角平分線專題幾何練習(xí)題及解析角平分線作為幾何圖形中角的核心“分割線”，既承載角的對(duì)稱特性，又與線段、三角形、四邊形等圖形的性質(zhì)深度關(guān)聯(lián)。掌握角平分線的相關(guān)定理（性質(zhì)定理、判定定理、三角形內(nèi)角平分線定理等），并能靈活運(yùn)用其解決幾何問(wèn)題，是提升平面幾何解題能力的關(guān)鍵。本文通過(guò)典型練習(xí)題的解析，梳理角平分線的核心應(yīng)用思路。一、角平分線的基本定理回顧1.角平分線的性質(zhì)定理內(nèi)容：角平分線上的任意一點(diǎn)，到角的兩邊的距離相等。符號(hào)語(yǔ)言：若\(OP\)平分\(\angleAOB\)，點(diǎn)\(P\)到\(OA\)的距離為\(PD\)，到\(OB\)的距離為\(PE\)（\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)），則\(PD=PE\)。2.角平分線的判定定理內(nèi)容：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。符號(hào)語(yǔ)言：若點(diǎn)\(P\)到\(OA\)、\(OB\)的距離\(PD=PE\)（\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)），則點(diǎn)\(P\)在\(\angleAOB\)的平分線上。3.三角形內(nèi)角平分線定理內(nèi)容：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。符號(hào)語(yǔ)言：在\(\triangleABC\)中，若\(AD\)平分\(\angleBAC\)，且\(AD\)交\(BC\)于\(D\)，則\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\)。二、典型題型及解析題型一：角平分線性質(zhì)的直接應(yīng)用（求距離、證線段相等）例題1：如圖，在\(\angleMON\)中，\(OC\)是角平分線，點(diǎn)\(P\)在\(OC\)上，\(PD\perpOM\)于\(D\)，\(PE\perpON\)于\(E\)，若\(PD=3\)，求\(PE\)的長(zhǎng)度。解析：本題直接考查角平分線的性質(zhì)定理。根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，因?yàn)閈(OC\)平分\(\angleMON\)，且\(P\)在\(OC\)上，\(PD\perpOM\)，\(PE\perpON\)，所以\(PE=PD\)。已知\(PD=3\)，因此\(PE=3\)。例題2：如圖，\(AB=AC\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)，\(CD\)平分\(\angleACB\)，過(guò)\(D\)作\(EF\parallelBC\)交\(AB\)于\(E\)，交\(AC\)于\(F\)。求證：\(BE+CF=EF\)。解析：要證\(BE+CF=EF\)，需將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化。由\(EF\parallelBC\)，結(jié)合角平分線，可推出等腰三角形。1.由\(BD\)平分\(\angleABC\)，得\(\angleEBD=\angleDBC\)；2.因\(EF\parallelBC\)，故\(\angleEDB=\angleDBC\)（內(nèi)錯(cuò)角相等）；3.因此\(\angleEBD=\angleEDB\)，由“等角對(duì)等邊”得\(BE=ED\)；4.同理，\(CD\)平分\(\angleACB\)，\(EF\parallelBC\)，可得\(\angleFCD=\angleFDC\)，故\(CF=FD\)；5.又\(EF=ED+FD\)，代入\(BE=ED\)、\(CF=FD\)，得\(BE+CF=EF\)。題型二：角平分線與三角形的綜合（邊長(zhǎng)、角度計(jì)算）例題3：在\(\triangleABC\)中，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，\(AB=5\)，\(AC=3\)，\(BC=6\)，求\(BD\)的長(zhǎng)。解析：本題適用三角形內(nèi)角平分線定理，即\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\)。設(shè)\(BD=x\)，則\(DC=6-x\)，代入比例關(guān)系：\[\frac{x}{6-x}=\frac{5}{3}\]交叉相乘得：\(3x=5(6-x)\)，展開(kāi)得\(3x=30-5x\)，移項(xiàng)得\(8x=30\)，解得\(x=\frac{15}{4}\)，即\(BD=\frac{15}{4}\)。例題4：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=60^\circ\)，\(\angleC=40^\circ\)，\(AD\)平分\(\angleBAC\)，\(BE\)平分\(\angleABC\)，\(AD\)與\(BE\)交于點(diǎn)\(O\)，求\(\angleAOB\)的度數(shù)。解析：先求\(\angleBAC\)的度數(shù)，再利用角平分線求\(\angleOAB\)、\(\angleOBA\)，最后用三角形內(nèi)角和求\(\angleAOB\)。1.由三角形內(nèi)角和，\(\angleBAC=180^\circ-\angleB-\angleC=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ\)；2.\(AD\)平分\(\angleBAC\)，故\(\angleOAB=\frac{1}{2}\angleBAC=40^\circ\)；3.\(BE\)平分\(\angleABC\)，故\(\angleOBA=\frac{1}{2}\angleABC=30^\circ\)；4.在\(\triangleAOB\)中，\(\angleAOB=180^\circ-\angleOAB-\angleOBA=180^\circ-40^\circ-30^\circ=110^\circ\)。題型三：角平分線的輔助線構(gòu)造（作垂線、截長(zhǎng)補(bǔ)短）例題5：如圖，\(\angleB=\angleC=90^\circ\)，\(M\)是\(BC\)中點(diǎn)，\(DM\)平分\(\angleADC\)，求證：\(AM\)平分\(\angleDAB\)。解析：要證\(AM\)平分\(\angleDAB\)，根據(jù)角平分線判定定理，需證點(diǎn)\(M\)到\(AD\)、\(AB\)的距離相等。1.過(guò)\(M\)作\(ME\perpAD\)于\(E\)；2.因\(DM\)平分\(\angleADC\)，\(\angleC=90^\circ\)（\(MC\perpDC\)），\(ME\perpAD\)，由角平分線性質(zhì)得\(ME=MC\)；3.又\(M\)是\(BC\)中點(diǎn)，故\(MC=MB\)，因此\(ME=MB\)；4.因\(\angleB=90^\circ\)（\(MB\perpAB\)），\(ME\perpAD\)，且\(ME=MB\)，根據(jù)角平分線判定定理，點(diǎn)\(M\)在\(\angleDAB\)的平分線上，即\(AM\)平分\(\angleDAB\)。例題6：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=120^\circ\)，\(AD\)平分\(\angleBAC\)，且\(AB+BD=AC\)，求\(\angleC\)的度數(shù)。解析：本題用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形。在\(AC\)上截取\(AE=AB\)，連接\(DE\)。1.因\(AD\)平分\(\angleBAC\)，故\(\angleBAD=\angleEAD=60^\circ\)；2.在\(\triangleABD\)和\(\triangleAED\)中，\(AB=AE\)，\(\angleBAD=\angleEAD\)，\(AD=AD\)，由\(SAS\)得\(\triangleABD\cong\triangleAED\)；3.因此\(BD=ED\)，\(\angleB=\angleAED\)；4.由\(AB+BD=AC\)，且\(AC=AE+EC\)，\(AE=AB\)，故\(BD=EC\)，因此\(ED=EC\)；5.設(shè)\(\angleC=x\)，則\(\angleEDC=x\)，故\(\angleAED=\angleEDC+\angleC=2x\)，即\(\angleB=2x\)；6.在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC+\angleB+\angleC=180^\circ\)，即\(120^\circ+2x+x=180^\circ\)，解得\(x=20^\circ\)，故\(\angleC=20^\circ\)。三、解題思路總結(jié)1.定理優(yōu)先：遇到角平分線問(wèn)題，優(yōu)先聯(lián)想“性質(zhì)定理”（點(diǎn)到兩邊距離相等）、“判定定理”（距離相等則在平分線上）、“三角形內(nèi)角平分線定理”（對(duì)邊成比例），明確已知