第一章《一元二次方程》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)題【題型1一元二次方程的相關(guān)概念】1.已知a是方程x2?2x+1=0的解，則代數(shù)式2023?a2+2a的值為2.下列是一元二次方程的是（

）A．x2+3=1x B．x2?x=03.將方程4x?1=3x2化成一元二次方程的一般形式，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為3時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（A．4，?1 B．4，1 C．?4，?1 D．?4，14.若方程a?2xa+3x?a=0是關(guān)于x的一元二次方程，則【題型2一元二次方程的一般解法】1.已知實(shí)數(shù)x滿足方程x2+x1?x22.解下列方程(1)x+52=25(2)x2+2x=0(3)3.關(guān)于x的方程xx?1①兩邊同時(shí)除以x?1得x=3.②化簡整理得x2?4x=?3，∵a=1，b=?4，c=?3，b2③整理得x2?4x=?3，配方得x2+4x+2=?1，∴x?22=?1，∴④移項(xiàng)得：(x?3)(x?1)=0，∴x?3=0或x?1=0，∴x1=1，A．① B．② C．④ D．③④4.如圖，在長方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作弧與AC交于點(diǎn)F，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧與AC交于點(diǎn)E．設(shè)AB=a,AD=b，則方程x2A．AE的長 B．CF的長 C．EF的長 D．AC的長【題型3配方法的應(yīng)用】1.王老師在講完乘法公式(a±b)2=ax==因?yàn)?x+2)2≥0，所以當(dāng)x=?2時(shí)，(x+2)所以(x+2)所以當(dāng)(x+2)2=0時(shí)，(x+2)所以x2+4x+5依據(jù)上述方法，解決下列問題：(1)當(dāng)x=______時(shí)，(x+5)2(2)多項(xiàng)式?x2?4x+18有最______((3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2?2a=8b?172.已知x，y，z為實(shí)數(shù)，且y+z=5?4x+3xA．x<y≤z B．y<x≤z C．y≤z<x D．z<x≤y3.已知實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b=4,a>0，則下列判斷正確的是（

）A．a(chǎn)+b>2,a2+5a+2b<4C．a(chǎn)+b>2,a2+5a+2b>44.一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了兩個(gè)二次多項(xiàng)式2x2+px+c，?x2+qx+c（其中二次多項(xiàng)式對(duì)二次多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解對(duì)二次多項(xiàng)式使用配方法2(2x+a)(x+b)2?(x+a)(?x+b)?（說明：a，b，m，n，k1，k有學(xué)生探究得到以下四個(gè)結(jié)論：①若p+q=12，則2m+6=n；②若p=q=2，則c=?83；③若有且只有一個(gè)x的值，使代數(shù)式2x2+px+c的值為0，則p?4q=0；④若m?n=2，則c的值不可能是?5【題型4根的判別式與一元二次方程根的情況】1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)已知2是此方程的一個(gè)根，求k的值和這個(gè)方程的另一個(gè)根．2.若關(guān)于x的一元二次方程2x2?4x?1+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則kA．6 B．4 C．2 D．33.定義運(yùn)算：a※b=a2+ab?2b2，例如4※3=4.對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列說法：①若a+b+c=0，則b2?4ac≥0；②若方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③【題型5根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合】1.若關(guān)于x的一元二次方程x2（1）該方程根的情況是（填“兩個(gè)相等實(shí)根”、“兩個(gè)不相等實(shí)根”或“無實(shí)根”）；（2）當(dāng)m=1，2，3，?，2.已知關(guān)于x的一元二次方程x2?4x?2m+5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且滿足A．?3或1 B．1 C．3或?1 D．?13.關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，若xA．1 B．4 C．6 D．84.對(duì)于關(guān)于x的代數(shù)式ax2+bx+c，若存在實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x=m時(shí)，代數(shù)式的值也等于m，則稱m為這個(gè)代數(shù)式的“不動(dòng)值”．例如：對(duì)于關(guān)于x的代數(shù)式x2，當(dāng)(1)關(guān)于x的代數(shù)式x2?6的不動(dòng)值是(2)判斷關(guān)于x的代數(shù)式2x(3)已知關(guān)于x的代數(shù)式ax①若此代數(shù)式僅有一個(gè)不動(dòng)值，求a的值；②若此代數(shù)式有兩個(gè)不動(dòng)值，且兩個(gè)不動(dòng)值的差為2，直接寫出正整數(shù)a的值．【題型6一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】1.一家工廠為了生產(chǎn)某種特殊材料，決定從供應(yīng)商處購買甲、乙兩種化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料貴4元，工廠第一次花費(fèi)800元采購甲化工原料和240元采購乙化工原料，發(fā)現(xiàn)甲化工原料的桶數(shù)是乙化工原料桶數(shù)的2倍．(1)求每桶甲化工原料與乙化工原料的售價(jià)分別為多少元．(2)已知供應(yīng)商每桶甲化工原料的進(jìn)價(jià)是a元，每桶乙化工原料的進(jìn)價(jià)是23a元，甲、乙售價(jià)不變．為了擴(kuò)大生產(chǎn)，工廠決定再次購買這兩種化工原料，且第二次購買甲化工原料的數(shù)量比第一次購買的數(shù)量少10a%2.如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒1人感染后，經(jīng)過兩輪傳播，共有361人感染．(1)平均每人每輪感染多少人？(2)第二輪傳播后，人們加強(qiáng)防范，使病毒的傳播力度減少到原來的a%，這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的10倍，求a3.2025年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹，計(jì)劃購買小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經(jīng)測算，購買兩種樹共需38800元．(1)原計(jì)劃購買小葉榕、香樟各多少棵？(2)實(shí)際購買時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降10m元（m≤10)），且兩種樹的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購買小葉榕2棵，香樟1棵．物業(yè)管理公司實(shí)際購買的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購買兩種樹共多少棵？4.1月21日，重慶在除夕夜舉行了首屆重慶都市藝術(shù)節(jié)跨年焰火表演，以跨年整點(diǎn)焰火的形式辭舊迎新，為感受喜慶、熱烈的現(xiàn)場氛圍，甲、乙兩人從各自家前往朝天門廣場觀看焰火表演、由于當(dāng)晚觀看焰火表演的人較多，甲先將車開到距離自己家50千米的A停車場后，再步行1千米到達(dá)目的地，共花了1.5小時(shí)，此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的25倍．(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？(2)乙先將車開到B停車場后，再步行前往目的地，總路程為46千米，此期間，已知乙開車的平均速度比甲開車的平均速度快m千米/小時(shí)(m>0)，乙開車時(shí)間比甲開車時(shí)間少124m小時(shí)；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快14m千米/小時(shí)，乙步行了【題型7利用根與系數(shù)的關(guān)系求值】1.如果m，n是一元二次方程x2+x?3=0的兩個(gè)根，那么多項(xiàng)式m32.若m、n是一元二次方程x2+x?3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m33.已知互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足ca=?a?3，cb=?b?3，求4.已知m，n，s，t為互不相等的實(shí)數(shù)，且m+sm+tA．?2 B．0 C．12 【題型8利用一元二次方程的根求取值范圍】1.若關(guān)于x的方程1?m2x2+2mx?1=02.已知方程x?2x2?4x+a=0的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根可作為三角形的三邊邊長，則實(shí)數(shù)A．1<a<3 B．1<a<4C．3<a<4 D．2<a<33.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)根x1，x2，且滿足1<x1<【變式8-3】（24-25九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2?m+2x?3m?3=0在?2≤x≤2范圍內(nèi)有且只有一個(gè)根，則【題型9一元二次方程解決動(dòng)點(diǎn)問題】1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著AC邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為A．4+22sC．4+22s或4?222.如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)(1)經(jīng)過多長時(shí)間，MN長為22(2)經(jīng)過多長時(shí)間，△AMN面積等于矩形面積的193.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=5cm，點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，連接EF．E、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)4.如圖，在矩形ABCD中，AB=1cm，∠BAC=60°，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿A?C方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿A?B?C的方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t?s，△APQ的面積為S1【題型10一元二次方程與幾何圖形】1.如圖，在矩形ABFE中，C是邊BF上一點(diǎn)，且AB=BC，連接AC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)停止，且點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AC上，連接BD并延長交EF于點(diǎn)G，連接CE交BG于點(diǎn)H．已知GF=2，則EG=．2.如圖，菱形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E在邊AB上，連結(jié)CE，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，CE，DF將菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一個(gè)直角三角形，若EC=DF+2，則線段AE的長度為．3.如圖，在矩形ABCD中，BC=9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上，DE=2，把△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC上的點(diǎn)G處，連接EG，F(xiàn)G，延長FE交CD的延長線于點(diǎn)H，若DH=BF，則BF的長為．4.【方法回顧】（1）如圖1，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線l交邊BC于點(diǎn)P，BE⊥AP于點(diǎn)E，DF⊥AP于點(diǎn)F．我們運(yùn)用全等和正方形等知識(shí)進(jìn)行推理可以知道，線段EF，DF，BE之間的數(shù)量關(guān)系是____________________；【問題解決】（2）如圖2，菱形ABCD的邊長為32，過點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交邊BC于點(diǎn)P，過B作BE⊥AB，與直線l交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AP上一點(diǎn)，EF=1且∠BAD+∠AFD=180°，求BE【思維拓展】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD所在直線的上方，AP=2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為mm>0，則PB2參考答案【題型1一元二次方程的相關(guān)概念】1.2024【分析】本題考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得a2?2a+1=0，整理得到【詳解】解：∵a是方程x2∴a2∴a2∴2023?a故答案為：2024．2.B【分析】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義，找出是一元二次方程的選項(xiàng)即可．【詳解】解：A、該選項(xiàng)的方程含有分式，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；B、該選項(xiàng)有一個(gè)未知數(shù)且最高次數(shù)為2，是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；C、該選項(xiàng)的方程是一元一次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；D、該選項(xiàng)有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．3.D【分析】本題考查了一元二次方程的一般式．將一元二次方程化為一般式，求出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)即可．【詳解】解：將一元二次方程4x?1=3x2變形為：此時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為?4，常數(shù)項(xiàng)為1．故答案為：D．4.?2【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵．據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵方程a?2xa+3x?a=0∴a=2且a?2≠0，則a=±2且a≠2∴a=?2，故答案為：?2．【題型2一元二次方程的一般解法】1.3【分析】本題考查了解一元二次方程，令t=x2+x【詳解】解：令t=x則原式為t1?t解得t1當(dāng)x2+x=3時(shí)，當(dāng)x2+x=?2時(shí)，∴x故答案為：3．2.（1）解：x+5x+5=±5∴x1=0，（2）解：xx∴x1=0，（3）解：xx+3∴x1=?3，（4）解：3∵a=3,b=6,c=?4，Δ=∴x=?b±∴x1=?1+213.C【分析】本題考查了解二元一次方程-因式分解法，直接開方法，公式法，以及配方法，根據(jù)解一元二次方程的方法逐一判斷即可．【詳解】解：A．①不符合解一元二次方程的方法，故①錯(cuò)誤；B．c=3不是?3，故②錯(cuò)誤；C．配方時(shí)，等式兩邊應(yīng)該加4，故③錯(cuò)誤；D．xx?1xx?1x?1x?3∴x?3=0或x?1=0，∴x1=1，故選：C．4.A【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．先算出方程x2+2ax=b2的正根為a2+b【詳解】解：∵x∴x2∴(x+a)2∴x=?a±a∵a2∴方程x2+2ax=b∵四邊形ABCD是長方形，∴∠BAD=90°，BC=AD=b，在Rt△ABD中，AB=a，AD=b由勾股定理得：AC=A由作圖過程知AF=b，CE=a，∴AE=AC?CE=a∴方程x2+2ax=b故選：A．【題型3配方法的應(yīng)用】1.（1）解：∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有(x+5)2∴當(dāng)x=?5時(shí)，(x+5)2的最小值是0∴(x+5)2∴當(dāng)x=?5時(shí)，(x+5)2+7有最小值是故答案為：?5；7；（2）解：?=?(x+2)∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有(x+2)2∴?(x+2)∴?x∴當(dāng)x=?2時(shí)，多項(xiàng)式?x2?4x+18故答案為：大；（3）解：∵a∴a∴(a?1)∴a?1=0，b?4=0，∴a=1，b=4，∵c=4，∴△ABC的周長=1+4+4=9．2.A【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用．先根據(jù)已知等式求出y=x2?x+2，z=2x2【詳解】解：∵y+z=5?4x+3x解得y=x2?x+2∴y?x=x∴y>x；∵z?y=1?2x+x∴z≥y，∴x<y≤z，故選：A．3.C【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)及配方法的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)及配方法的應(yīng)用，由a+2b=4可得b=4?a2，可得a+b=a+4?a2=2a+4?a2=a+42.可得出a+42>【詳解】解：由a+2b=4可得b=4?a∴a+b=a+∵a>0，∴a+4>4，∴a+4即a+b>2對(duì)所有a>0成立．將2b=4?a代入a2a∵a>0，∴a+2>2，∴(a+2)即a2+5a+2b>4對(duì)所有故選：C．4.①④【分析】本題主要考查配方法的應(yīng)用、根的判別式及二元一次方程組的解法，熟練掌握配方法的應(yīng)用、根的判別式及二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵；由題意易得p=a+2b,c=ab,q=b?a,m=?p【詳解】解：∵2x(2x+a)(x+b)=2x?x(x+a)(?x+b)=?x∴p=a+2b,c=ab,q=b?a,m=?p①∵m=?p∴2m+6=2×?∵p+q=12，∴q=12?p，∴q2∴2m+6=n；故正確；②∵p=q=2，∴a+2b=2b?a=2解得：a=?2∴c=ab=?2③由題意可知：當(dāng)2x∴Δ=∴a=2b，∴p=4b,q=?b，∴p?4q=4b?4×?b④當(dāng)m?n=2，即?p∴p+2q=?8，∴a+2b+2b?a∴a=4b+8，∴c=ab=b4b+8∵4b+1∴c=4b+12?4≥?4，所以c綜上所述：正確的結(jié)論有①④；故答案為①④．【題型4根的判別式與一元二次方程根的情況】1.（1）證明：由題意得：a=1，則：Δ=∵無論k取何值，k2≥0，則∴不論k取何值，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：將x=2代入方程可得4?2k+2+k?1=0，解得當(dāng)k=?1時(shí)，原方程為x2?x?2=0，解得：即方程的另一個(gè)根為?1．2.D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ=b2?4ac=0，可得出【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x∴Δ解得：k=3，故選：D．3.有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根【分析】本題考查新定義，解一元二次方程，理解新定義的運(yùn)算，得出方程是解題的關(guān)鍵．先利用新定義得到x+12【詳解】解：∵x+1※2=0∴x+1即x2∵a=1,b=4,c=?5∴Δ∴方程x+1※2=0故答案為：有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．4.B【分析】本題考查根的判別式，一元二次方程的解．利用根的判別式，方程的解使方程成立，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：若a+b+c=0，則方程有一個(gè)根為x=1，則b2若方程ax2+c=0則：ax2+bx+c=0∴方程ax若c是方程ax2+bx+c=0當(dāng)c≠0時(shí)，ac+b+1=0，故③錯(cuò)誤；若x0是一元二次方程ax2∴2ax∴b2故選B．【題型5根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合】1.兩個(gè)不相等實(shí)根2025【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)根的判別式即可進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=?ba【詳解】解：（1）∵Δ=∴故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)方程x2+2x?m則x1+x∴1x∴1∴1=2×(=2×(1?=2×故答案為202510132.B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到m2+2m?3=0，解得m1【詳解】解：由根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x代入x1x2即m解得：m1=?3∵原方程有實(shí)數(shù)根，∴Δ=解得m≥0.5因此m=?3不滿足，舍去，綜上，m=1，故選：B．3.C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=?ba，根據(jù)x2=2x1得到3此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關(guān)系，解方程組，運(yùn)用配方法求最值．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x∴x1+x∵x2∴3x1=?∴x1∴2?∴2b∴3ac=2∴4b?3ac=4b?=?2∵?2∴當(dāng)b=3時(shí)，4b?3ac有最大值6．故選：C．4.（1）解：由題意得x2?6=x，則∴x+2x?3∴x+2=0或x?3=0，解得x=?2或x=3，∴關(guān)于x的代數(shù)式x2?6的不動(dòng)值是3或故答案為：3或?2；（2）解：關(guān)于x代數(shù)式2x當(dāng)2x2?x+1=x∴Δ=∴原方程無解，∴2x∴關(guān)于x代數(shù)式2x（3）解：①∵關(guān)于x的代數(shù)式ax∴關(guān)于x的一元二次方程ax∴關(guān)于x的一元二次方程ax∴Δ=整理得3+a解得a=?3；②由題意得ax2+設(shè)ax2+3?ax?3=0∴α+β=a?3a，由題意得α?β=2∴α2?2αβ+β∴a?3a整理得a2解得a=3或?1，∴正整數(shù)a的值為3．【題型6一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】1.（1）解：設(shè)每桶甲化工原料的售價(jià)為x元，則每桶乙化工原料的售價(jià)為x?4元，根據(jù)題意：800解得：x=10，經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原分式方程的解，且符合題意，則x?4=6（元），答：每桶甲化工原料的售價(jià)為10元，每桶乙化工原料的售價(jià)為6元；（2）解：第一次購買甲化工原料800÷10=80（桶），第一次購買乙化工原料240÷6=40（桶），由題意得，10?a80?80×10a整理得：a2解得：a=6或a=24（舍去，不符合題意），答：a的值為6．2.（1）.解：設(shè)平均每人每輪感染x人，根據(jù)題意得，1+x+xx+1解得x1=18，答：平均每人每輪感染18人；（2）依題意得：361+361×18?a%解得a=50，答：a的值為50．3.（1）設(shè)原計(jì)劃購買小葉榕x棵，則購買香樟50?x棵，根據(jù)題意，可得680x+100050?x解得，x=35．答：原計(jì)劃購買小葉榕35棵、香樟15棵．（2）根據(jù)題意，可得(680?10m)×(35+2m)+(1000?10m)×(15+m)=42400，整理得，30m解得：m1=2，∵m≤10，∴m=2，∴購買了39棵小葉榕，17棵香樟，答：物業(yè)管理公司實(shí)際購買兩種樹共56棵．4.（1）設(shè)甲步行的平均速度是x千米/小時(shí)，則甲開車的平均速度是25x千米/小時(shí)，由題意得：5025x解得：x=2，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的解，且符合題意，∴25x=25×2=50，答：甲開車的平均速度是50千米/小時(shí)，步行的平均速度是2千米/小時(shí)；（2）由（1）可知，甲開車的時(shí)間為50÷50=1小時(shí))，則乙開車的時(shí)間為1?1由題意可知，乙開車的速度為50+m千米/小時(shí)，乙步行的速度為2+14m由題意得：50+m1?整理得：m2解得：m1=4，m2答：m的值為4．【拔尖篇】【題型7利用根與系數(shù)的關(guān)系求值】1.2029【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，熟練掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x【詳解】解：∵m、n是一元二次方程x2∴m+n=?1，mn=?3，m2+m?3=0∴m2∴1n=∴=4m?3+3n?mn+n+1+2032=4m+4n?mn?2+2032=4=4×=2029故答案為：2029．2.?2【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；首先把m、n代入方程，可得m2=3?m，n2=3?n，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得【詳解】解：∵m，n是一元二次方程x2∴m2+m?3=0，n∴m2=3?m∴m∴m=4m?3?4=4m?3?12+4n+17=4=4×=?2，故答案為：?2．3.﹣2【分析】將已知的兩等式去分母得到關(guān)系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a(bǔ)、b看成方程x2+3x+c=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子變形后，把a(bǔ)+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【詳解】由ca=﹣a﹣3得：a2+3a+c=由cb=﹣b﹣3得：b2+3b+c∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的兩根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴a2c+b2c﹣9c=a2+故答案為﹣2．4.A【分析】本題考查一元二次方程的解的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．熟記一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=?ba和x1【詳解】解：∵m+sm+t=2，∴m2+ms+t∵m，∴m和n可以看作方程x2∴mn=c∴mn?st=st?2?st=?2．故選A．【題型8利用一元二次方程的根求取值范圍】1.m>2或m=1【分析】本題主要考查了方程的解、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想成為解題的關(guān)鍵．分1?m2=0【詳解】解：當(dāng)1?m2=0當(dāng)m=1時(shí)，可得2x?1=0，解得：x=1當(dāng)m=?1時(shí)，可得?2x?1=0，解得：x=?1當(dāng)1?m2≠0時(shí)，∴x1∵關(guān)于x的方程1?m∴0<11+m<1，解得：m>0，0<?11?m綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>2或m=1．故答案為：m>2或m=1．2.C【分析】本題考查的一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，根與系數(shù)的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，先解方程得到一個(gè)解為x=2，結(jié)合題意可得x2?4x+a=0方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，且【詳解】解：∵x?2x∴x?2=0或x2當(dāng)x?2=0時(shí)，則x=2，當(dāng)x2∴Δ=?42?4a>0，解得：a<4，∵方程x?2x∴x1∴x1∴0≤16?4a<4，解得：3<a≤4，綜上：3<a<4，故選：C3.?1<t<0【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，由根和系數(shù)的關(guān)系可得，x1+x2=?a，x1x2=b【詳解】解：由根和系數(shù)的關(guān)系可得，x1+x∴a=?x1+∴t=a+b=?x∵1<x∴0<x1?1<1∴0<x∴?1<x即?1<t<0，故答案為：?1<t<0．4.?35【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解．熟練掌握是解決本題的關(guān)鍵．當(dāng)Δ=m2+16m+16=0，解得m=?8+43；當(dāng)Δ【詳解】解：當(dāng)一元二次方程x2?m+2則Δ=解得：m=?8±43此時(shí)x1∴?2≤m+2解得：?6≤m≤2，∴m=?8+43當(dāng)一元二次方程x2?m+2Δ=解得：m>43?8，或當(dāng)m>43?8時(shí)，∵x1設(shè)x2>x1，則∴22解得?3當(dāng)m=?35時(shí)，原方程為：x2?75x?當(dāng)m=5時(shí)，原方程為：x2?7x?18，解得，x1=?2，x2因此，?當(dāng)m<?43?8時(shí)，∵x1∴x1不在?2≤x≤2∴22解得無解，∴m的取值范圍為?35<m≤5故答案為：?35<m≤5【題型9一元二次方程解決動(dòng)點(diǎn)問題】1.C【分析】本題主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由題意得，AQ=CP=tcm，則CQ=AC?AQ=4?tcm，由勾股定理得到AB=5cm，則【詳解】解：由題意得，AQ=CP=tcm∴CQ=AC?AQ=4?t在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，則∴PQ=3在Rt△CPQ中，由勾股定理得P∴32解得t=4+22故選：C．2.（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒，MN長為22∵當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤x≤3，∵四邊形ABCD是矩形，AB=3cm，BC=6∴AD=BC=6cm，∠A=90°∴AN∴AN∵動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)∴經(jīng)過x秒，AN=AD?DN=6?2x，AM=x，∴6?2x2∴x1=2，答：經(jīng)過2秒或145秒，MN長為2（2）設(shè)經(jīng)t秒，△AMN面積等于矩形面積的19∴AN=AD?DN=6?2t，AM=t，∵當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤3，∵S△ANM∴12解得：t=1或t=2，答：經(jīng)過1秒或2秒，△AMN面積等于矩形面積的193.4或6【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．熟練掌握含30度的直角三角形性質(zhì)，三角形面積公式，是解題關(guān)鍵．設(shè)經(jīng)過t秒后△AEF的面積恰為12cm2，過點(diǎn)F作FD⊥AB于點(diǎn)D，求出DF=1【詳解】解：設(shè)經(jīng)過時(shí)間為ts，過點(diǎn)F作FD⊥AB于點(diǎn)D∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=5∴AC=2BC=10，∵CF=t，∴AF=10?t，∴DF=1∴S△AEF∵S△AEF∴?1解得t=4或t=6，即經(jīng)過4s或6s后，△AEF的面積恰為故答案為：4或6．4.2【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)問題的分類討論以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分階段確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)位置，通過作高表示三角形的高，建立面積表達(dá)式后結(jié)合面積關(guān)系列方程求解．先根據(jù)矩形邊長和∠BAC=60°求出BC的長及矩形面積S2,確定運(yùn)動(dòng)總時(shí)間范圍；分點(diǎn)Q在AB上0≤t≤1和在BC上1<t≤2兩種情況，分別過動(dòng)點(diǎn)作高，利用直角三角形性質(zhì)表示出△APQ的高；根據(jù)三角形面積公式得出S1【詳解】∵AB=1cm，∠BAC=∴BC=3∴S2=3，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C．即如圖1、當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤1，AP=tcm過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．∵∠PAQ=60∴PM=32∴∵S1解得t1如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，1<t≤2．AP=t?cm過點(diǎn)Q作QN⊥AC于點(diǎn)N．∵∠ACB=∴QN=12∴∵∴?解得t∵∴均不符合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)S1=1故答案為22【題型10一元二次方程與幾何圖形】1.2【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△DEG，得到CD=EG，設(shè)CD=EG=x，則EF=AD=AB=BC=x+2，在Rt△ABC【詳解】解：由題意，得AB=BC=AD=DE=EF，∴∠BAC=∠BCA=∠AED=45°，∴∠ABD=∠ADB=180°?45°∴∠GDE=180°?90°?67.5°=22.5°，∴∠DBC=∠GDE，∵∠DCB=∠GED=45°，在△BCD和△DEG中，∠GDE=∠DBC=22.5°BC=DE∴△BCD≌△DEGASA∴CD=EG，設(shè)CD=EG=x，則EF=EG+GF=x+2，∵EF=AD=AB=BC，∴AD=AB=BC=x+2，∴AC=x+2+x=2x+2，∵在Rt△ABC中，A∴2x+22解得：x=2∴EG=2故答案為：2．2.14【分析】由題意可得CF=EF，連接DE，過點(diǎn)D,C分別作DM⊥AB，CN⊥AB，垂足為點(diǎn)M,N，設(shè)DF=2x，AM=a，由DF⊥CE，得到DC=DE=DA=5，那么有三線合一可得AM=ME=a，則CF=EF=x+1，在Rt△DFC中，由勾股定理建立方程求出x=2，則CE=6，可得四邊形DMNC為矩形，則由雙勾股定理可得DE2?ME【詳解】解：由題意得可得CF=EF，連接DE，過點(diǎn)D,C分別作DM⊥AB，CN⊥AB，