2025年線性代數(shù)期末試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)矩陣\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert=(\)\)A.-16B.-4C.4D.16答案：A2.設(shè)\(A\)，\(B\)均為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則下列結(jié)論正確的是\((\)\)A.\(A=O\)且\(B=O\)B.\(A=O\)或\(B=O\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)答案：C3.向量組\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,t)\)線性相關(guān)，則\(t=(\)\)A.5B.4C.3D.2答案：A4.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^{-1}\)的一個特征值是\((\)\)A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^{-n}\)D.\(\lambda^n\)答案：B5.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^{}=(\)\)A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)答案：A6.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則下列說法錯誤的是\((\)\)A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的秩C.\(A\)與\(B\)有相同的行列式D.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量答案：D7.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=0\)是非齊次線性方程組\(Ax=b\)對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是\((\)\)A.若\(Ax=0\)僅有零解，則\(Ax=b\)有唯一解B.若\(Ax=0\)有非零解，則\(Ax=b\)有無窮多解C.若\(Ax=b\)有無窮多解，則\(Ax=0\)有非零解D.若\(Ax=b\)有唯一解，則\(Ax=0\)有非零解答案：C8.設(shè)矩陣\(A\)的秩\(r(A)=r\)，則\(A\)中\(zhòng)((\)\)A.所有\(zhòng)(r\)階子式都不為零B.所有\(zhòng)(r+1\)階子式都為零C.至少有一個\(r+1\)階子式不為零D.所有\(zhòng)(r-1\)階子式都不為零答案：B9.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的一個基礎(chǔ)解系，則下列向量組中也可作為\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系的是\((\)\)A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)B.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)D.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)答案：C10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩陣是\((\)\)A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&3\\0&0&3\end{pmatrix}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式成立的有\(zhòng)((\)\)A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）答案：ACD2.下列向量組中，線性無關(guān)的是\((\)\)A.\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)B.\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,0,1)\)C.\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)D.\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(3,4,5)\)答案：AB3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則\((\)\)A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.對于任意常數(shù)\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量答案：ABC4.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)合同，則\((\)\)A.\(A\)與\(B\)等價B.\(A\)與\(B\)相似C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)與\(B\)有相同的正慣性指數(shù)答案：ACD5.下列關(guān)于線性方程組的說法正確的是\((\)\)A.齊次線性方程組\(Ax=0\)一定有解B.非齊次線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是\(r(A)=r(A|b)\)C.若齊次線性方程組\(Ax=0\)的系數(shù)矩陣\(A\)的秩\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），則\(Ax=0\)只有零解D.若非齊次線性方程組\(Ax=b\)的系數(shù)矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)小于未知數(shù)個數(shù)，則\(Ax=b\)有無窮多解答案：ABC6.設(shè)矩陣\(A\)經(jīng)過初等行變換化為矩陣\(B\)，則\((\)\)A.\(A\)與\(B\)等價B.\(r(A)=r(B)\)C.\(A\)與\(B\)有相同的行向量組D.\(A\)與\(B\)有相同的列向量組答案：AB7.已知\(\alpha_1,\alpha_2\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的解，\(\beta_1,\beta_2\)是非齊次線性方程組\(Ax=b\)的解，則\((\)\)A.\(\alpha_1+\alpha_2\)是\(Ax=0\)的解B.\(\beta_1+\beta_2\)是\(Ax=b\)的解C.\(\beta_1-\beta_2\)是\(Ax=0\)的解D.\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\)（\(k_1,k_2\)為任意常數(shù)）是\(Ax=0\)的解答案：ACD8.設(shè)\(A\)為\(n\)階正交矩陣，則\((\)\)A.\(A^TA=E\)B.\(\vertA\vert=1\)C.\(A\)的列向量組是正交單位向量組D.\(A\)的行向量組是正交單位向量組答案：ACD9.對于\(n\)階實(shí)對稱矩陣\(A\)，下列說法正確的是\((\)\)A.\(A\)一定可以相似對角化B.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)C.不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交D.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣答案：ABCD10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_2x_3\)正定，則\((\)\)A.\(a^2\lt1\)B.\(b^2\lt1\)C.\(a^2+b^2\lt1\)D.\(\begin{vmatrix}1&a&0\\a&1&b\\0&b&1\end{vmatrix}\gt0\)答案：ABD三、判斷題1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組線性相關(guān)。\((\)\)答案：√2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。\((\)\)答案：√3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)（\(m\gtn\)）一定線性相關(guān)，其中\(zhòng)(\alpha_i\)為\(n\)維向量。\((\)\)答案：√4.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)一定等價。\((\)\)答案：√5.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系是唯一的。\((\)\)答案：×6.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的特征值全為零，則\(A=O\)。\((\)\)答案：×7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對稱矩陣）正定的充要條件是\(A\)的所有順序主子式都大于零。\((\)\)答案：√8.若矩陣\(A\)的秩\(r(A)=r\)，則\(A\)中存在\(r\)個列向量線性無關(guān)。\((\)\)答案：√9.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)可逆，若\(AB=O\)，則\(B=O\)。\((\)\)答案：√10.正交矩陣的行列式的值為\(1\)。\((\)\)答案：×四、簡答題1.簡述矩陣可逆的充要條件，并說明如何求可逆矩陣的逆矩陣。答案：矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)。求可逆矩陣\(A\)的逆矩陣方法有：伴隨矩陣法，\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^{}\)，其中\(zhòng)(A^{}\)是\(A\)的伴隨矩陣；初等變換法，對\((A|E)\)作初等行變換，當(dāng)\(A\)化為\(E\)時，右邊的\(E\)就化為\(A^{-1}\)。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)，如果存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)；若只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)才成立，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性無關(guān)。3.簡述線性方程組有解的判定定理。答案：對于非齊次線性方程組\(Ax=b\)，其有解的判定定理為：系數(shù)矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)等于增廣矩陣\((A|b)\)的秩\(r(A|b)\)。當(dāng)\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）時，方程組有唯一解；當(dāng)\(r(A)=r(A|b)\ltn\)時，方程組有無窮多解。齊次線性方程組\(Ax=0\)一定有解，當(dāng)\(r(A)=n\)時只有零解，當(dāng)\(r(A)\ltn\)時有非零解。4.簡述實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)。答案：實(shí)對稱矩陣\(A\)具有以下性質(zhì)：特征值都是實(shí)數(shù)；不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；一定可以相似對角化，即存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對角矩陣，且存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣；\(A\)的秩等于其非零特征值的個數(shù)