1/102025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版（2019）選修第一冊第1--2章空間向量與立體幾何+直線方程。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，再計(jì)算的值．【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，所以．故選：B．2．若直線：與直線：平行，則＝（

）A． B．或3 C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，系數(shù)滿足的關(guān)系求的值即可.【詳解】因?yàn)閮芍本€平行，所以：，所以或.故選：B3．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，已知四棱錐是陽馬，平面，且，若，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算原則求解即可.【詳解】由題意，，，則，故選：D.4．直線經(jīng)過點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則的所有可能取值之和為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由直線經(jīng)過點(diǎn)得，然后計(jì)算直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，然后根據(jù)截距相反列式計(jì)算即可.【詳解】由題意，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，則直線.當(dāng)時(shí)，直線在軸上不存在截距，不滿足題意；所以，令，則，令，則.由題意，化簡得，解得或，故的所有可能取值之和為.故選：C.5．已知兩點(diǎn)，，動點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，則xy的最大值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】先寫出直線AB的方程；再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，可得：，則直線AB的方程為：，即.又因?yàn)閯狱c(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以.最大值為3.故選：C.6．，，是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，，，分別是射線，，上的點(diǎn)，且，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，，表示出與，由點(diǎn)E到直線的距離為可計(jì)算得到答案【詳解】

如圖所示，為的中點(diǎn)，則，，又，，，，點(diǎn)E到直線DF的距離為．故選：C7．在等腰直角中，，點(diǎn)是邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)，邊反射后又回到點(diǎn)，若光線經(jīng)過的重心，則的周長等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，得，設(shè)，求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由反射性質(zhì)得四點(diǎn)共線，求得直線方程，由在直線上可求得，然后計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所求的直角坐標(biāo)系，得，，則直線方程為，且的重心為，即，設(shè)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，易知關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，根據(jù)光線反射原理知四點(diǎn)共線，且，，所以直線的方程為，即，又直線過，所以，解得或（舍去），所以，，,所以，所以的周長為.故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用對稱性，把的三邊轉(zhuǎn)化到同一條直線上，利用直線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).8．如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點(diǎn)，在內(nèi)有一動點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，因?yàn)槲挥诘耐瑐?cè)，設(shè)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，根據(jù)求解.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)A關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以，所以A與到平面的距離，即

①．又，所以，即

②．由①②得，由可得，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以的最小值為．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若兩直線的傾斜角分別為，斜率分別是，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系及正切函數(shù)性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：由表明斜率存在，則，由正切函數(shù)在上，傾斜角和斜率一一對應(yīng)，故，對；B：若，時(shí)，相應(yīng)的傾斜角，，不滿足，錯(cuò)；C：由正切函數(shù)的圖象知：當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，或不存在，錯(cuò)；D：因?yàn)?，結(jié)合正切函數(shù)的圖象知，，所以，對.故選：AD10．已知正方體的棱長為4，動點(diǎn)在正方體表面上（不包括邊界），則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得∥面B．存在點(diǎn)，使得面C．若與的夾角為，則點(diǎn)的軌跡長度為D．若為面的中心，則的最小值為【答案】ACD【分析】A項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，通過證明∥即可得出結(jié)論；B項(xiàng)，求出面的法向量，計(jì)算出面時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，求出點(diǎn)的軌跡，即可求出點(diǎn)的軌跡長度；D項(xiàng)，作出取最小值時(shí)的圖，根據(jù)對稱性和兩點(diǎn)之間距離公式即可求出的最小值.【詳解】由題意，在正方體中，棱長為4，動點(diǎn)在正方體表面上（不包括邊界），連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)兩線段交點(diǎn)為，連接，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，A4,0,0,B4,4,0,C0,4,0,D0,0,0,E2,2,0,F2,2,4∵面，面，∴∥面，∴當(dāng)點(diǎn)在F2,2,4處時(shí)，面，∴存在點(diǎn)，使得∥面，故A正確；B項(xiàng)，在面中，DA1=4,0,4,DBDA1?n1=0DB?n若面，則AP=tn1=?t,t,t，P=tn1∴，此時(shí)P=0,4,4，與重合，∵點(diǎn)不在邊界上，故不存在點(diǎn)，使得面，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，因?yàn)?，與的夾角為，所以與所成的角為，則∠由幾何知識得，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的四分之一（即），在中，，，，∴，∴點(diǎn)的軌跡長度為：，C正確；D項(xiàng)，為面的中心，作點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，連接A2M，當(dāng)最小時(shí)，，∴A24,0,8，∴AP＋故選：ACD.11．定義點(diǎn)到直線的有向距離為.已知點(diǎn)到直線的有向距離分別是以下命題不正確的是（

）A．若，則直線與直線平行B．若，則直線與直線垂直C．若，則直線與直線垂直D．若，則直線與直線相交【答案】BCD【分析】根據(jù)有向距離的定義可得直線的方程，故可判斷A的正誤，根據(jù)反例可判斷BCD的正誤.【詳解】設(shè)，對于A，即為，故，所以直線的方程為：，因?yàn)椋本€與直線平行，故A正確；對于B，設(shè)直線，取，則，但，此時(shí)直線與直線不垂直，故B錯(cuò)誤；此時(shí)也成立，故C錯(cuò)誤；對于D，仍取直線，取，此時(shí)，故成立，此時(shí)與直線重合，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線在x軸上的截距為．【答案】或13【分析】由兩直線平行可得n，再利用平行直線間的距離公式計(jì)算可得m，即可得到答案．【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，解得，所以：，即，由兩平行直線間的距離公式得，解得或．在中，令，得，故直線在x軸上的截距為或13.故答案為：或13.13．如圖，二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)，線段與分別在這個(gè)二面角兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，則．【答案】【分析】根據(jù)已知條件用空間向量的模的公式求出的長.【詳解】由條件知CA→又二面角α?l?β的平面角為，則BD→,CD→所以CD→故答案為：.14．棱長為的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)（包括邊界），且平面，則當(dāng)三棱錐體積取最大時(shí)，其外接球的表面積為.【答案】【分析】先過作平面的平行面從而確定點(diǎn)的軌跡，再確定三棱錐體積取最大時(shí)的位置，進(jìn)而找到球心所在方位即可求解.【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)G，連接，則由正方體性質(zhì)有，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，又且都在面，所以平面平面，又面，所以平面，所以的軌跡是以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，因?yàn)?，所以?dāng)F點(diǎn)離平面距離最遠(yuǎn)時(shí)三棱錐體積最大，此時(shí)，點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，取中點(diǎn)O，連接，則由正方體性質(zhì)可得平面，所以三棱錐的外接球球心在所在直線上，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，球心為，則于是，，所以外接球半徑為，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知直線過點(diǎn)，且直線的傾斜角比直線的傾斜角大．(1)求直線的方程；(2)若點(diǎn)在直線上，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)直線方程確定斜率，進(jìn)而得到傾斜角，再求直線的斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求其范圍.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以其傾斜角為，則的傾斜角為，可知的斜率，所以的方程為，即；（6分）（2）表示與點(diǎn)連線的斜率，又是直線在部分上的動點(diǎn)，如下圖示：則，直線AB的斜率不存在，則，即的取值范圍為.（13分）16.（15分）如圖，在幾何體中，平面平面，，，，，∥.(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若為等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，通過證明四邊形為平行四邊形得到，再利用線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；（2）法一：延長，交于，連接，由此作出二面角的平面角.并證明，再求的余弦值即可.法二：先證得兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算二面角的余弦值即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，則為的中位線.∴GF//CD，又且.四邊形為平行四邊形.又平面，平面∥平面.(6分）（2）法一：延長，交于，連接是等邊三角形，為的中點(diǎn),

又且.為的中位線,為的中點(diǎn)又為的中點(diǎn)，為的中位線，，.

∵平面平面ACD，平面平面ACD=AC，平面平面.平面，.因此，二面角的平面角為.因此，平面與平面夾角的余弦值為.

（15分）法二：∵平面平面ACD，平面平面，平面.

平面.

又等邊三角形，為的中點(diǎn)

所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，，?/p>

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則AD?n=0AE?令，解得設(shè)為平面的一個(gè)法向量.易得.設(shè)平面與平面夾角為，cosθ=cosn,因此，平面與平面夾角的余弦值為.（15分）17.（15分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是．(1)若直線過點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，求直線的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形面積取最小值時(shí)直線的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分別討論當(dāng)直線與平行，當(dāng)直線通過的中點(diǎn)兩種情況下，根據(jù)已知條件分別求出直線的方程.（2）利用基本不等式的性質(zhì)求出三角形面積的最小值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以直線與平行或通過的中點(diǎn)，①當(dāng)直線與平行，因?yàn)椋疫^點(diǎn)，所以方程為，即；（3分）②當(dāng)直線通過的中點(diǎn)，所以，所以的方程為，即．綜上：直線的方程為或．（7分）（2）由題意設(shè)，其中為正數(shù)，可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由基本不等式可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值24，所以面積，所以當(dāng)時(shí)，面積最小，此時(shí)直線的方程為，即．（15分）18.（17分）如圖，圓臺的一個(gè)軸截面為等腰梯形，為底面圓周上異于、的點(diǎn)．(1)求該圓臺的側(cè)面積；(2)若是線段的中點(diǎn)，求證：直線平面；(3)若，設(shè)直線為平面與平面的交線，設(shè)平面，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），直線與平面所成的角大小為，求的最大值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由圓臺側(cè)面積公式即可求解；（2）取中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形得到，然后根據(jù)線面平行的判定定理完成證明；（3）延長交于點(diǎn)，建立合適空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法表示出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出最大值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以圓臺的側(cè)面積為；（3分）（2）取中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在等腰梯形中，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（9分）（3）延長交于點(diǎn)，作直線，因?yàn)閮牲c(diǎn)分別在平面與平面內(nèi)，所以直線即為直線，又平面，所以點(diǎn)，即為點(diǎn)，，則，以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，在等腰梯形中，，此梯形的高為，因?yàn)?，所以為的中位線，則，所以，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則有：，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，綜上所述，的最大值為.（17分）19.（17分）在空間中，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量．由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)