線代b題庫及答案一、單項選擇題1.若矩陣\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)（）A.等于\(0\)B.大于\(0\)C.小于\(0\)D.不等于\(0\)答案：D2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階矩陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(A+B=O\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)答案：C3.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)的秩為（）A.0B.1C.2D.3答案：D4.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)僅有零解的充分必要條件是\(A\)的（）A.列向量組線性無關(guān)B.列向量組線性相關(guān)C.行向量組線性無關(guān)D.行向量組線性相關(guān)答案：A5.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.若\(\lambda=0\)，則\(A\)不可逆B.若\(\lambda\neq0\)，則\(Ax=0\)有非零解C.\(A\)的行列式\(\vertA\vert=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\)（\(\lambda_i\)為\(A\)的特征值）D.\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)的特征值為\(\vertA\vert/\lambda\)答案：B6.設(shè)\(A\)為\(n\)階實對稱矩陣，則\(A\)必相似于（）A.對角矩陣B.實對稱矩陣C.可逆矩陣D.正交矩陣答案：A7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的正慣性指數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3答案：D8.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，\(P\)為\(n\)階可逆矩陣，若\(P^{-1}AP=B\)，則\(A\)與\(B\)（）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似答案：C9.已知向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)線性無關(guān)，則（）A.\(\alpha_1\)能由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示B.\(\alpha_2\)能由\(\alpha_1,\alpha_3\)線性表示C.\(\alpha_3\)能由\(\alpha_1,\alpha_2\)線性表示D.\(\alpha_4\)能由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示答案：A10.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)是\(A\)的分別屬于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則（）A.\(\xi_1+\xi_2\)是\(A\)的特征向量B.\(\xi_1-\xi_2\)是\(A\)的特征向量C.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1,k_2\)不全為\(0\)）是\(A\)的特征向量D.\(\xi_1,\xi_2\)線性無關(guān)答案：D二、多項選擇題1.下列矩陣中，是可逆矩陣的有（）A.單位矩陣B.對角矩陣（對角元素都不為\(0\)）C.上三角矩陣（主對角線下方元素都為\(0\)，且主對角線元素都不為\(0\)）D.下三角矩陣（主對角線上方元素都為\(0\)，且主對角線元素都不為\(0\)）答案：ABCD2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階矩陣，下列結(jié)論正確的有（）A.若\(A\)，\(B\)可逆，則\(A+B\)可逆B.若\(A\)，\(B\)可逆，則\(AB\)可逆C.若\(AB\)可逆，則\(A\)，\(B\)可逆D.若\(A\)可逆，\(k\)為常數(shù)，則\(kA\)可逆答案：BD3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為\(0\)的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于\(s\)D.向量組中存在某個向量是其余向量的線性組合答案：ABCD4.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，下列結(jié)論正確的有（）A.若\(\lambda=0\)，則\(A\)不可逆B.若\(\lambda\neq0\)，則\(Ax=0\)只有零解C.若\(\lambda\)是\(A\)的單特征值，則其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個D.若\(\lambda\)是\(A\)的重特征值，則其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量至少有一個答案：ACD5.下列二次型中，是正定二次型的有（）A.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\)B.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_2^2+3x_3^2\)C.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2\)D.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3\)答案：AD三、判斷題1.若矩陣\(A\)，\(B\)可逆，則\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)。（）答案：錯誤2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則其中任意一個向量都可由其余向量線性表示。（）答案：錯誤3.若\(n\)階矩陣\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征值和特征向量。（）答案：錯誤4.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)為實對稱矩陣），當(dāng)\(x\neq0\)時，\(f(x)\gt0\)，則\(f(x)\)是正定二次型。（）答案：錯誤5.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中任意\(r+1\)階子式都為\(0\)。（）答案：正確6.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）答案：正確7.若\(n\)階矩陣\(A\)與\(B\)等價，則\(A\)與\(B\)有相同的秩。（）答案：正確8.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，則其延伸組也線性無關(guān)。（）答案：正確9.若\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)為常數(shù)）。（）答案：正確10.若矩陣\(A\)與\(B\)合同，則\(A\)與\(B\)有相同的正負(fù)慣性指數(shù)。（）答案：正確四、簡答題1.簡述矩陣可逆的充要條件。矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，且\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)存在，滿足\(AA^*=A^*A=\vertA\vertE\)。2.如何求向量組的秩？通過將向量組構(gòu)成矩陣，對矩陣進行初等行變換化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是向量組的秩。3.特征值和特征向量的定義是什么？設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，如果存在數(shù)\(\lambda\)和非零\(n\)維向量\(x\)，使得\(Ax=\lambdax\)，則稱\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，\(x\)是\(A\)的屬于特征值\(\lambda\)的特征向量。4.正定二次型的判定條件有哪些？正定二次型的判定條件有：一是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的\(n\)個系數(shù)都為正；二是矩陣\(A\)的各階順序主子式都為正。五、討論題1.討論矩陣乘法不滿足交換律的原因。矩陣乘法不滿足交換律主要是因為矩陣乘法的定義決定的。矩陣乘法是將前一個矩陣的行與后一個矩陣的列進行對應(yīng)元素相乘再求和。不同的矩陣其元素的排列和結(jié)構(gòu)不同，導(dǎo)致前一個矩陣乘以后一個矩陣的結(jié)果與后一個矩陣乘以前一個矩陣的結(jié)果可能不同。例如，一個\(m\timesn\)的矩陣與一個\(n\timesp\)的矩陣相乘才有意義，而交換順序后可能不滿足乘法的條件，即使?jié)M足條件，結(jié)果也可能不同。2.討論向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的本質(zhì)區(qū)別。向量組線性相關(guān)的本質(zhì)是存在不全為\(0\)的數(shù)使得向量組的線性組合為零向量，這意味著向量組中至少有一個向量可以由其他向量線性表示，向量組的線性關(guān)系不獨立。而線性無關(guān)則是只有當(dāng)所有系數(shù)都為\(0\)時，線性組合才為零向量，向量組的線性關(guān)系是獨立的，不存在某個向量可以由其他向量線性表示的情況。3.討論相似矩陣和合同矩陣的異同。相似矩陣和合同矩陣的相同點是都反映了矩陣之間的一種等價關(guān)系。不同點在于：相似矩陣是指存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，相似矩陣具有相同的特征值；而合同矩陣是指存在可逆矩陣\(C\)，使得\(C^TAC=B\