2025年高數(shù)極限題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但非等價(jià)無窮小D.等價(jià)無窮小答案：A2.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x^2-2x+3}\)的值為（）A.0B.3C.\(\infty\)D.1答案：A3.已知\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)，且\(B\neq0\)，則\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)等于（）A.\(\frac{A}{B}\)B.\(A-B\)C.\(A+B\)D.\(AB\)答案：A4.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinkx}{x}=2\)，則\(k\)的值為（）A.1B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.0答案：B5.極限\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{2n}\)的值是（）A.\(e\)B.\(e^2\)C.\(2e\)D.\(e^3\)答案：B6.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的極限（）A.不存在B.等于2C.等于1D.等于0答案：B7.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無窮小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)答案：C8.極限\(\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\)的值為（）A.1B.-1C.0D.不存在答案：A9.若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)，則當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(f(x)\)與\(x\)是（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但非等價(jià)無窮小D.等價(jià)無窮小答案：D10.極限\(\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}\)的值為（）A.1B.2C.3D.0答案：C二、多項(xiàng)選擇題1.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)答案：ABD2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，下列哪些是無窮小量（）A.\(x^2\)B.\(\sinx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)答案：ABCD3.下列關(guān)于極限運(yùn)算法則的說法正確的是（）A.\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)\)（前提是\(\lim_{x\toa}f(x)\)與\(\lim_{x\toa}g(x)\)都存在）B.\(\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)\)（前提是\(\lim_{x\toa}f(x)\)與\(\lim_{x\toa}g(x)\)都存在）C.\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}\)（前提是\(\lim_{x\toa}f(x)\)與\(\lim_{x\toa}g(x)\)都存在且\(\lim_{x\toa}g(x)\neq0\)）D.\(\lim_{x\toa}[cf(x)]=c\lim_{x\toa}f(x)\)（\(c\)為常數(shù)，\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在）答案：ABCD4.以下哪些函數(shù)在\(x\to0\)時(shí)極限為1（）A.\(\frac{\sinx}{x}\)B.\(\frac{e^x-1}{x}\)C.\(\frac{\ln(1+x)}{x}\)D.\(\frac{1-\cosx}{x^2}\)答案：ABC5.關(guān)于無窮小量的性質(zhì)，正確的是（）A.有限個(gè)無窮小量的和仍是無窮小量B.有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量C.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量D.無窮小量除以非零無窮小量的商是1答案：ABC6.下列極限中，極限值為\(e\)的是（）A.\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)C.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)D.\(\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x\)答案：ABC7.已知\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)，則（）A.\(\lim_{x\toa}[f(x)-g(x)]=A-B\)B.\(\lim_{x\toa}[f(x)\cdotg(x)]=A\cdotB\)C.當(dāng)\(B\neq0\)時(shí)，\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)D.\(\lim_{x\toa}[f(x)]^n=A^n\)（\(n\)為正整數(shù)）答案：ABCD8.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，下列函數(shù)為無窮小量的有（）A.\(\frac{1}{x^2}\)B.\(\frac{\sinx}{x}\)C.\(e^{-x}\)D.\(\frac{1}{x+1}\)答案：ABD9.下列說法正確的是（）A.若\(\lim_{x\toa}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=\infty\)，則\(\lim_{x\toa}[f(x)-g(x)]=0\)B.若\(\lim_{x\toa}f(x)=0\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=0\)，則\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)不一定存在C.若\(\lim_{x\toa}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=c\neq0\)，則\(\lim_{x\toa}\frac{g(x)}{f(x)}=0\)D.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=\infty\)，則\(\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]=\infty\)答案：BC10.下列極限計(jì)算正確的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)C.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=e^2\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2\)答案：ABCD三、判斷題1.無窮小量就是非常小的數(shù)。（）答案：錯誤2.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)與\(\lim_{x\toa}g(x)\)都不存在，則\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）答案：錯誤3.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x\)與\(x^2\)是等價(jià)無窮小。（）答案：錯誤4.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）答案：錯誤5.極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)。（）答案：正確6.有限個(gè)無窮小量的和一定是無窮小量。（）答案：正確7.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，則\(f(a)=A\)。（）答案：錯誤8.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)是無窮小量。（）答案：正確9.極限\(\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)\)恒成立。（）答案：錯誤10.若\(f(x)\)在\(x=a\)處無定義，則\(\lim_{x\toa}f(x)\)一定不存在。（）答案：錯誤四、簡答題1.簡述無窮小量與無窮大量的關(guān)系。無窮小量與無窮大量是相互關(guān)聯(lián)的概念。在自變量的同一變化過程中，若\(f(x)\)為無窮大量，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮小量（\(f(x)\neq0\)）；反之，若\(f(x)\)為無窮小量且\(f(x)\neq0\)，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮大量。例如，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)是無窮大量，而\(x\)就是無窮小量。2.如何判斷兩個(gè)無窮小量是等價(jià)無窮小？判斷兩個(gè)無窮小量\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)（當(dāng)\(x\tox_0\)或\(x\to\infty\)等情況）是否為等價(jià)無窮小，只需計(jì)算極限\(\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\)。若此極限值為1，則\(\alpha(x)\)與\(\beta(x)\)是等價(jià)無窮小。比如當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，計(jì)算\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，所以\(\sinx\)和\(x\)在\(x\to0\)時(shí)是等價(jià)無窮小。3.簡述極限的四則運(yùn)算法則的使用條件。極限的四則運(yùn)算法則使用條件如下：對于\(\lim_{x\toa}[f(x)\pmg(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\pm\lim_{x\toa}g(x)\)、\(\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)\)，要求\(\lim_{x\toa}f(x)\)和\(\lim_{x\toa}g(x)\)都存在；對于\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}\)，除了\(\lim_{x\toa}f(x)\)和\(\lim_{x\toa}g(x)\)存在外，還要求\(\lim_{x\toa}g(x)\neq0\)。只有滿足這些條件，才能運(yùn)用相應(yīng)法則計(jì)算極限。4.解釋“極限存在的唯一性”。極限存在的唯一性是指在自變量的某一變化過程中，若函數(shù)\(f(x)\)的極限存在，那么這個(gè)極限值是唯一的。也就是說，不可能出現(xiàn)函數(shù)\(f(x)\)在自變量趨于某一點(diǎn)（或趨于無窮等情況）時(shí)，同時(shí)趨近于兩個(gè)不同的值。例如，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(f(x)\)不可能既趨近于1又趨近于2。這一性質(zhì)是極限理論的重要基礎(chǔ)，保證了極限概念的確定性。五、討論題1.討論極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3+2x^2+1}{x^3-4x+5}\)的計(jì)算方法及結(jié)果。計(jì)算這個(gè)極限時(shí)，可根據(jù)極限運(yùn)算法則。當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，分子分母都是多項(xiàng)式且最高次項(xiàng)次數(shù)相同。對于此類情況，我們可以同時(shí)除以\(x^3\)，則原式變?yōu)閈(\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{4}{x^2}+\frac{5}{x^3}}\)。當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{1}{x^2}\)、\(\frac{1}{x^3}\)等都趨于0。所以極限值為\(\frac{3+0+0}{1-0+0}=3\)。2.當(dāng)\(