高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A.17 B.19 C.21 D.23【答案】C【解析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)有是等差數(shù)列，所以，可得.故選：C2.直線被圓C：截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由圓方程可知圓心坐標(biāo)，半徑為2，圓心到直線的距離為：，所以弦長(zhǎng)為，故選：D3.已知隨機(jī)變量的分布列如下表，若，則（）X235Pab2b－aA. B. C. D.【答案】A【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及期望公式可知：，解得.故選：A.4.已知的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖，則的極大值點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖知上，上且僅有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為.故選：D5.展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，因?yàn)?，在中，令，系?shù)為；在，令可得，系數(shù)為.綜上所述，展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.6.已知兩個(gè)變量與對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.與負(fù)相關(guān)B.在處的殘差為C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)D.變量每增加一個(gè)單位，實(shí)際值一定增加個(gè)單位【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榛貧w直線的斜率為，所以與正相關(guān)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)處的殘差為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，故經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，變量每增加一個(gè)單位，實(shí)際值增加個(gè)單位左右，D錯(cuò).故選：C.7.甲、乙、丙、丁、戊、己六名同學(xué)參加數(shù)學(xué)考試，已知成績(jī)各不相同．甲和乙去詢問(wèn)老師成績(jī)，老師對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都不是第一名．”對(duì)乙說(shuō)：“你不是最后一名．”從這兩個(gè)回答分析，從第一名到第六名的排列有多少種不同情況?（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】由題意可知，乙既不是第一名，也不是第六名，則乙的名次有種情況，由于甲不是第一名，則甲的名次只能是乙的名次外不是第一名的四個(gè)位次之一，有種，再將其余四位同學(xué)的名次進(jìn)行排序即可，所以，第一名到第六名的排列種數(shù)為種.故選：B.8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為3的雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線l與C的右支交于M，N兩點(diǎn).設(shè)△MF1F2與△NF1F2的內(nèi)切圓圓心分別是P，Q，直線OP，OQ的斜率分別是，則＝（）A.－4 B. C.4 D.【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓和三邊分別相切于點(diǎn)，則，又，所以，所以．所以，設(shè)直線的傾斜角為，則由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，在中，所以；因?yàn)殡p曲線的離心率，所以同理可得，所以；所以，故選：A．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若隨機(jī)變量和滿足，且，則B.若隨機(jī)變量，，則C.若隨機(jī)變量，則D.在含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，取到的次品數(shù)為，則【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，隨機(jī)變量和滿足，且，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，隨機(jī)變量，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)殡S機(jī)變量，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，在含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，取到的次品數(shù)為，所以，D錯(cuò).故選：BC.10.某位同學(xué)參加投籃比賽，第一次投籃投中的概率為．如果他第一次投中，那么在第二次投籃中更有自信，投中的概率為．如果他第一次未投中，那么在第二次投籃中會(huì)緊張，投中的概率為．下列說(shuō)法正確的是（）A.連續(xù)投籃兩次都投中的概率為B.連續(xù)投籃兩次都未投中的概率為C.第二次投籃投中的概率為D.若他第二次投中，則他第一次投中的概率為【答案】ACD【解析】設(shè)事件：第一次投籃投中，事件：第二次投籃投中，則，，，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，由條件概率得，故D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,為數(shù)列的前n項(xiàng)積,滿足,給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.數(shù)列的最大項(xiàng)的值為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，即，故A正確；因?yàn)闉閿?shù)列的前n項(xiàng)積，故，所以，故，又故是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，易知不為等比數(shù)列，故B不正確；，故C正確；令，解不等式組，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)的值為，D正確，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.12.若平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量,且,則x＋z＝________．【答案】-1【解析】因?yàn)?，所以，故存在?shí)數(shù)使得：，即，所以，解得，所以.故答案為：13.在學(xué)校的大課間風(fēng)采展示中，某班級(jí)準(zhǔn)備了3個(gè)舞蹈，3個(gè)獨(dú)唱共6個(gè)節(jié)目，要求相同類(lèi)型的節(jié)目不能相鄰，那么節(jié)目的不同演出順序共有________種．【答案】72【解析】第一個(gè)節(jié)目是舞蹈類(lèi)節(jié)目，則有種不同演出順序；第一個(gè)節(jié)目是獨(dú)唱類(lèi)節(jié)目，則有種不同演出順序；故一共有：種不同演出順序，故答案為：72.14.一個(gè)不透明的袋子中有6個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同．某人從袋子中不斷地隨機(jī)摸球，每次從袋子中摸出一個(gè)球，直到2個(gè)紅球被全部取出時(shí)停止．則摸球次數(shù)為3的概率是________，摸球次數(shù)的期望是________．【答案】；6【解析】摸球次數(shù)為3的概率為.由題知摸球次數(shù)可取2，3，4，5，6，7，8，，，，，，，，，故答案為：①②6四、解答題：本大題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.某地區(qū)大型服裝店對(duì)在該店購(gòu)買(mǎi)衣服的客戶進(jìn)行滿意度調(diào)研以便能更好地服務(wù)客戶，統(tǒng)計(jì)了2024年1月至5月對(duì)該家服裝店不滿意的客戶人數(shù)如下：月份x12345不滿意的人數(shù)y1201051009580（1）通過(guò)散點(diǎn)圖可知對(duì)該服裝店服務(wù)不滿意的客戶人數(shù)y與月份x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年8月對(duì)該大型服裝店服務(wù)不滿意的客戶人數(shù)；（2）工作人員從這5個(gè)月內(nèi)的調(diào)查表所記錄的客戶中隨機(jī)抽查100人，調(diào)查滿意度與性別的關(guān)系，得到下表，能否有99%的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)?滿意不滿意合計(jì)女客戶4812男客戶2218合計(jì)附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中．，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由表中的數(shù)據(jù)知，，，，，，，不滿意人數(shù)y與月份x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)x＝8時(shí)，，所以預(yù)測(cè)2024年8月對(duì)該大型服裝店服務(wù)不滿意的客戶人數(shù)為55.（2）零假設(shè)：服務(wù)滿意度與性別無(wú)關(guān)，由表中的數(shù)據(jù)得，所以有99%的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān).16.已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍．解：（1）定義域?yàn)椋?，令得，令得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間．（2）法1：因?yàn)椋?，即，令，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增且．所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，，所以．法2：構(gòu)造，分類(lèi)討論，，求的最小值大于等于0.17.如圖，在三棱柱中，是的中點(diǎn)，、均為邊長(zhǎng)為的正三角形，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、均為邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，，且，同理可得，又因?yàn)椋?，所以，又因，、平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，由得，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交第一象限于點(diǎn)M，與線段AE交于點(diǎn)P．（i）若的面積是1，求直線l的斜率；（ii）若的面積與的面積之比為，求直線l的斜率．解：（1）依題意，橢圓的半焦距，由離心率為，得，所以橢圓方程為.（2）（i）由點(diǎn)，得線段AE的方程為，設(shè)，由的面積是1，得，而，解得，，即點(diǎn)，又點(diǎn).所以直線l的斜率.（ii）依題意，直線l的斜率存在且為正，設(shè)直線l的，點(diǎn)，由的面積與的面積之比為，得，而，則，又點(diǎn)均在第一象限，因此，由，解得，即，則，，而，因此，整理得，解得，所以直線l的斜率為.19.五一假期期間，小明去商場(chǎng)消費(fèi)，消費(fèi)過(guò)后可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：消費(fèi)者可以連續(xù)拋擲若干次骰子，當(dāng)骰子擲出5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，消費(fèi)者得2分，其余情況消費(fèi)者得1分，且每一次拋擲骰子的結(jié)果相互獨(dú)立．商場(chǎng)根據(jù)得分給予相應(yīng)獎(jiǎng)品.（1）求小明連續(xù)拋擲骰子3次，累計(jì)得分為4分的概率；（2）求小明連續(xù)拋擲骰子次，累計(jì)得分為分的概率，，；（結(jié)果用和表示）（3）求小明連續(xù)拋擲若干次，累計(jì)得分為分的概率．（結(jié)果用表示）解：（1）由題知小明得2分的概率為，小明得1分的概率為．記事件“小明參與3次擲骰子游戲，累計(jì)得分為4分”為A，則前3次中有2次得1分，1次得2分，所以．（2）記事件“小明參與次擲骰子游戲，累計(jì)得分為分”為B，則前次中有次得1分，次得2分，所以．（3）設(shè)小明在擲若干次后，累計(jì)得分剛好為n分的概率為Pn，則，，且當(dāng)n≥3時(shí)，累計(jì)得分剛好為n分可分為以下兩種情況：①累計(jì)得分剛好為n－2分，然后再得2分，概率為，②累計(jì)得分剛好為n－1分，然后再得1分，概率為，所以，法1．，且，所以，所以，…，，累加得，所以．法2．，所以是常數(shù)列，，所以，，所以，所以．江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A.17 B.19 C.21 D.23【答案】C【解析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)有是等差數(shù)列，所以，可得.故選：C2.直線被圓C：截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由圓方程可知圓心坐標(biāo)，半徑為2，圓心到直線的距離為：，所以弦長(zhǎng)為，故選：D3.已知隨機(jī)變量的分布列如下表，若，則（）X235Pab2b－aA. B. C. D.【答案】A【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及期望公式可知：，解得.故選：A.4.已知的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖，則的極大值點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖知上，上且僅有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為.故選：D5.展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，因?yàn)椋谥?，令，系?shù)為；在，令可得，系數(shù)為.綜上所述，展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.6.已知兩個(gè)變量與對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.與負(fù)相關(guān)B.在處的殘差為C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)D.變量每增加一個(gè)單位，實(shí)際值一定增加個(gè)單位【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榛貧w直線的斜率為，所以與正相關(guān)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)處的殘差為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，故經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，變量每增加一個(gè)單位，實(shí)際值增加個(gè)單位左右，D錯(cuò).故選：C.7.甲、乙、丙、丁、戊、己六名同學(xué)參加數(shù)學(xué)考試，已知成績(jī)各不相同．甲和乙去詢問(wèn)老師成績(jī)，老師對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都不是第一名．”對(duì)乙說(shuō)：“你不是最后一名．”從這兩個(gè)回答分析，從第一名到第六名的排列有多少種不同情況?（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】由題意可知，乙既不是第一名，也不是第六名，則乙的名次有種情況，由于甲不是第一名，則甲的名次只能是乙的名次外不是第一名的四個(gè)位次之一，有種，再將其余四位同學(xué)的名次進(jìn)行排序即可，所以，第一名到第六名的排列種數(shù)為種.故選：B.8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為3的雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線l與C的右支交于M，N兩點(diǎn).設(shè)△MF1F2與△NF1F2的內(nèi)切圓圓心分別是P，Q，直線OP，OQ的斜率分別是，則＝（）A.－4 B. C.4 D.【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓和三邊分別相切于點(diǎn)，則，又，所以，所以．所以，設(shè)直線的傾斜角為，則由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，在中，所以；因?yàn)殡p曲線的離心率，所以同理可得，所以；所以，故選：A．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若隨機(jī)變量和滿足，且，則B.若隨機(jī)變量，，則C.若隨機(jī)變量，則D.在含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，取到的次品數(shù)為，則【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，隨機(jī)變量和滿足，且，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，隨機(jī)變量，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)殡S機(jī)變量，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，在含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，取到的次品數(shù)為，所以，D錯(cuò).故選：BC.10.某位同學(xué)參加投籃比賽，第一次投籃投中的概率為．如果他第一次投中，那么在第二次投籃中更有自信，投中的概率為．如果他第一次未投中，那么在第二次投籃中會(huì)緊張，投中的概率為．下列說(shuō)法正確的是（）A.連續(xù)投籃兩次都投中的概率為B.連續(xù)投籃兩次都未投中的概率為C.第二次投籃投中的概率為D.若他第二次投中，則他第一次投中的概率為【答案】ACD【解析】設(shè)事件：第一次投籃投中，事件：第二次投籃投中，則，，，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，由條件概率得，故D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,為數(shù)列的前n項(xiàng)積,滿足,給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.數(shù)列的最大項(xiàng)的值為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，即，故A正確；因?yàn)闉閿?shù)列的前n項(xiàng)積，故，所以，故，又故是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，易知不為等比數(shù)列，故B不正確；，故C正確；令，解不等式組，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)的值為，D正確，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.12.若平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量,且,則x＋z＝________．【答案】-1【解析】因?yàn)椋?，故存在?shí)數(shù)使得：，即，所以，解得，所以.故答案為：13.在學(xué)校的大課間風(fēng)采展示中，某班級(jí)準(zhǔn)備了3個(gè)舞蹈，3個(gè)獨(dú)唱共6個(gè)節(jié)目，要求相同類(lèi)型的節(jié)目不能相鄰，那么節(jié)目的不同演出順序共有________種．【答案】72【解析】第一個(gè)節(jié)目是舞蹈類(lèi)節(jié)目，則有種不同演出順序；第一個(gè)節(jié)目是獨(dú)唱類(lèi)節(jié)目，則有種不同演出順序；故一共有：種不同演出順序，故答案為：72.14.一個(gè)不透明的袋子中有6個(gè)白球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同．某人從袋子中不斷地隨機(jī)摸球，每次從袋子中摸出一個(gè)球，直到2個(gè)紅球被全部取出時(shí)停止．則摸球次數(shù)為3的概率是________，摸球次數(shù)的期望是________．【答案】；6【解析】摸球次數(shù)為3的概率為.由題知摸球次數(shù)可取2，3，4，5，6，7，8，，，，，，，，，故答案為：①②6四、解答題：本大題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.某地區(qū)大型服裝店對(duì)在該店購(gòu)買(mǎi)衣服的客戶進(jìn)行滿意度調(diào)研以便能更好地服務(wù)客戶，統(tǒng)計(jì)了2024年1月至5月對(duì)該家服裝店不滿意的客戶人數(shù)如下：月份x12345不滿意的人數(shù)y1201051009580（1）通過(guò)散點(diǎn)圖可知對(duì)該服裝店服務(wù)不滿意的客戶人數(shù)y與月份x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年8月對(duì)該大型服裝店服務(wù)不滿意的客戶人數(shù)；（2）工作人員從這5個(gè)月內(nèi)的調(diào)查表所記錄的客戶中隨機(jī)抽查100人，調(diào)查滿意度與性別的關(guān)系，得到下表，能否有99%的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)?滿意不滿意合計(jì)女客戶4812男客戶2218合計(jì)附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中．，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由表中的數(shù)據(jù)知，，，，，，，不滿意人數(shù)y與月份x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)x＝8時(shí)，，所以預(yù)測(cè)2024年8月對(duì)該大型服裝店服務(wù)不滿意的客戶人數(shù)為55.（2）零假設(shè)：服務(wù)滿意度與性別無(wú)關(guān)，由表中的數(shù)據(jù)得，所以有99%的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān).16.已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍．解：（1）定義域?yàn)?，，令得，令得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間．（2）法1：因?yàn)?，所以，即，令，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增且．所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，，所以．法2：構(gòu)造，分類(lèi)討論，，求的最小值大于等于0.17.如圖，在三棱柱中，是的中點(diǎn)，、均為邊長(zhǎng)為的正三角形，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、均為邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，，且，同理可得，又因?yàn)?，故，所以，又因，、平面，所以平面．又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，由得，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向