第六章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析6.1離散時(shí)間信號(hào)基礎(chǔ)6.2離散時(shí)間系統(tǒng)6.3離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)6.4單位序列響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)6.5卷積和6.6離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)前面幾章分別從時(shí)域和變換域的角度講述了連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法,本章研究離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法。離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的分析與連續(xù)時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的分析在許多方面都是相互并行的,兩者之間有許多相似之處。在系統(tǒng)特性的描述中,連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程,與之相對應(yīng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程,而差分方程和微分方程的求解方法在很大程度上是相互對應(yīng)的。

在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析中,沖激響應(yīng)和卷積積分具有重要的地位和意義,在離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析中,單位序列響應(yīng)與卷積和具有同樣重要的地位和意義。在系統(tǒng)分析方法中,連續(xù)系統(tǒng)有時(shí)域、頻域和s域分析法,相應(yīng)地,離散系統(tǒng)也有時(shí)域、頻域和z域分析法;而在系統(tǒng)響應(yīng)的分解方面,則都可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),自由響應(yīng)和受迫響應(yīng)等等?？梢?在進(jìn)行離散信號(hào)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)時(shí),經(jīng)常把它與連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)相對比,這對于其分析方法的理解、掌握和運(yùn)用是很有幫助的。但應(yīng)該指出,連續(xù)時(shí)間信號(hào)系統(tǒng)與離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)還存在著一定的差別,學(xué)習(xí)時(shí)也應(yīng)該注意這些差別,從而真正深入理解其分析方法并加以掌握和應(yīng)用。本章將介紹離散時(shí)間信號(hào)的基本概念、基本運(yùn)算、離散時(shí)間系統(tǒng)的描述,并從時(shí)域角度討論離散時(shí)間系統(tǒng)的分析方法。6.1離散時(shí)間信號(hào)基礎(chǔ)在第一章中曾定義,如果信號(hào)僅在一系列離散的瞬間才有定義,則稱之為離散信號(hào)。這里所謂的“離散”,指的是信號(hào)的定義域是離散的,如果信號(hào)的定義域是時(shí)間變量t,則離散信號(hào)只在一些離散的時(shí)間點(diǎn)上有意義,而在其他時(shí)間點(diǎn)上未定義。如果信號(hào)不僅在時(shí)間上取值是離散的,而且在幅度取值上也是離散的,則稱為數(shù)字信號(hào)。

在計(jì)算機(jī)中傳輸和處理的信號(hào)就是數(shù)字信號(hào),嚴(yán)格來說,離散時(shí)間信號(hào)和數(shù)字信號(hào)是有區(qū)別的,但一般將離散時(shí)間信號(hào)與數(shù)字信號(hào)等同使用,除了某些特殊的情況之外,比如考慮計(jì)算機(jī)的有限字長精度影響的情況。今后討論的離散時(shí)間信號(hào),既可以是數(shù)字信號(hào),也可以不是,兩者在分析方法上并無區(qū)別。6.1.1離散時(shí)間信號(hào)的數(shù)學(xué)描述對于離散時(shí)間信號(hào)來說,兩個(gè)離散時(shí)刻之間的間隔可以是均勻的,也可以是不均勻的,通常,選取均勻的時(shí)間間隔,設(shè)之為Ts,則可以用f(kTs)表示離散時(shí)間信號(hào)在kTs時(shí)刻的值(k取整數(shù),k=0,±1,±2,…)。實(shí)際處理時(shí),常把信號(hào)存放在處理器的存儲(chǔ)單元中,隨時(shí)取用,也可以先記錄數(shù)據(jù)后分析或短時(shí)間內(nèi)存入,數(shù)據(jù)在較長時(shí)間內(nèi)完成處理過程?？紤]到上述因素,離散時(shí)間信號(hào)f(kTs)可以不必以kTs為變量,而可以直接用f(k)表示離散信號(hào),k為信號(hào)出現(xiàn)的序號(hào)。用f(k)表示離散信號(hào)不僅簡便而且具有更為普遍的意義,即離散變量k可以不限于代表時(shí)間。通常,離散時(shí)間信號(hào)也稱為序列,可以把它看成是一組序列值的集合。離散時(shí)間信號(hào)可以用函數(shù)解析式表示,也可以用集合的方式表示,還可以用圖形的方式表示。例如對于一個(gè)離散信號(hào)f(k),其函數(shù)解析式表示為用集合的方式表示就是將離散信號(hào)按其下標(biāo)k增長方式羅列出來的一組有序的序列,這樣,上述序列f(k)可以表示為

其中,箭頭表示k=0的時(shí)刻。用圖形方式表示時(shí)如圖6.1所示,圖中線段的長短表示各序列值的大小圖6.1序列的圖形表示6.1.2常見的離散時(shí)間信號(hào)

1.單位序列δ(k)單位序列δ(k)定義為(6.1)

δ(k)的波形如圖6.2(a)所示。該序列僅在k=0時(shí)取值為1,而在其他點(diǎn)上均為零。單位序列也稱為單位樣值序列或單位脈沖序列,它在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t),但是,兩者之間存在著重要的差別：δ(t)是一個(gè)奇異信號(hào),可以理解為在t=0點(diǎn)處脈寬趨于零而幅度為無限大的信號(hào);而δ(k)是一個(gè)非奇異信號(hào),在k=0處取有限值1。圖6.2單位序列及其移位將δ(k)移位n,得(6.2)

δ(k-n)的波形如圖6.2(b)所示。由于單位序列δ(k)僅在k=0處不為零,故有f(k)δ(k)=f(0)δ(k)(6.3)可以看出,任意信號(hào)與單位序列δ(k)相乘得到的仍然是一個(gè)δ(k)序列,只不過序列的幅度不再為1而是被f(0)加權(quán),δ(k)的這個(gè)性質(zhì)稱之為“加權(quán)性”,或“取樣性”。推廣后可以得到,對于任意延時(shí)的單位序列δ(k-n),有f(k)δ(k-n)=f(n)δ(k-n)(6.4)應(yīng)用上述性質(zhì),可以將任意離散信號(hào)f(k)表示為單位序列的延時(shí)加權(quán)和,即(6.5)同樣,根據(jù)單位序列δ(k)的特點(diǎn),還可以得到(6.6)它將求和序列中f(k)的一個(gè)具體的函數(shù)值篩選出來,因此稱為δ(k)的“篩選”特性,推廣后可以得到,對于延時(shí)的單位序列δ(k-n),有(6.7)單位序列δ(k)是離散時(shí)間系統(tǒng)分析中最簡單的序列,但是它卻起著非常重要的作用。

2.單位階躍序列ε(k)單位階躍序列ε(k)定義為(6.8)

ε(k)的波形如圖6.3所示。單位階躍序列ε(k)類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位階躍信號(hào)ε(t),但應(yīng)注意,ε(t)在t=0點(diǎn)處發(fā)生跳變,在此處不定義或定義為,而ε(k)在k=0處定義為1。圖6.3單位階躍序列單位階躍序列ε(k)具有截?cái)嗟奶匦?它可以將一個(gè)雙邊序列f(k)截?cái)喑蔀橐粋€(gè)零起始的單邊序列f(k)ε(k)。ε(k)與δ(k)之間具有如下的關(guān)系:(6.9)δ(k)=ε(k)-ε(k-1)(6.10)

3.矩形序列RN(k)矩形序列也稱為門函數(shù),其定義為(6.11)RN(k)的波形如圖6.4所示。該序列僅在0~N-1范圍內(nèi)共N個(gè)點(diǎn)為1,而在其他點(diǎn)處為零,類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的門函數(shù)。圖6.4矩形序列矩形序列可以用單位階躍序列表示,即RN(k)=ε(k)-ε(k-N)(6.12)

4.單邊指數(shù)序列單邊指數(shù)序列的函數(shù)表達(dá)式為f(k)=akε(k)(6.13)式中,a為實(shí)數(shù),當(dāng)|a|＞1時(shí)序列發(fā)散,|a|＜1時(shí)序列收斂;a＞0時(shí)序列值取正,a＜0時(shí),序列值正、負(fù)擺動(dòng)。圖6.5(a)～(d)給出了a取不同值時(shí)序列的變化趨勢。圖6.5指數(shù)序列

5.正弦序列正弦序列的函數(shù)表達(dá)式為f(k)=Asin(ω0k+φ)(6.14)式中,ω0為正弦序列的數(shù)字角頻率,表示序列值依次周期性重復(fù)的速率;A、φ分別為正弦序列的振幅和初相位。與連續(xù)正弦信號(hào)不同,離散正弦序列并不一定是周期序列。下面來討論離散正弦序列為周期序列的條件。若式(6.14)所示正弦序列為周期序列,則f(k)應(yīng)滿足(6.15)式中,m、N均取整數(shù),且N為最小正周期。圖6.6為整數(shù)的正弦周期序列由式(6.15)可以看出,只有當(dāng)ω0N=2nπ,n=1,2,3,…時(shí),式(6.14)所示正弦序列才是周期序列,且周期為。具體地說,可以分為以下三種情況:(1)2π/ω0為整數(shù)。此時(shí)正弦序列為周期序列,且周期為N=(2π/ω0)(n=1)。例如正弦序列,其頻率為,周期為N=8,波形如圖6.6所示?？梢?該正弦序列每隔8點(diǎn)重復(fù)一個(gè)周期。圖6.7為有理數(shù)的正弦周期序列

(2)為有理數(shù)，即(P、Q為無公因子的整數(shù))。此時(shí)正弦序列仍為周期序列。周期,取n=Q,則正弦序列的周期為N=P。例如正弦序列,其頻率為,故其周期為N=5。的波形如圖6.7所示?？梢?該正弦序列每隔5點(diǎn)重復(fù)一個(gè)周期。

(3)為無理數(shù)。此時(shí)任何整數(shù)n都不能使N為正整數(shù),因此序列不具有周期性,但其樣值的包絡(luò)仍然為正弦周期信號(hào)。例如正弦序列就是非周期序列,但是其包絡(luò)仍為周期信號(hào),如圖6.8所示。

6.復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列的函數(shù)表達(dá)式為(6.16)圖6.8為無理數(shù)的正弦非周期序列式中,r=eα,利用歐拉公式將上式展開得f(k)=rkcos(ω0k)+jrksin(ω0k)(6.17)

式(6.17)表明,一個(gè)復(fù)指數(shù)序列的實(shí)部和虛部均為幅值按指數(shù)規(guī)律變化的正弦信號(hào)。若|r|＞1,為增幅的正弦序列;若|r|＜1,為衰減的正弦序列;若|r|=1,為等幅的正弦序列。若ω0=0,則復(fù)指數(shù)信號(hào)成為實(shí)指數(shù)序列;若|r|=1,ω0=0,復(fù)指數(shù)信號(hào)的實(shí)部與虛部均與時(shí)間無關(guān),成為直流信號(hào)?？梢?復(fù)指數(shù)序列概括了多種離散序列的情況。6.1.3離散時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析中,常遇到序列的一些基本運(yùn)算。

1.序列的相加與相乘序列f1(k)與f2(k)相加,是指兩序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)對應(yīng)相加,構(gòu)成一個(gè)新的序列f(k),即f(k)=f

１(k)+f2(k)(6.18)序列f1(k)與f2(k)相乘,是指兩序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)對應(yīng)相乘,構(gòu)成一個(gè)新的序列f(k),即f(k)=f1(k)·f2(k)(6.19)

例6.1已知序列，求序列f1(k)+f2(k)與f1(k)·f2(k)。

解由序列相加與相乘的定義可得

2.序列的折疊與移位序列折疊是將原序列f(k)的自變量k用-k代替,構(gòu)成一個(gè)新序列,即y(k)=f(-k)(6.20)序列移位是將原f(k)沿k軸逐項(xiàng)依次移動(dòng)m位,構(gòu)成一個(gè)新序列，即y(k)=f(k±m(xù))(6.21)

例6.2已知序列,其波形如圖6.9(a)所示,試求序列y(k)=f(-k+3),并畫出其波形。序列y(k)=f(-k+3)=f［-(k-3)］也可以看成是原序列f(k)先折疊得序列f(-k),f(-k)右移3個(gè)單位得到。f(-k)與f(-k+3)的波形分別如圖6.9(b)、(c)所示。圖6.9例6.2中序列波形圖

解

3.序列的抽取與插值序列的抽取是將原序列f(k)的自變量k乘以整數(shù)n,構(gòu)成一個(gè)新序列,即y(k)=f(nk)(6.22)y(k)由原序列f(k)每隔n-1點(diǎn)抽取一個(gè)值得到。序列的插值是將原序列f(k)的自變量k除以整數(shù)n,構(gòu)成一個(gè)新序列，即(6.23)y(k)由原序列f(k)每兩個(gè)點(diǎn)之間插入n-1個(gè)零值得到。

例6.3已知序列f(k)=,其波形如圖6.10(a)所示,試求序列f(2k)與,并畫出其相應(yīng)的時(shí)域波形。圖6.10例6.3中的序列波形圖

解

上式中出現(xiàn)的非整數(shù)序號(hào),故應(yīng)舍去該點(diǎn)及其值,因此上式寫為

f(2k)的波形如圖6.10(b)所示,可以看出,f(2k)由原序列f(k)每隔1點(diǎn)抽取一個(gè)值得到。

這里,k的取值范圍中應(yīng)舍去k/2為非整數(shù)的情況,因此,上式寫為的波形如圖6.10（c）所示，可以看出由原序列每兩個(gè)點(diǎn)之間插入一個(gè)零值得到。

4.序列的差分離散信號(hào)的差分和連續(xù)信號(hào)微分相對應(yīng)，在離散時(shí)間系統(tǒng)中有兩種形式的差分運(yùn)算：

(1)序列f(k)的前向差分：（一階前向差分）(6.24)

(2)序列f(k)的后向差分:

(一階后向差分)(6.25)同樣,可以定義二階前向差分和二階后向差分分別為(6.27)(6.26)

例6.4求下列各序列的差分。

(1)y(k)=k2-2k+3,求Δy(k),Δ2y(k);

(2)y(k)=ε(k),求y(k-1),Δy(k-1)。

解

(1)Δy(k)=y(k+1)-y(k)=(k+1)2-2(k+1)+3-(k2-

2k+3)=2k-1

Δ2y(k)=Δy(k+1)-Δy(k)=2(k+1)-1-(2k-1)=2

(2)y(k-1)=y(k-1)-y(k-2)=ε(k-1)-ε(k-2)=δ(k-1)

Δy(k-1)=y(k)-y(k-1)=ε(k)-ε(k-1)=δ(k)

5.序列求和(累加)序列的求和與連續(xù)系統(tǒng)中的積分運(yùn)算相對應(yīng)。序列求和定義為(6.28)上式表明,一次累加后產(chǎn)生的序列y(k)在k時(shí)刻的值等于原序列在該時(shí)刻及以前時(shí)刻所有的序列值之和。

例6.5已知序列,如圖6.11(a)所示,求序列y(k)=

,并畫出其波形。解圖6.11例6.5中序列的波形圖當(dāng)0≤k≤3時(shí),

當(dāng)k≥4時(shí),

y(k)的波形如圖6.11(b)所示。6.2離散時(shí)間系統(tǒng)輸入和輸出均是離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng),其輸入－輸出模型如圖6.12所示。其中f(k)為輸入信號(hào),y(k)為輸出信號(hào)。由圖6.12可見,離散系統(tǒng)的功能是完成將輸入f(k)經(jīng)過某種變換或處理轉(zhuǎn)變成輸出y(k)的運(yùn)算過程。在數(shù)學(xué)描述上,離散系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系可以表示為y(k)=T［f(k)］(6.29)式中,T［·］表示系統(tǒng)對輸入信號(hào)的變換作用。圖6.12離散時(shí)間系統(tǒng)6.2.1線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)在第一章中,曾定義了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的線性性質(zhì)和時(shí)不變性質(zhì)。對于離散時(shí)間系統(tǒng)也可以相應(yīng)的定義線性系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)。所謂線性系統(tǒng)是指滿足齊次性和疊加性的離散系統(tǒng)。設(shè)激勵(lì)f1(k)產(chǎn)生的響應(yīng)為y1(k),激勵(lì)f2(k)產(chǎn)生的響應(yīng)為y2(k),若激勵(lì)的線性組合af1(k)+bf2(k)產(chǎn)生的響應(yīng)為ay1(k)+by2(k)(其中,a,b是常系數(shù)),則稱此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)描述如下：若y1(k)=T［f1(k)］,y2(k)=T［f2(k)］對于線性系統(tǒng),則有T［af1(k)+bf2(k)］=ay1(k)+by2(k)(6.30)當(dāng)系統(tǒng)的初始條件不為零時(shí),如系統(tǒng)可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),且同時(shí)滿足零輸入線性和零狀態(tài)線性,則該系統(tǒng)也是線性系統(tǒng)。設(shè)激勵(lì)f(k)產(chǎn)生的響應(yīng)為y(k),而由激勵(lì)f(k-i)產(chǎn)生的響應(yīng)為y(k-i)(其中,

i是可正可負(fù)的整數(shù)),則稱此系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。用數(shù)學(xué)描述如下：若y(k)=T［f(k)］對于時(shí)不變系統(tǒng),則有T

［f(k-i)］=y(k-i)(6.31)

例6.6試判斷下列離散時(shí)間系統(tǒng)是否為線性時(shí)不變系統(tǒng)。

(1)y(k)=T

［f(k)］=f(k)f(k-1)

(2)y(k)=T

［f(k)］=kf(k)

解

(1)設(shè)y1(k)=T

［f1(k)］=f1(k)f1(k-1)y2(k)=T

［f2(k)］=f2(k)f2(k-1)由于所以該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。由

y(k)=T

［f(k)］=f(k)f(k-1)得

y(k-i)=f(k-i)f(k-i-1)令f1(k)=f(k-i),則y1(k)=T

［f1(k)］=f1(k)f1(k-1)

=f(k-i)f(k-i-1)=y(k-i)

所以該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。綜合以上討論,該系統(tǒng)是一個(gè)非線性時(shí)不變系統(tǒng)。(2)設(shè)y1(k)=T

［f1(k)］=kf1(k)y2(k)=T［f2(k)］=kf2(k)由于

T

［af1(k)+bf2(k)］=k［af1(k)+bf2(k)］

=akf1(k)+bkf2(k)

=ay1(k)+by2(k)所以該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。由y(k)=T

［f(k)］=kf(k)得y(k-i)=(k-i)f(k-i)令f1(k)=f(k-i),則y1(k)=T［f1(k)］=kf1(k)=kf(k-i)≠y(k-i)所以該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。綜合以上討論,該系統(tǒng)是一個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)。除上述線性、非線性、時(shí)變、時(shí)不變系統(tǒng)之外,離散時(shí)間系統(tǒng)還可以分為因果系統(tǒng)、非因果系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)等各種類型,這些性質(zhì)將在介紹完系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)之后再討論。本書中后文所提的“離散時(shí)間系統(tǒng)”,如無特殊聲明,均指“線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)”。6.2.2離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)均是連續(xù)信號(hào),其數(shù)學(xué)模型用微分方程來描述;對于離散時(shí)間系統(tǒng),系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)均是離散信號(hào),可以用差分方程來描述其數(shù)學(xué)模型。同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣,不同的離散時(shí)間系統(tǒng)也可以用相同的數(shù)學(xué)模型來描述。下面舉例說明離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立與一般規(guī)律。

例6.7圖6.13所示梯形電阻網(wǎng)絡(luò),電路參數(shù)如圖所示,各節(jié)點(diǎn)對地的電壓為u(k),k=0,1,2,…,n,兩邊界節(jié)點(diǎn)電壓為u(0)=E,u(n)=0。試列寫第k個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓的差分方程。

解取第k個(gè)節(jié)點(diǎn),如圖6.14所示。圖6.13例6.7中的梯形電阻網(wǎng)絡(luò)圖6.14

由基爾霍夫電流定律得

整理后得或

這是一個(gè)二階后向差分方程,借助兩個(gè)邊界條件,可以求出第k個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓u(k)。這里k不再表示時(shí)間,而是代表網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的編號(hào)。

例6.8某儲(chǔ)戶每月月初定期到銀行存款。第k個(gè)月的存款額為f(k),銀行支付月息為β,設(shè)第k個(gè)月月初的總存款額為y(k)元,試寫出總存款數(shù)與月存款數(shù)關(guān)系的方程式。

解第k個(gè)月月初的總存款額y(k)由以下三部分組成:

(1)第k-1個(gè)月月初的總存款額y(k-1);

(2)第k-1個(gè)月的利息βy(k-1);

(3)第k個(gè)月的存款額f(k)。所以有y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)

這是一個(gè)一階常系數(shù)后向差分方程。由以上所述推廣到一般,對于一個(gè)n階離散時(shí)間系統(tǒng),可以用n階線性常系數(shù)差分方程來描述。差分方程分為前向差分和后向差分兩種,前向差分方程的一般形式為(6.32)或?qū)憺?6.33)其中ai、bj為常數(shù),且an=1。后向差分方程的一般形式為(6.34)或?qū)憺?6.35)其中ai、bj為常數(shù),且an=1。差分方程的階數(shù)等于輸出序列的最高序號(hào)與最低序號(hào)之差,對于因果時(shí)間系統(tǒng)來說,激勵(lì)的最高序號(hào)不能大于響應(yīng)的最高序號(hào),即m≤n。

前向差分方程和后向差分方程并無本質(zhì)區(qū)別,而且其相互轉(zhuǎn)換是非常容易的。因此,對于同一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可以用前向差分方程來描述,也可以用后向差分方程來描述,具體采用哪一種方程可根據(jù)實(shí)際情況靈活選用。通常,考慮到離散時(shí)間系統(tǒng)為因果系統(tǒng),所以在系統(tǒng)分析中采用后向差分方程,而在狀態(tài)變量分析中,則多采用前向差分方程。差分方程不僅可以描述離散時(shí)間系統(tǒng),而且還可以作為對模擬系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的近似方程。例如,一個(gè)一階常系數(shù)線性微分方程(6.36)對信號(hào)進(jìn)行抽樣,設(shè)時(shí)間間隔Ts足夠小,當(dāng)t=kTs時(shí),有f(t)→f(kTs)y(t)→y(kTs)因此式(6.36)所示的微分方程可以近似為

經(jīng)整理得y(k+1)+(a0Ts-1)y(k)=b0Tsf(k)(6.37)可見,在Ts足夠小的條件下,式(6.36)所示的微分方程可以近似為式(6.37)所示的差分方程。實(shí)際上,利用數(shù)字計(jì)算機(jī)來解微分方程時(shí)(如歐拉法,龍格-庫塔法),就是根據(jù)這一原理將微分方程近似為差分方程再進(jìn)行計(jì)算的,只要把時(shí)間間隔取得足夠小,計(jì)算數(shù)值的位數(shù)足夠長,就可以得到所需的精度。6.2.3系統(tǒng)方程的算子表示

在研究連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析求解差分方程時(shí),曾定義了時(shí)域中的微分算子p,并引出了傳輸算子的概念。與此相似,在研究離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析求解差分方程時(shí),也定義了一個(gè)時(shí)域中的算子E,稱為移序算子。算子E表示將序列超前一個(gè)單位時(shí)間的運(yùn)算。E［f(k)］=f(k+1)E2［f(k)］=f(k+2)…En［f(k)］=f(k+n)

算子(E-1)表示將序列延時(shí)一個(gè)單位時(shí)間的運(yùn)算。E-1［f(k)］=f(k-1)E-2［f(k)］=f(k-2)…

E-n［f(k)］=f(k-n)利用移序算子可以將差分方程寫成更為簡潔的形式,例如式(6.34)所示后向差分方程

可以寫為(1+an-1E-1+…+a0E-n)y(k)=(bm+bm-1E-1+…+b0E-m)f(k)(6.38)若n≥m,則式(6.38)可寫為(En+an-1En-1+…+a0)y(k)=(bmEn+bm-1En-1+…+b0En-m)f(k)(6.39)即(6.40)式中,N(E)=bmEn+bm-1En-1+…+b0En-mD(E)=En+an-1En-1+…+a0若令則式(6.40)可以表示為y(k)=H(E)f(k)(6.41)上式稱為離散時(shí)間系統(tǒng)的算子方程。式中,H(E)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)的傳輸算子。H(E)在離散系統(tǒng)分析中的作用與H(p)在連續(xù)系統(tǒng)中的分析作用相同,它完整地描述了離散系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系,或者說集中反映了系統(tǒng)對輸入序列的傳輸特性。根據(jù)差分方程的定義,容易證明:可見,對于差分算子分式,分子分母中的算子公因子允許消去。同樣,差分算子方程兩邊的公因子也允許消去。這與微分和積分算子是有區(qū)別的。

例6.9已知某線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為

試求其傳輸算子。

解系統(tǒng)的算子方程為即所以,系統(tǒng)傳輸算子為6.2.4離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域模擬同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣,離散時(shí)間系統(tǒng)也可以用一些適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算單元進(jìn)行模擬。離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬通常由單位延時(shí)器、加法器和數(shù)乘器(放大器)組成,表示符號(hào)如圖6.15所示。加法器和數(shù)乘器的功能和符號(hào)與連續(xù)系統(tǒng)相同,單位延時(shí)器相當(dāng)于模擬時(shí)間系統(tǒng)中的積分器,具有“記憶”的功能,它的作用是將輸入信號(hào)延遲一個(gè)時(shí)間單位后再輸出。單位延遲器在時(shí)域中用符號(hào)D表示,也可以用或E-1表示。圖6.15離散時(shí)間系統(tǒng)模擬的基本運(yùn)算單元利用上述基本運(yùn)算單元,可以對任意差分方程在時(shí)域進(jìn)行模擬。

例6.10已知某二階離散系統(tǒng)差分方程為y(k)+a1y(k-1)+a0y(k-2)=b1f(k)+b0f(k-1)作出該系統(tǒng)的時(shí)域模擬框圖。

解將原方程移項(xiàng)后得y(k)=b1f(k)+b0f(k-1)-a1y(k-1)-a0y(k-2)y(k)由加法器右端輸出,系統(tǒng)時(shí)域模擬框圖如圖6.16所示。圖6.16例6.10的系統(tǒng)模擬框圖

例6.11已知某二階離散系統(tǒng)差分方程為y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)=b1f(k+1)+b0f(k)作出該系統(tǒng)的時(shí)域模擬框圖。

解本例題中所示差分方程為一個(gè)二階前向差分方程,可以利用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模擬中相似的方法來進(jìn)行模擬。引入中間變量q(k),令f(k)=q(k+2)+a1q(k+1)+a0q(k)則q(k+2)=f(k)-a1q(k+1)-a0q(k)系統(tǒng)輸出為y(k)=b1q(k+1)+b0q(k)系統(tǒng)時(shí)域模擬框圖如圖6.17所示。本例中,前向差分方程也可以先轉(zhuǎn)換為后向差分方程,再利用例6.10所述的方法進(jìn)行系統(tǒng)模擬。類似的方法可以推導(dǎo)出n階差分方程所描述的離散系統(tǒng)的時(shí)域模擬圖,這里不再詳述。圖6.17例6.11的系統(tǒng)模擬框圖6.3離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)描述離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性差分方程。在系統(tǒng)分析時(shí),本書選用的是后向差分方程,即(6.42)通常,求解上述差分方程的方法有迭代法、經(jīng)典法、卷積法及變換域(Z變換)法。本節(jié)主要討論差分方程的迭代法和時(shí)域經(jīng)典解法求解,下一章將討論Z變換求解差分方程。6.3.1迭代法求解差分方程差分方程是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程,若已知初始條件和激勵(lì),則可以利用迭代法求得差分方程的數(shù)值解。

例6.12一階常系數(shù)線性差分方程為y(k)-y(k-1)=f(k)，k≥0

且已知初始狀態(tài)為y(-1)=0,用遞推法求激勵(lì)為f(k)=ε(k)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)。

解由原方程得y(k)=f(k)+y(k-1)=ε(k)+y(k-1)當(dāng)k=0時(shí),

y(0)=ε(0)+y(-1)=1當(dāng)k=1時(shí),y(1)=ε(1)+y(0)=1+1=2當(dāng)k=2時(shí),y(2)=ε(2)+y(1)=1+2=3當(dāng)k=n時(shí),y(n)=ε(n)+y(n-1)=1+n

所以,響應(yīng)序列的函數(shù)表達(dá)式為y(k)=(k+1)ε(k)用迭代法求解差分方程的思路非常清楚,便于求出方程的數(shù)值解,而要寫出方程的解析式形式的解則往往比較困難,這種方法一般是利用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行差分方程求解。6.3.2經(jīng)典法求解差分方程與微分方程的經(jīng)典解類似,差分方程的經(jīng)典解也可以分為齊次解和特解兩部分,即y(k)=yh(k)+yp(k)(6.43)其中,yh(k)為差分方程的奇次解,yp(k)為差分方程的特解。

1.奇次解當(dāng)式(6.42)中的f(k)及其各項(xiàng)移位均為零時(shí),奇次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a1y(k-n+1)+a0y(k-n)=0(6.44)的解稱為奇次解。下面來分析最簡單的奇次方程解的形式。若一階差分方程表示為y(k)-λy(k-1)=0(6.45)可改寫為上式表明,序列y(k)是一個(gè)等比為λ的幾何級(jí)數(shù),可以寫成如下的形式y(tǒng)(k)=Cλk式中,C為待定系數(shù),由初始條件決定。一般情況下,對于任意階的差分方程,它們的奇次解由形式為Cλk的序列組合而成。將y(k)=Cλk代入式(6.42),得到(6.46)消去常數(shù)C,并同乘以λn-k,得λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0(6.47)上式稱為差分方程(6.42)的特征方程,其n個(gè)根(λ1,λ2,…,λn)稱為差分方程的特征根。根據(jù)特征根的不同取值,差分方程的齊次解可以分為以下幾種形式:

(1)特征方程有n個(gè)不同的單根λ1,λ2,…，λn,對應(yīng)齊次解的形式為(6.48)

(2)特征方程有r階重根λ時(shí),在齊次解中,對應(yīng)于λ的部分解的形式為C1λk+C2kλk+…+Crkr-1λk(3)特征方程有一對共軛復(fù)根λ1,2=α±jβ=ρe±jω,對應(yīng)于λ1,2的齊次解的形式為ρk［C1cos(kω)+C2sin(kω)］待定系數(shù)C1、C2、…、Cn在完全解的形式確定后,由給定的n個(gè)初始條件來確定。

2.特解特解的形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān),表6.1列出了幾種典型激勵(lì)信號(hào)所對應(yīng)的特解形式。表6.1不同激勵(lì)所對應(yīng)的特解表6.1中,P、Pi、Q、A、θ均為待定系數(shù),根據(jù)激勵(lì)信號(hào)的形式選定特解的形式后代入原差分方程,通過比較方程兩端的系數(shù),可以求出待定系數(shù),從而得到方程的特解。

3.全解得到齊次解的表達(dá)式和特解后,將兩者相加可以得到差分方程全解的表達(dá)式。將已知的n個(gè)初始條件代入全解中,確定待定系數(shù),即可得到差分方程的全解。

例6.13若某離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為y(k)+2y(k-1)+y(k-2)=f(k)

(6.49)已知初始條件y(0)=0,y(1)=1,激勵(lì)為,k≥0,試求其全響應(yīng)f(k)。

解

(1)求差分方程奇次解yh(k)。式(6.49)所示差分方程的特征方程為λ2+2λ+1=0特征根為λ1=λ2=-1,所以齊次解形式為yh(k)=(C1+C2k)(-1)k，k≥0

(2)求非齊次方程特解yp(k)。由表6.1及激勵(lì)f(k)的形式可知,特解形式為

將yp(k)、yp(k-1)、yp(k-2)及f(k)代入式(6.49)中,得解得，于是得特解為

(3)求差分方程全解y(k)。差分方程全解形式為

將初始條件代入上式

解得所以,系統(tǒng)全響應(yīng)為同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程類似,差分方程的齊次解與系統(tǒng)的特征根有關(guān),僅依賴于系統(tǒng)本身所固有的特性,而與激勵(lì)的形式無關(guān),因此稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng);非齊次特解的形式由激勵(lì)信號(hào)決定,因此稱為受迫響應(yīng)。在系統(tǒng)響應(yīng)中,隨著序號(hào)k的增加而逐漸消失的響應(yīng)分量稱為暫態(tài)響應(yīng),隨著k的增加而逐漸趨于穩(wěn)定的響應(yīng)分量稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。一般而言,如果差分方程的特征根|λi|＜1(i=1,2,…,n),則自由響應(yīng)隨著k的增加而逐漸趨近于零,這樣的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng),而此時(shí)的自由響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng),穩(wěn)定系統(tǒng)在階躍序列或有始周期序列作用下,其強(qiáng)迫響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6.3.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣,離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)也可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零時(shí)僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng),記為yzi(k);零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(shí),僅由激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng),記為yzs(k),則系統(tǒng)全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和,即y(k)=yzi(k)+yzs(k)

(6.50)零輸入條件下,等式(6.42)右端激勵(lì)為零,系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為齊次方程,因此零輸入響應(yīng)解的形式與齊次方程解的形式完全相同。若系統(tǒng)特征根無重根,則零輸入響應(yīng)形式為(6.51)式中,待定系數(shù)Cxi由系統(tǒng)初始狀態(tài)y(-1),y(-2),…，y(-n)確定。若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零,此時(shí)式(6.42)仍然為非齊次方程,因此零狀態(tài)響應(yīng)解的形式仍然為非齊次方程的全解,其求解方法與6.3.2節(jié)內(nèi)容相同。若系統(tǒng)特征根無重根,則零狀態(tài)響應(yīng)解的形式為(6.52)式中,待定系數(shù)Csj由系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下的初始值yzs(0)、yzs(1)、…、yzs(n-1)確定。若系統(tǒng)激勵(lì)是從k=0時(shí)刻接入系統(tǒng),由于k＜0時(shí),激勵(lì)尚未接入,所以此時(shí)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的值均為零,即yzs(-1)=yzs(-2)=…=yzs(-n)=0(6.53)利用上式和系統(tǒng)差分方程可遞推得到零狀態(tài)響應(yīng)的初始值yzs(0)、yzs(1)、…、yzs(n-1)。

例6.14若描述某離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=f(k)

已知激勵(lì)為f(k)=ε(k),初始狀態(tài)為y(-1)=0,

,求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)。

解

(1)求零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)滿足齊次方程yzi(k)-5yzi(k-1)+6yzi(k-2)=0系統(tǒng)特征方程為λ2-5λ+6=0特征根為λ1=2,λ2=3,故零輸入解的形式為yzi(k)=C1(2)k+C2(3)k,

k≥0將初始狀態(tài)y(-1)=0、代入上式,得解方程組得C1=2,C2=-3。所以,系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為yzi(k)=(2)

k+1-(3)

k+1,

k≥0(2)求零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)滿足差分方程yzs(k)-5yzs(k-1)+6yzs(k-2)=ε(k)(6.54)零狀態(tài)響應(yīng)解的形式為上述差分方程的全解,由特征方程可得零狀態(tài)響應(yīng)的奇次解為

yzsh(k)=C1(2)k+C2(3)由表6.1及激勵(lì)f(k)的形式可以寫出零狀態(tài)響應(yīng)特解為yzsp(k)=P將特解代入式(6.54),解得，故系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)解的形式為

C1、C2為待定系數(shù),由零狀態(tài)響應(yīng)在yzs(0)、yzs(1)時(shí)刻的值決定。

yzs(0)、yzs(1)的值可以根據(jù)差分方程遞推得到。由差分方程可知yzs(k)=5yzs(k-1)-6yzs(k-2)+ε(k)當(dāng)k=0時(shí),yzs(0)=5yzs(-1)-6yzs(-2)+ε(0)=1

當(dāng)k=1時(shí),yzs(1)=5yzs(0)-6yzs(-1)+ε(1)=6將初始值代入零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式,得解得C1=-4,。所以,零狀態(tài)響應(yīng)為

(3)全響應(yīng)。系統(tǒng)的全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和,即系統(tǒng)的全響應(yīng)可以分為自由響應(yīng)和受迫響應(yīng),也可以分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),它們之間的關(guān)系如下：(6.55)式中,Ci=Cxi+Csj。6.4單位序列響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)6.4.1單位序列響應(yīng)對于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng),當(dāng)激勵(lì)為單位序列δ(k)時(shí),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)(或單位樣值響應(yīng)、單位函數(shù)響應(yīng)、單位取樣響應(yīng)),用h(k)表示,它的作用與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的沖激響應(yīng)h(t)相類似。在時(shí)域中,求解離散時(shí)間系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)常見的方法有迭代法、等效初值法和傳輸算子法。本節(jié)主要介紹后兩種方法。

1.等效初值法單位序列響應(yīng)h(k)可以看成是一個(gè)特殊的零輸入響應(yīng),這是由于δ(k)只在k=0時(shí)取值為1,而在k＞0時(shí)的值均為零。因而在k＞0時(shí),h(k)的形式與零輸入響應(yīng)的形式相同,而單位序列δ(k)在k=0時(shí)對系統(tǒng)的瞬時(shí)作用則轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件,這樣就把求取單位序列響應(yīng)h(k)的問題轉(zhuǎn)化為求解齊次方程的問題。下面舉例說明。

例6.15若描述某離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為y(k)-4y(k-1)+4y(k-2)=f(k)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。

解根據(jù)單位序列響應(yīng)的定義,它應(yīng)滿足方程h(k)-4h(k-1)+4h(k-2)=δ(k)(6.56)k＞0時(shí),上式右端為零,方程轉(zhuǎn)變?yōu)辇R次差分方程。

(1)求差分方程的齊次解(即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng))。特征方程為λ2-4λ+4=0特征根為λ1=λ2=2,故齊次解的形式為h(k)=(C1+C2k)(2)k，k＞0(6.57)

(2)求等效初始條件h(0),h(1)。

h(k)是零狀態(tài)響應(yīng),且激勵(lì)在k=0時(shí)接入,因此h(-1)=h(-2)=0由式(6.56)得h(k)=4h(k-1)-4h(k-2)+δ(k)當(dāng)k=0時(shí),h(0)=4h(-1)-4h(-2)+δ(0)=1當(dāng)k=1時(shí),h(1)=4h(0)-4h(-1)+δ(1)=4該系統(tǒng)是二階系統(tǒng),故求解該系統(tǒng)需要兩個(gè)初始條件,可以選擇h(0)、h(1)作為初始條件,也可以選擇h(0)、h(-1)作為初始條件。初始條件選擇的基本原則是必須將δ(k)的作用體現(xiàn)在初始條件中。

(3)確定待定系數(shù),寫出單位序列響應(yīng)。這里,選擇h(0)、h(1)作為初始條件,代入式(6.57)得

解得C1=C2=1。故系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k)=(1+k)(2)k，k≥0

例6.16若描述某離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=f(k)-3f(k-2)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。

解

(1)假定上述差分方程的右端只有f(k)作用,當(dāng)激勵(lì)f(k)=δ(k)時(shí),系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h1(k),即h1(k)-5h1(k-1)+6h1(k-2)=δ(k)(6.58)系統(tǒng)特征方程為λ2-5λ+6=0特征根為λ1=2,λ2=3,故h1(k)的形式為h1(k)=C1(2)k+C2(3)k，k＞0(6.59)h1(k)是零狀態(tài)響應(yīng),且激勵(lì)在k=0時(shí)接入,因此h1(-1)=h1(-2)=0。由式(6.58)得h1(k)=5h1(k-1)-6h1(k-2)+δ(k)

當(dāng)k=0時(shí),h1(0)=5h1(-1)-6h1(-2)+δ(0)=1當(dāng)k=1時(shí),h1(1)=5h1(0)-6h1(-1)+δ(1)=5將上述初始條件代入式(6.59)得

解方程組得C1=-2,C2=3。所以

(2)當(dāng)激勵(lì)-3f(k-2)作用于系統(tǒng)時(shí),設(shè)系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h2(k),由線性時(shí)不變特性可知h2(k)=-3h1(k-2)=-3［-(2)

k-1+(3)k-1］ε(k-2)

將以上結(jié)果疊加,當(dāng)激勵(lì)為f(k)-3f(k-2)時(shí),系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)為

2.傳輸算子法同連續(xù)系統(tǒng)類似,離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)也可以由系統(tǒng)的傳輸算子H(E)求出,下面給出其求解過程。將f(k)=δ(k)代入式(6.40),即得(6.60)其中,

將進(jìn)行部分分式展開,這里考慮D(E)=0的根為單根的情況,得式中,λi(i=1,2,…，n)是D(E)=0的特征單根,Ki是部分分式展開的系數(shù)。于是得(6.61)現(xiàn)在來考察時(shí),系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k)。H1(E)對應(yīng)的差分方程為y1(k+1)-λ1y1(k)=K1f(k+1)

(6.62)當(dāng)f(k)=δ(k)時(shí),有h1(k+1)=K1δ(k+1)+λ1h1(k)

(6.63)考慮到k＜0時(shí),h1(k)=0,以此為初始條件,對式(6.63)進(jìn)行遞推得到:當(dāng)k=-1時(shí),h1(0)=λ1h1(-1)+K1δ(0)=K1

當(dāng)k=0時(shí),h1(1)=λ1h1(0)+K1δ(1)=K1λ1

當(dāng)k=1時(shí),

h1(2)=λ1h1(1)+K1δ(2)=K1λ21歸納可得

這就是傳輸算子為的一階系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。將這個(gè)結(jié)果代入式(6.61),可以得到一般n階系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k),即為同樣,可以得到當(dāng)傳輸算子的極點(diǎn)為高階時(shí),系統(tǒng)的單位序列響應(yīng),例如:對應(yīng)的單位序列響應(yīng)為h(k)=kλk-1ε(k)。表6.2給出了常用的H(E)與h(k)的對應(yīng)關(guān)系,以便查閱。表6.2

H(E)與h(k)的對應(yīng)關(guān)系由以上所述可以得到利用傳輸算子求取單位序列響應(yīng)的具體步驟是:

(1)將H(E)除以E得到H(E)/E;

(2)將H(E)/E展開成部分分式和的形式;

(3)將展開的部分分式乘以E,得到H(E)的展開式式中,λi為H(E)的極點(diǎn),di是第i個(gè)極點(diǎn)的階次,Ki是相應(yīng)部分分式的系數(shù),n為H(E)的相異極點(diǎn)數(shù)。

(4)查表6.2,求出系統(tǒng)單位序列響應(yīng)。

例6.17已知某線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為y(k)-2y(k-1)+y(k-2)=2f(k-1)+f(k-2)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。

解系統(tǒng)差分方程的算子方程為即系統(tǒng)傳輸算子為即

由表6.2可得,系統(tǒng)單位序列響應(yīng)為h(k)=δ(k)+(3k-1)ε(k)

例6.18如圖6.18所示離散時(shí)間系統(tǒng),求其單位序列響應(yīng)h(k)。圖6.18例6.18中的系統(tǒng)方框圖

(1)列算子方程。設(shè)加法器的輸出端為q(k),相應(yīng)移位器輸出為q(k-1),q(k-2),如圖6.18所示。由左端加法器的輸出可列出方程為q(k)=f(k)+q(k-1)+2q(k-2)用算子表示為q(k)=f(k)+E-1q(k)+2E-2q(k)即(6.64)由右端加法器的輸出可列出方程為

用算子符號(hào)表示為

將式(6.64)代入上式,得(6.65)

(2)求單位序列響應(yīng)。由式(6.65)得到系統(tǒng)的傳輸算子為即因此,由表(6.2)得系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為單位序列響應(yīng)h(k)完全由系統(tǒng)的差分方程決定,表征了系統(tǒng)自身的特性。若給出系統(tǒng)的單位序列響應(yīng),則系統(tǒng)的模型就可以確定。因此,在時(shí)域中,可以根據(jù)h(k)來判斷系統(tǒng)的某些重要的特性,如因果性、穩(wěn)定性等。所謂因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)輸出變化不能超前于輸入變化的系統(tǒng),即系統(tǒng)的輸出y(k)僅取決于現(xiàn)在和過去的輸入f(k),f(k-1),f(k-2),…。如果系統(tǒng)的輸出不僅取決于現(xiàn)在及過去的時(shí)刻,還取決于未來的輸入f(k+1),f(k+2),…,那么,在時(shí)間上就違背了因果關(guān)系,因而是非因果系統(tǒng)。線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件是h(k)=0,

k＜0

(6.66)

也可以表示為h(k)=h(k)ε(k)

(6.67)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相同,穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)是指輸入有界輸出也必為有界的系統(tǒng)。線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是單位序列響應(yīng)絕對可和,即(6.68)若系統(tǒng)為一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng),則其單位序列響應(yīng)必須滿足(6.69)例如某線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為

,則系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng);若h(k)=(2)kε(-k-1),則系統(tǒng)為非因果穩(wěn)定系統(tǒng);而若,系統(tǒng)為因果不穩(wěn)定系統(tǒng),因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí),h(k)→∞。第七章將從系統(tǒng)函數(shù)H(z)的角度來考查系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性,可以將其與時(shí)域中因果穩(wěn)定系統(tǒng)的判斷方法進(jìn)行對比學(xué)習(xí)。6.4.2單位階躍響應(yīng)對于線性時(shí)不變系統(tǒng),當(dāng)激勵(lì)為單位階躍序列ε(k)時(shí),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng),用ys(k)表示。若已知差分方程,則可以利用經(jīng)典法求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),如例6.14中求解的零狀態(tài)響應(yīng)就是系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。單位階躍響應(yīng)ys(k)與單位序列響應(yīng)h(k)之間存在著一定的聯(lián)系,因?yàn)楣视删€性時(shí)不變系統(tǒng)性質(zhì),系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為(6.70)又由于δ(k)=ε(k)-ε(k-1)所以有h(k)=ys(k)-ys(k-1)(6.71)

例6.19

(1)已知某離散時(shí)間系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k)=［(3)k+1-(2)k+1］ε(k)試求其單位階躍響應(yīng)ys(k)。

(2)已知某離散時(shí)間系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為ys(k)=(2)kε(k),試求其單位序列響應(yīng)h(k)。

解

(1)根據(jù)單位序列響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)之間的關(guān)系,有這里給出的是例6.14中離散時(shí)間系統(tǒng)的單位序列響應(yīng),可以看出,本例中求得的單位階躍響應(yīng)與在例6.14中用經(jīng)典法得到的階躍響應(yīng)結(jié)果相同。

(2)根據(jù)單位序列響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)之間的關(guān)系,有除此之外,單位階躍響應(yīng)還可以利用6.5節(jié)介紹的卷積和進(jìn)行求解,在第七章離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析法中,還可以利用Z變換求解單位序列響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)。6.5卷積和

離散時(shí)間系統(tǒng)的卷積和是計(jì)算離散時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的有力工具,并在離散信號(hào)處理與濾波等方面有著重要的作用。本節(jié)將討論離散卷積和的定義、求解方法、性質(zhì)及其應(yīng)用。6.5.1卷積和的定義

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中,用卷積積分的方法求解零狀態(tài)響應(yīng),其基本原理是將激勵(lì)分解為沖激函數(shù)之和,令每一個(gè)沖激函數(shù)單獨(dú)作用于系統(tǒng)并求出其沖激響應(yīng),然后將這些響應(yīng)進(jìn)行疊加,即可得到系統(tǒng)對此激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng),這個(gè)疊加的過程稱為“卷積積分”。在離散時(shí)間系統(tǒng)中,可以采用相似的方法進(jìn)行分析,即將系統(tǒng)分解為單位序列函數(shù)之和,求出每個(gè)單位序列作用于系統(tǒng)后的單位序列響應(yīng),再將這些響應(yīng)進(jìn)行疊加,即可得到該激勵(lì)信號(hào)引起的零狀態(tài)響應(yīng),由于離散量的疊加不需要進(jìn)行積分,因此,這個(gè)疊加的過程稱為“卷積和”。下面通過利用信號(hào)的可分解性和線性系統(tǒng)的性質(zhì)給出零狀態(tài)響應(yīng)的求解公式，并由此引出卷積和的定義。由式(6.5)可知,任意激勵(lì)信號(hào)f(k)可以表示為單位序列的線性組合,即

設(shè)激勵(lì)為δ(k)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為單位序列響應(yīng)h(k),根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性,激勵(lì)與系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)之間存在如下關(guān)系: 激勵(lì) 零狀態(tài)響應(yīng)

δ(k) h(k)時(shí)不變性δ(k-n) h(k-n)齊次性 f(n)δ(k-n) f(n)h(k-n)疊加性故當(dāng)激勵(lì)為時(shí),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

(6.72)式(6.72)稱為卷積和,用符號(hào)記為yzs(k)=f(k)*h(k)

(6.73)上式表明,離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì)信號(hào)與單位序列響應(yīng)的卷積和。通常情況下,系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)在k=0時(shí)加入,即激勵(lì)信號(hào)是因果序列。對于因果系統(tǒng)而言,單位序列響應(yīng)也是因果序列,于是,求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和公式可寫為(6.74)一般而言,對于任意兩個(gè)離散時(shí)間序列f1(k)與f2(k),其離散卷積和定義為(6.75)離散卷積的求解方式與連續(xù)卷積積分相類似,關(guān)鍵在于確定其求和的上下限,下面介紹其具體的求解過程。6.5.2卷積和的求解在時(shí)域中計(jì)算卷積和的方法主要有解析法、圖解法、不進(jìn)位乘法。下面分別舉例說明。

1.解析法所謂解析法就是直接根據(jù)卷積和的定義推導(dǎo)卷積和的解析式。

例6.20若已知系統(tǒng)單位序列響應(yīng)為h(k)=bkε(k),試求當(dāng)激勵(lì)為f(k)=akε(k-1)時(shí)(0＜a,

b＜1)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)。解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為上式中,anε(n-1)一項(xiàng)中的ε(n-1)因子決定了只有當(dāng)n≥1時(shí),anε(n)不為零;對于bk-nε(k-n)一項(xiàng),ε(k-n)因子決定了只有當(dāng)k-n≥0,即n≤k時(shí),bk-nε(k-n)不為零。所以,兩者重疊的部分應(yīng)該為1≤n≤k,即求和的上下限為1≤n≤k。所以有當(dāng)a≠b時(shí),

當(dāng)a=b時(shí),

2.卷積和的圖解法與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積積分相類似,用圖解法求兩個(gè)序列卷積和的運(yùn)算也包括換元、反褶、平移、相乘、求和等5個(gè)基本步驟。設(shè)任意兩個(gè)序列為f1(k)與f2(k),其卷積和的求解過程如下:

(1)將f1(k)與f2(k)中的變量k換元為n,得f1(n)與f2(n);

(2)將f2(n)相對于縱軸反褶得f2(-n);

(3)將f2(-n)沿n軸平移k個(gè)單位,得f2(k-n),當(dāng)k＜0時(shí)左移,當(dāng)k＞0時(shí)右移;

(4)將f1(n)與移位后的序列f2(k-n)相乘,得f1(n)f2(k-n);

(5)對相乘后的序列進(jìn)行求和得卷積后序列,即

例6.21若已知兩離散序列,試求其離散卷積和f(k)=f1(k)*f2(k)。

解

f1(k)、f2(k)換元后波形如圖6.19(a)、(b)所示,序列f2(n)反褶后得序列f2(-n),如圖6.19(d)所示。將反褶后的序列f2(-n)沿n軸平移k位,得f2(k-n),在移位的過程中,可逐次令k=…-2,-1,0,1,2,…,計(jì)算給定k值下兩序列的卷積值。本例中

k＜-1時(shí),兩序列沒有重疊部分,故有f(k)=f1(k)*f2(k)=0圖6.19例6.21中兩序列的卷積圖

k=-1時(shí),兩序列只在n=-1時(shí)重疊,如圖6.19(c)所示,故有

k=0時(shí),兩序列在n=-1,0時(shí)重疊,如圖6.19(d)所示,故有，

k=1時(shí),兩序列在n=-1,0,1時(shí)重疊,如圖6.19(e)所示,故有依次類推,可得

k＞5時(shí),兩序列沒有重疊部分,故有f(k)=f1(k)*f2(k)=0，于是得卷積后結(jié)果為

3.利用不進(jìn)位乘法求解卷積和對于兩個(gè)有限長序列的卷積和計(jì)算,可以采用下面的不進(jìn)位乘法,計(jì)算更加簡便、實(shí)用。這種方法不用做出序列的圖形,只要把兩個(gè)序列樣值以各自k的最高值按右端對齊,然后按照普通乘法進(jìn)行相乘,但是中間結(jié)果不進(jìn)位,最后把位于同一列上的乘積值按對位求和,即可得到卷積和的序列。下面舉例說明其求解過程。

例6.22選取例6.21中的兩個(gè)有限長序列

,利用不進(jìn)位乘法求兩序列的離散卷積和f(k)=f1(k)*f2(k)。

解將序列f1(k)、f2(k)的各樣值依次寫在第1行與第2行,并令k的最高值按右端對齊所以,卷積后結(jié)果為

結(jié)果同例6.21。一般來說,對于兩個(gè)短序列的卷積采用不進(jìn)位乘法更為便捷,對于給定解析式的兩個(gè)序列,可以通過圖解法首先確定其求和的上下限,再利用卷積和定義進(jìn)行求解,而在第七章學(xué)習(xí)了z變換后，利用z變換的方法進(jìn)行卷積和的求解則更加方便。表6.3列出了幾種常用序列的卷積和公式,以便查閱。表6.3常用序列的卷積和

6.5.3卷積和的性質(zhì)離散卷積和的運(yùn)算也服從某些代數(shù)運(yùn)算規(guī)則,應(yīng)用卷積和的性質(zhì)可以簡化某些離散卷積和的求解過程。

1.交換律f(k)=f1(k)*f2(k)=f2(k)*f1(k)

(6.76)式(6.76)說明,兩序列的卷積和與卷積次序沒有關(guān)系,可以互相交換。

2.結(jié)合律(6.78)

3.分配律

將卷積和的結(jié)合律與分配律應(yīng)用于系統(tǒng)分析,可以推知與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中類似的結(jié)論:兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng),其單位序列響應(yīng)為兩子系統(tǒng)單位序列響應(yīng)之和,如圖6.20(a)所示;兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng),其單位序列響應(yīng)為兩子系統(tǒng)單位序列響應(yīng)的卷積和,如圖6.20(