高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.曲線與曲線的（）A.長軸長一定相等 B.短軸長一定相等C.離心率一定相等 D.焦距一定相等【答案】D【解析】對于曲線：，對于曲線：，所以它們的長軸不一定相等，短軸不一定相等，離心率不一定相等，焦距一定相等.故選：D2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且和是中的兩項(xiàng)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，（，，為正整數(shù)），則，，即有，可得，解得，可得．故選：B．3.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一條漸近線的斜率為2，且一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，即，利用可聯(lián)立求得，故雙曲線的方程為：.故選：D.4.設(shè)p為“”，q為“是等差數(shù)列”，則p是q的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若p成立，即成立時，數(shù)列不一定為等差數(shù)列，例如，即充分性不成立，當(dāng)為等差數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知p成立，即必要性成立，所以p是q的必要不充分條件．故選：C．5.若直線與圓相離，則點(diǎn)（）A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.位置不確定【答案】B【解析】由題意，到的距離，即，所以在圓內(nèi).故選：B6.設(shè)為橢圓上一動點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，，則的最小值為（）A.8 B.7 C.6 D.4【答案】B【解析】如圖，連接,因，則，由圖知，當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時，的值最小，最小值為,此時，最小值為.故選：B.7.設(shè)等差數(shù)列和前n項(xiàng)和分別為和，若，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列和中，，設(shè)，，故，，則．故選：A．8.已知為拋物線的焦點(diǎn)，的三個頂點(diǎn)都在上，且為的重心.若的最大值為10，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】如圖，作拋物線的準(zhǔn)線，分別過點(diǎn)作，垂足為，，設(shè)，則（*），因點(diǎn)為的重心，則，即，代入（*），可得，因點(diǎn)在拋物線上，故，故，依題，，解得.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，∴，解得，，故A正確；，故B錯誤；，∴，故C正確；，，∴，故D正確．故選：ACD．10.已知直線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)不可能在直線上B.直線恒過點(diǎn)C.若點(diǎn)到直線的距離相等，則D.直線上恒存在點(diǎn)，滿足【答案】ABD【解析】A：當(dāng)時，，所以點(diǎn)不可能在直線上，故A正確；B：直線方程可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，故B正確；C：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以，解得或，故C錯誤；D：設(shè)，則，所以，整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.又直線恒過定點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有公共點(diǎn)，即直線上恒存在點(diǎn)，滿足，故D正確.故選：ABD11.如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，則（）A.存在，，使得B.不存在點(diǎn)，，使得C.的最小值為D.異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】在三棱錐中，平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，對于A，由，得，則，方程無解，因此不存在、使得，A錯誤；對于B，由是線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則，，由，則不存在點(diǎn)，使得，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】依題意，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：13.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且，則__________.【答案】【解析】當(dāng)時，由得，即，因?yàn)椋?，所以?/p>

，則，又滿足上式，故，故答案為：．14.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日圓的離心率為，點(diǎn)分別為蒙日圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，則四邊形與四邊形EFGH的面積的比值為__________.【答案】【解析】由題意得蒙日圓為，則，，直線的方程為：，聯(lián)立得，，解得，，所以故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)為遞增的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．解：（1）設(shè)公差為，因?yàn)?，且，所以，解得或（舍），故；?）由（1）可得，，若，則，解得，故n的最小值為5．16.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：，，.，，.平面，平面，又平面，.（2）解：四邊形是矩形，，平面，平面，，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，令，可得，平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.17.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且在的準(zhǔn)線上的射影為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作斜率大于的直線與交于另一點(diǎn)，若的面積為3，求的方程.解：（1）是上一點(diǎn)，，則，由拋物線的定義，知，，則，的方程為.（2）由（1），知.設(shè)直線，即，代入，整理得，，，又點(diǎn)到的距離為，，即，解得或（舍去），直線的方程為，即.18.如圖，在斜三棱柱中，平面平面是邊長為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，.（1）設(shè)向量為平面的法向量，證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖，連接.，平面平面，平面平面平面，平面.是邊長為2的等邊三角形，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.是平面的一個法向量，令.，，.解：（2）.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個法向量為，點(diǎn)到平面的距離為.（3）.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個法向量為.由（2）可知平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為..19.已知雙曲線的離心率為2，左?右焦點(diǎn)分別是是的右支上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），是的右頂點(diǎn)，是上兩點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合）.（1）求的方程；（2）若不關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對稱，且的中點(diǎn)為，證明：直線與直線的斜率之積為定值；（3）若不關(guān)于軸對稱，且，證明：直線過定點(diǎn).（1）解：設(shè)，連接.是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，則.又.，的方程為.證明：（2）設(shè)且.的中點(diǎn)為，則，是上的兩點(diǎn)，①，②，①②，得，即，即，可得，，直線與直線的斜率之積為定值3.（3）易知，且不關(guān)于軸對稱，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，代入，整理得，，，，解得或（舍去），直線過定點(diǎn).河南省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.曲線與曲線的（）A.長軸長一定相等 B.短軸長一定相等C.離心率一定相等 D.焦距一定相等【答案】D【解析】對于曲線：，對于曲線：，所以它們的長軸不一定相等，短軸不一定相等，離心率不一定相等，焦距一定相等.故選：D2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且和是中的兩項(xiàng)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，（，，為正整數(shù)），則，，即有，可得，解得，可得．故選：B．3.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一條漸近線的斜率為2，且一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，即，利用可聯(lián)立求得，故雙曲線的方程為：.故選：D.4.設(shè)p為“”，q為“是等差數(shù)列”，則p是q的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若p成立，即成立時，數(shù)列不一定為等差數(shù)列，例如，即充分性不成立，當(dāng)為等差數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知p成立，即必要性成立，所以p是q的必要不充分條件．故選：C．5.若直線與圓相離，則點(diǎn)（）A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.位置不確定【答案】B【解析】由題意，到的距離，即，所以在圓內(nèi).故選：B6.設(shè)為橢圓上一動點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，，則的最小值為（）A.8 B.7 C.6 D.4【答案】B【解析】如圖，連接,因，則，由圖知，當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時，的值最小，最小值為,此時，最小值為.故選：B.7.設(shè)等差數(shù)列和前n項(xiàng)和分別為和，若，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列和中，，設(shè)，，故，，則．故選：A．8.已知為拋物線的焦點(diǎn)，的三個頂點(diǎn)都在上，且為的重心.若的最大值為10，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】如圖，作拋物線的準(zhǔn)線，分別過點(diǎn)作，垂足為，，設(shè)，則（*），因點(diǎn)為的重心，則，即，代入（*），可得，因點(diǎn)在拋物線上，故，故，依題，，解得.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，∴，解得，，故A正確；，故B錯誤；，∴，故C正確；，，∴，故D正確．故選：ACD．10.已知直線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)不可能在直線上B.直線恒過點(diǎn)C.若點(diǎn)到直線的距離相等，則D.直線上恒存在點(diǎn)，滿足【答案】ABD【解析】A：當(dāng)時，，所以點(diǎn)不可能在直線上，故A正確；B：直線方程可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，故B正確；C：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以，解得或，故C錯誤；D：設(shè)，則，所以，整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.又直線恒過定點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有公共點(diǎn)，即直線上恒存在點(diǎn)，滿足，故D正確.故選：ABD11.如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，則（）A.存在，，使得B.不存在點(diǎn)，，使得C.的最小值為D.異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】在三棱錐中，平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，對于A，由，得，則，方程無解，因此不存在、使得，A錯誤；對于B，由是線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則，，由，則不存在點(diǎn)，使得，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】依題意，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：13.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且，則__________.【答案】【解析】當(dāng)時，由得，即，因?yàn)?，所以，所以?/p>

，則，又滿足上式，故，故答案為：．14.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日圓的離心率為，點(diǎn)分別為蒙日圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，則四邊形與四邊形EFGH的面積的比值為__________.【答案】【解析】由題意得蒙日圓為，則，，直線的方程為：，聯(lián)立得，，解得，，所以故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)為遞增的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．解：（1）設(shè)公差為，因?yàn)?，且，所以，解得或（舍），故；?）由（1）可得，，若，則，解得，故n的最小值為5．16.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：，，.，，.平面，平面，又平面，.（2）解：四邊形是矩形，，平面，平面，，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，令，可得，平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.17.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且在的準(zhǔn)線上的射影為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作斜率大于的直線與交于另一點(diǎn)，若的面積為3，求的方程.解：（1）是上一點(diǎn)，，則，由拋物線的定義，知，，則，的方程為.（2）由（1），知.設(shè)