試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省邵陽市、郴州市2022屆高三下學(xué)期3月二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合A=x-2<2-x<4，BA.x-3<x<4 B.x-3<x<-2【答案】C【分析】求出集合A，B后可求【詳解】因為A={x|-2<所以A∩故選C.2.若直線y=2x與圓x-aA.3 B.2 C.3 D.2【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離為半徑可求a.【詳解】因為圓心坐標(biāo)為(a，0)所以該圓心到直線2x-y=0的距離d=故選A.3.函數(shù)y=x+1A.3 B.2 C.1 D.0【答案】D【分析】利用基本不等式可求函數(shù)的最小值.【詳解】因為x>-2，所以x+2>0，x+當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1x+2故選D.4.“a+112<2-a12”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為y=x12是定義在所以a+1≥02-a因為由-1≤a<12可推出-2<a故“a+112<2-a1故選A.5.已知函數(shù)fx是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx=lnx+a2xA.e B.2e C.3e D.4e【答案】D【分析】依題意根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到f0=0，即可得到fe=-3，代入函數(shù)解析求出【詳解】解：依題意得f0=0，f-x=-fx，由fe+f0故選D6.我國18歲的滑雪運動員谷愛凌在第24屆北京冬奧會上勇奪“兩金一銀”，取得了優(yōu)異的成績.在某項決賽中選手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分數(shù)作為該選手的得分，谷愛凌為了取得佳績，準(zhǔn)備采用目前女運動員中最難的動作進行滑跳，設(shè)每輪滑跳的成功率為0.4，利用計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，我們用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，現(xiàn)以每3個隨機數(shù)為一組，作為3輪滑跳的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：813，502，659，491，275，937，740，632，845，936.由此估計谷愛凌“3輪滑跳中至少有1輪成功”的概率為()A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6【答案】B【分析】由題意，10組隨機數(shù)中，表示“3輪滑跳全都不成功”的有659，845，利用對立事件，即可得到答案；【詳解】由題意，10組隨機數(shù)中，表示“3輪滑跳全都不成功”的有659，845，共2個，所以估計谷愛凌“3輪滑跳中至少有1輪成功”的概率為1-2故選B7.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).R0一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過程中傳染的概率決定，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R0=2，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1(初始感染者)增加到999大約需要的天數(shù)為()(初始感染者傳染R0個人為第一輪傳染，這R0個人每人再傳染A.42 B.56 C.63 D.70【答案】C【分析】設(shè)第n輪感染的人數(shù)為an，則數(shù)列an是a1=2，公比【詳解】設(shè)第n輪感染的人數(shù)為an，則數(shù)列an是a1由1+Sn=2×1-2n則nlg2=3-lg2，所以n故需要的天數(shù)約為9×7=63.故選C8.設(shè)函數(shù)fx=sinωx+π6ω>0，已知fx在A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】A【分析】先求出函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題意得出參數(shù)ω的范圍，設(shè)t=ωx+π6，則t∈π【詳解】由-π2+2kπ≤ωx+取k=0，可得-2π3ω≤x≤解得0<ω≤43.若設(shè)t=ωx+π所以函數(shù)y=sint在π6，所以fx在0，2π故選A二、多選題9.設(shè)復(fù)數(shù)z=-12-32A.z=cos2πC.zz=1 【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法、乘方、模的運算可判斷A，C，D；根據(jù)特殊三角函數(shù)值與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系可判斷A.【詳解】對于A，由題可知z=-12對于B，因為zz2=對于C，因為zz=-因為z3+z3故選ACD10.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG：GC=DHA.BD∥平面EGHF B.FH∥C.AC∥平面EGHF D.直線GE，HF，AC【答案】AD【分析】由條件可得GH∥BD，F(xiàn)H與AC為相交直線，即可判斷ABC，EG與FH必相交，設(shè)交點為M，然后可證明M∈AC【詳解】因為BG：GC=又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD，且EF=易知BD∥平面EGHF，F(xiàn)H與AC為相交直線，即A正確，B，C錯誤因為EFHG為梯形，所以EG與FH必相交，設(shè)交點為M，所以EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面則M是平面ABC與平面ACD的一個交點，所以M∈AC，即直線GE，HF，AC交于一點，即D故選AD11.設(shè)函數(shù)fx=2ln1+x-1+4x+1A.2ln1.01>1.04-1 B.C.?x∈0+2，f'x【答案】AC【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)得f'【詳解】fx的定義域是-14因為1+4x所以當(dāng)x∈-1當(dāng)x∈0，fx在-14，0上單調(diào)遞減，在0因為0.01>0，所以f0.01>f0=0，即根據(jù)fx的單調(diào)性可知fx有兩個零點，B錯誤，C因為f-14f2-f所以fx的最大值是2ln34+1故選AC12.已知雙曲線E：x2a2-y2=1(a>0)的左?右焦點分別為F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，過點F2A.若|PFB.若asin∠PC.ΔF1D.△AOB(O為坐標(biāo)原點)的面積為定值【答案】ACD【分析】對于A，由雙曲線的定義知，PF1-P對于B，在ΔPF1F2中，由正弦定理得出sin∠P對于C，由分析知，當(dāng)直線PQ垂直x軸時，ΔF1對于D，設(shè)Px0，y0，過點P的雙曲線E的切線方程為x0a2x-y0y代入計算，即可判定D.【詳解】由題意知PF1-PF2=2a，a2+1=c2，則P在ΔPF1F2中，由正弦定理得PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠P當(dāng)直線PQ垂直x軸時，PQ的最小值為2aPF1+Q設(shè)Px0，y0，過點P的雙曲線E的切線方程為x0a2x-y0y=1，Aa2x又因為點P在雙曲線E上，則有x02a2-y02=1，xA+xB=a2x0-ay0+a故選ACD.三、填空題13.已知向量a=m，2，b=n，【答案】1【分析】由題知m-2n【詳解】解：因為a=m，2，b所以m-2n=0mn+2=4故答案為：114.已知橢圓C：x2a2+y216=1a>0的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)【答案】5【分析】設(shè)焦距為2c，根據(jù)題意和橢圓的定義可得2a+2c=16【詳解】設(shè)焦距為2c，因為△PF1所以2a+2c=16又a2-c可得a-c=2②，由①②故答案為：515.一次考試后，學(xué)校準(zhǔn)備表彰在該次考試中排名前10位的同學(xué)，其中有2位是高三(1)班的同學(xué)，現(xiàn)要選4人去“表彰會”上作報告，若高三(1)班的2人同時參加，則2人作報告的順序不能相鄰，則要求高三(1)班至少有1人參加的作報告的方案共有___________種.(用數(shù)字作答)【答案】3024【分析】就高三(1)有1人參加還是有2人參加分類計數(shù)后可得正確的結(jié)果.【詳解】若高三(1)班只有1人參加，則有C2若高三(1)班2人都參加，則有C82A2故答案為：302416.已知A、B、C、D四點都在表面積為100π的球O的表面上，若AD是球O的直徑，且BC=33，∠BAC=120°，則該三棱錐A【答案】6【分析】作出圖像，數(shù)形結(jié)合求解.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，圓心為O1，根據(jù)正弦定理可求r，根據(jù)幾何關(guān)系可求D到平面ABC的距離為定值2OO1，故當(dāng)△ABC面積最大時，三棱椎A(chǔ)?BCD體積最大，在△ABC內(nèi)，由余弦定理、基本不等式、三角形面積公式可求【詳解】設(shè)求O的半徑為R，∵球O的表面積為100π，∴4πR2∵BC=33，∠BAC=120°，設(shè)△ABC的外接圓半徑為∴根據(jù)正弦定理知，33sin120°=2r∴OO∵AD是直徑，O是AD中點，∴D到平面ABC的距離為2O在△ABC中，根據(jù)余弦定理得，BC即27=A∴AB?AC≤9∴△ABC面積的最大值為S=∴三棱錐A?BCD體積的最大值V=故答案為：63四、解答題17.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3b(1)求B.(2)若a=2，c=1，___________，求在①D為AC的中點，②BD為∠ABC的角平分線這兩個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)2(2)答案見解析【分析】(1)利用正弦定理化簡條件可得3sinB=1-cos(2)選擇條件①：利用向量的加法和數(shù)量積運算；選擇條件②：利用面積關(guān)系S△【詳解】(1)(1)由正弦定理得，3sin因為sinA≠0，所以所以3sinB+cos又B∈0，π，則(2)(2)選擇條件①：因為BD=BA+=141∴BD=選擇條件②：因為BD為∠ABC的角平分線，所以S△則12∴1解得BD=18.已知數(shù)列an滿足a1=1，a(1)求an的通項公式(2)證明1a【答案】(1)a(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)an(2)由1an【詳解】(1)解：由an得an-12-an-2由累加法得a==n所以an又a1=1滿足又因為an所以an(2)因為1a所以當(dāng)n≥2時，<1+=1+1-1當(dāng)n=1時，1所以1a19.某跳繩訓(xùn)練隊需對隊員進行限時的跳繩達標(biāo)測試.已知隊員的測試分數(shù)y與跳繩個數(shù)x滿足如下關(guān)系y=0，0≤x<14060，140≤x<16080，160≤x<180(1)計算a值，并根據(jù)直方圖計算隊員甲在1分鐘內(nèi)跳繩個數(shù)的平均值；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表)(2)將跳繩個數(shù)落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每次跳繩相互獨立，X表示隊員甲在達標(biāo)測試中的分數(shù)，求X的分布列與期望.【答案】(1)a=0.02，平均值為(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：81.4【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的各小面積的和為1求解；再利用平均數(shù)的定義求解；(2)由X可能的取值為0，60，80，100，再求得其相應(yīng)的概率，列出分布列，再利用期望公式求解.【詳解】(1)解：由題可得a+0.005+0.01+0.015所以a=0.02隊員甲在1分鐘內(nèi)跳繩個數(shù)的平均值為130×0.1+150×0.2+170×0.4+190×0.3=168.(2)X可能的取值為0，60，80，100.PX=0=0.1×0.1=0.01PX=80X的分布列為X06080100P0.010.220.440.33E20.如圖，四棱錐A?BCDE的底面為等腰梯形，DE∥BC，且∠DCB=45°，AB⊥(1)證明：CD⊥(2)若BC=2DE=2AB=2，求二面角C?【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面ACD.從而證明結(jié)論(2)分別以AC，AB為x，y軸，過點A作平面ABC【詳解】(1)因為平面ACD⊥平面ACB，且平面ACD∩平面AB⊥AC，AB?平面ACB，所以AB又因為CD?平面ACD，所以CD(2)分別以AC，AB為x，y軸，過點A作平面ABC的垂線為由已知條件，易得A0，0，0在△BCD中，由余弦定理可得BD2=在△ACD中，由余弦定理得cos∠DAC=3因為DE=12CB?設(shè)n?=x由n?AD=0n?DE=0又平面ACD的一個法向量為AB=所以cos?n又面角C?AD?E為鈍角，所以二面角C?AD?E為2π21.已知拋物線C的焦點F在x軸上，過F且垂直于x軸的直線交C于A(點A在第一象限)，B兩點，且AB=4(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知l為C的準(zhǔn)線，過F的直線l1交C于M，N(M，N異于A，B)兩點，證明：直線AM，BN和l相交于一點【答案】(1)y(2)證明見解析【分析】(1)設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)題意將x=p2代入(2)先求出點A，B的坐標(biāo)，設(shè)直線l1的方程為x=my+1，與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達定理，寫出直線AM【詳解】(1)由拋物線C的焦點F在x軸上，點A在第一象限，則拋物線開口向右.設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px由題意AF⊥x軸，則點A的橫坐標(biāo)為將x=p2代入y2=2px，可得所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2(2)證明：由(1)可知A1，2設(shè)直線l1的方程為x=my+1，聯(lián)立設(shè)Mx1，y1，N直線AM的方程為y=y1令x=-1，解得y=2y直線BN的方程為y=y2令x=-1，解得y=-2y2因為2y即2所以直線AM，BN和l相交于一點.22.已知函數(shù)f((1)若fx≤0恒成立，求實數(shù)(2)若lnx1-2【答案】(1)1(2)證明見解析【分析】(1)fx≤0恒成立，等價于a≥lnxx恒成立，即(2)lnx1-2ax1=lnx2-2ax2=0x1>x2>0，即x1，x2