當時，直線的方程不存在，當時，直線的斜率不存在，此時兩直線不垂直；當且時，若可得，解得；當時，經檢驗可得此時，因此“”的充要條件是“”，可得D錯誤.故選：AC.10.如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（）A.B.點E到直線的距離為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.點到平面的距離為【答案】AC【解析】如圖以點為原點，建立空間直角坐標系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；，設平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.11.法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓或的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓，則下列說法正確的是（）A.橢圓的蒙日圓方程為B.矩形的四邊均與橢圓相切，若為正方形，則的邊長為C.若是橢圓的蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于，兩點，則面積的最大值為D.若是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，或【答案】ABD【解析】對于A選項，由橢圓的方程知，，故蒙日圓半徑為，則蒙日圓方程為，A正確；對于B選項，設橢圓的蒙日圓為圓，由題意知，矩形為圓的內接矩形，當為正方形時，由圓的半徑為得的邊長為，B正確；對于C選項，橢圓的蒙日圓的半徑為，因為，即為蒙日圓的直徑，所以，所以，又因為，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為，C錯誤；對于D選項，設直線與橢圓的蒙日圓交于，兩點，聯(lián)立解得或，不妨令，，所以當點與點或重合時，為直角，且，，所以直線的斜率為或，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則的值為______.【答案】5【解析】由可知，因此，即可得，所以.13.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為____________.【答案】【解析】設關于直線的對稱點，如下圖所示：則，解得，即此時即為最短路程，易知.所以最短總路程為.14.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段的中垂線經過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】設雙曲線的半焦距為c，，，根據題意得，又，，設的中點為，在中，，，，則AF1=a，，根據可知，.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知關于的方程：．（1）當為何值時，方程表示圓；（2）若圓C與直線相交于兩點，且，求的值．解：（1）由圓的一般方程性質可知：解得，所以當時，方程表示圓.（2）由，得，所以該圓圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，根據弦長公式可知：，解得.16.如圖，四棱錐的側面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取上的點，使，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：取中點，連，因為，所以，因為為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，，以為坐標原點，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，則，，，設為平面的法向量，則，可取