動力學動量守恒定律習題集動量守恒定律作為動力學的核心規(guī)律之一，廣泛應用于碰撞、爆炸、天體運動、微觀粒子相互作用等場景。掌握其應用邏輯（系統(tǒng)選取、守恒條件判斷、矢量性分析），需通過典型習題的訓練深化理解。本習題集圍繞三類核心題型展開，結合“受力分析-系統(tǒng)建模-過程拆解-方程建立”的解題邏輯，助力讀者構建系統(tǒng)的解題能力。一、碰撞問題中的動量守恒（含能量關聯(lián)分析）碰撞過程的核心是系統(tǒng)內力遠大于外力（如摩擦力、重力分量等），因此動量守恒。結合動能變化，可分為彈性碰撞（動能守恒）、非彈性碰撞（動能損失）、完全非彈性碰撞（共速，動能損失最大）。例題1：兩球的彈性與非彈性碰撞對比題目：質量為\(m_1=2\\text{kg}\)的小球以\(v_1=5\\text{m/s}\)的速度水平向右運動，與靜止的質量\(m_2=3\\text{kg}\)的小球發(fā)生碰撞。（1）若為彈性碰撞，求碰撞后兩球的速度；（2）若為完全非彈性碰撞，求碰撞后共同速度及動能損失。解析（1）：彈性碰撞的雙守恒（動量+動能）碰撞瞬間，兩球組成的系統(tǒng)水平方向不受外力（內力遠大于重力、支持力的合力，豎直方向動量變化可忽略），因此水平動量守恒；彈性碰撞無動能損失，動能守恒。設向右為正方向，碰撞后\(m_1\)速度為\(v_1'\)，\(m_2\)速度為\(v_2'\)。動量守恒：\(m_1v_1=m_1v_1'+m_2v_2'\)動能守恒：\(\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2\)聯(lián)立方程，代入數據（\(m_1=2,v_1=5;m_2=3\)）：從動量方程得：\(2\times5=2v_1'+3v_2'\implies2v_1'+3v_2'=10\)①從動能方程得：\(2\times25=2v_1'^2+3v_2'^2\implies2v_1'^2+3v_2'^2=50\)②由①解出\(v_1'=5-\frac{3}{2}v_2'\)，代入②化簡：\(2\left(5-\frac{3}{2}v_2'\right)^2+3v_2'^2=50\)展開得：\(2(25-15v_2'+\frac{9}{4}v_2'^2)+3v_2'^2=50\)\(50-30v_2'+\frac{9}{2}v_2'^2+3v_2'^2=50\)合并同類項：\(\frac{15}{2}v_2'^2-30v_2'=0\)因式分解：\(15v_2'\left(\frac{1}{2}v_2'-2\right)=0\)解得\(v_2'=0\)（碰撞前狀態(tài)，舍去）或\(v_2'=4\\text{m/s}\)，代入①得\(v_1'=5-\frac{3}{2}\times4=-1\\text{m/s}\)（負號表示向左運動）。解析（2）：完全非彈性碰撞的共速條件完全非彈性碰撞后兩球共速（\(v_1'=v_2'=v\)），僅動量守恒。動量守恒方程：\(m_1v_1=(m_1+m_2)v\)代入數據：\(2\times5=(2+3)v\impliesv=2\\text{m/s}\)（向右）動能損失\(\DeltaE_k=E_{k\text{初}}-E_{k\text{末}}\)：\(E_{k\text{初}}=\frac{1}{2}\times2\times5^2=25\\text{J}\)\(E_{k\text{末}}=\frac{1}{2}\times(2+3)\times2^2=10\\text{J}\)因此\(\DeltaE_k=25-10=15\\text{J}\)。變式訓練1：非彈性碰撞的動能損失范圍將例題1中\(zhòng)(m_2\)的質量改為\(m_2=1\\text{kg}\)，其他條件不變。（1）求彈性碰撞后兩球速度；（2）若碰撞后\(m_2\)的速度為\(6\\text{m/s}\)，判斷碰撞類型（計算動能損失并與完全非彈性碰撞對比）。提示：（1）同彈性碰撞雙守恒；（2）先由動量守恒求\(m_1\)末速度，再計算動能變化，與完全非彈性碰撞的動能損失（共速時）比較。二、反沖運動與相對速度問題反沖運動的核心是系統(tǒng)內力驅動，外力可忽略（如火箭噴氣、人船模型），動量守恒（通常初動量為0）。需注意相對速度的處理：若涉及“相對于某物體的速度”，需轉換為對地速度（參考系一致性）。例題2：人船模型的相對位移分析題目：質量為\(M=100\\text{kg}\)的小船靜止在水面（阻力不計），質量\(m=50\\text{kg}\)的人從船的一端走到另一端，船的長度\(L=6\\text{m}\)。求船后退的距離。解析：動量守恒+相對位移關聯(lián)系統(tǒng)（人+船）水平方向不受外力（水的阻力不計），初動量為0，因此任意時刻水平動量守恒，即\(mv_{\text{人對地}}+Mv_{\text{船對地}}=0\)（人向右，船向左，速度方向相反）。設人對地的位移為\(x_{\text{人}}\)，船對地的位移為\(x_{\text{船}}\)（向左為負，向右為正），由于運動時間\(t\)相同，速度與位移成正比（\(v=\frac{x}{t}\)），因此動量守恒可轉化為位移關系：\(m\cdot\frac{x_{\text{人}}}{t}+M\cdot\frac{x_{\text{船}}}{t}=0\impliesmx_{\text{人}}+Mx_{\text{船}}=0\)人從船一端到另一端，相對位移為船的長度\(L\)，即\(x_{\text{人}}-x_{\text{船}}=L\)（人向右走\(x_{\text{人}}\)，船向左退\(|x_{\text{船}}|\)，因此相對位移是兩者絕對值之和？不，參考系問題：人對地位移\(x_{\text{人}}\)，船對地位移\(x_{\text{船}}\)（向左，故為負），則人對船的位移為\(x_{\text{人}}-x_{\text{船}}=L\)（因為船向左退了\(|x_{\text{船}}|\)，所以人相對于船走了\(x_{\text{人}}+|x_{\text{船}}|=L\)，即\(x_{\text{人}}-x_{\text{船}}=L\)，因為\(x_{\text{船}}\)為負，所以\(-x_{\text{船}}\)是正的）。聯(lián)立方程：1.\(mx_{\text{人}}+Mx_{\text{船}}=0\impliesx_{\text{人}}=-\frac{M}{m}x_{\text{船}}\)（負號表示\(x_{\text{人}}\)與\(x_{\text{船}}\)方向相反，人向右，船向左，\(x_{\text{船}}\)為負，故\(x_{\text{人}}\)為正）2.\(x_{\text{人}}-x_{\text{船}}=L\)（人對船的位移是\(L\)，因為船向左退，人向右走，相對位移為\(x_{\text{人}}+|x_{\text{船}}|=L\)，即\(x_{\text{人}}-x_{\text{船}}=L\)，因為\(x_{\text{船}}\)是負的，所以\(-x_{\text{船}}\)是正的）將\(x_{\text{人}}=-\frac{M}{m}x_{\text{船}}\)代入第二個方程：\(-\frac{M}{m}x_{\text{船}}-x_{\text{船}}=L\implies-x_{\text{船}}\left(\frac{M}{m}+1\right)=L\impliesx_{\text{船}}=-\frac{mL}{M+m}\)負號表示船的位移方向向左，后退的距離為\(|x_{\text{船}}|=\frac{mL}{M+m}\)。代入數據（\(m=50,M=100,L=6\)）：\(|x_{\text{船}}|=\frac{50\times6}{100+50}=\frac{300}{150}=2\\text{m}\)。變式訓練2：火箭噴氣的速度變化火箭初始質量為\(M_0\)，以相對火箭\(u\)的速度噴出質量為\(\Deltam\)的燃氣（\(\Deltam\llM_0\)，可近似為瞬間噴出），求火箭獲得的對地速度\(v\)。提示：系統(tǒng)（火箭剩余部分+燃氣）初動量為0，燃氣的對地速度為\(v-u\)（火箭對地速度\(v\)，燃氣相對火箭速度\(-u\)，故對地速度為\(v-u\)），利用動量守恒列式。三、多物體系統(tǒng)的動量守恒（分階段分析）多物體系統(tǒng)的動量守恒需分階段判斷：不同階段的內力/外力情況不同，需明確“守恒階段”的系統(tǒng)組成和受力。典型場景如“彈簧連接的兩物體”“多個物體依次碰撞”。例題3：彈簧系統(tǒng)的分階段動量守恒題目：光滑水平面上，質量\(m_1=3\\text{kg}\)的物體以\(v_0=4\\text{m/s}\)向右運動，與靜止的、質量\(m_2=1\\text{kg}\)且連有輕質彈簧（勁度系數\(k\)）的物體發(fā)生相互作用。求：（1）彈簧壓縮至最短時的共同速度；（2）彈簧恢復原長時兩物體的速度。解析（1）：彈簧最短時的共速條件彈簧壓縮過程中，系統(tǒng)（\(m_1+m_2+彈簧\)）水平方向不受外力（光滑水平面），動量守恒。當彈簧壓縮至最短時，兩物體共速（\(v_1'=v_2'=v\)），此時彈簧彈性勢能最大。動量守恒方程：\(m_1v_0=(m_1+m_2)v\)代入數據：\(3\times4=(3+1)v\impliesv=3\\text{m/s}\)（向右）解析（2）：彈簧恢復原長時的彈性碰撞彈簧恢復原長時，系統(tǒng)的動能與動量均守恒（彈性相互作用，無能量損失），相當于一次彈性碰撞（初態(tài)\(m_2\)靜止，末態(tài)彈簧原長，彈性勢能為0）。設恢復原長時\(m_1\)速度為\(v_1''\)，\(m_2\)速度為\(v_2''\)，動量守恒：\(m_1v_0=m_1v_1''+m_2v_2''\)①動能守恒：\(\frac{1}{2}m_1v_0^2=\frac{1}{2}m_1v_1''^2+\frac{1}{2}m_2v_2''^2\)②聯(lián)立方程，代入數據（\(m_1=3,v_0=4;m_2=1\)）：由①得：\(12=3v_1''+v_2''\impliesv_2''=12-3v_1''\)代入②：\(3\times16=3v_1''^2+v_2''^2\implies48=3v_1''^2+(12-3v_1'')^2\)展開：\(48=3v_1''^2+144-72v_1''+9v_1''^2\)合并：\(12v_1''^2-72v_1''+96=0\)化簡：\(v_1''^2-6v_1''+8=0\)因式分解：\((v_1''-2)(v_1''-4)=0\)解得\(v_1''=4\\text{m/s}\)（碰撞前狀態(tài)，舍去）或\(v_1''=2\\text{m/s}\)，代入\(v_2''=12-3\times2=6\\text{m/s}\)（向右）。變式訓練3：多物體依次碰撞質量為\(m\)的小球A以\(v_0\)碰撞靜止的質量為\(2m\)的小球B，碰撞后A速度為\(\frac{v_0}{3}\)（方向不變）；隨后B與靜止的質量為\(3m\)的小球C碰撞，求C的最終速度（所有碰撞均為彈性碰撞）。提示：分兩步分析：第一步A與B的碰撞（動量守恒，彈性碰撞需驗證動能是否守恒，或直接用彈性碰撞公式）；第二步B與C的彈性碰撞，注意B的初速度是第一步的末速度。解題思路總結動量守恒定律