高三數(shù)學(xué)考生注意：．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分分，考試時(shí)間分鐘．．答題前，考生務(wù)必用直徑毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合A，再由集合的交集運(yùn)算即可.【詳解】由題意知，，則．故選：C．2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】由，得．故選：A．3.若橢圓的焦距為，則C的離心率為（）第1頁(yè)/共20頁(yè)A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由焦距得，可判斷，由離心率公式計(jì)算可得.【詳解】由得，又，所以，，得，所以．故選：A．4.已知α，β為兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若，，，則或m，l異面，故A錯(cuò)誤；若，，則或，故B錯(cuò)誤；若，，則，故C正確；若，，則或，故D錯(cuò)誤．故選：C．5.已知，，且，則的最小值是（）A.4B.6C.8D.9【答案】A【解析】第2頁(yè)/共20頁(yè)【分析】由題意，利用乘“1”法求解基本不等式問(wèn)題即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，，時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最小值是4．故選：A．6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.12B.14C.16D.18【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)有，，成等比數(shù)列，列方程求即可.【詳解】由題意及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，得，，成等比數(shù)列，則，即，解得或（舍）.故選：A7.已知直線，圓，則“點(diǎn)在圓C外”是“直線l與圓C相交”的（）A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充要條件的定義，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置、點(diǎn)到直線的距離公式求解判斷.【詳解】由點(diǎn)在圓C外，得，則圓心C到直線l的距離，因此直線l與圓C相交，即“點(diǎn)在圓C外”是“直線l與圓C相交”充分條件；第3頁(yè)/共20頁(yè)由直線l與圓C相交，得圓心C到直線l的距離，則，因此點(diǎn)在圓C外，即“點(diǎn)在圓C外”是“直線l與圓C相交”的必要條件，所以“點(diǎn)在圓C外”是“直線l與圓C相交”的充要條件.故選：C8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，恒成立，則（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用已知條件結(jié)合賦值法及累加法得出得，再應(yīng)用偶函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)椋愠闪?，令，則恒成立，即，所以，所以，，，以上各式兩邊分別相加，得，在中，令，得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，第4頁(yè)/共20頁(yè)所以，所以，所以.故選:B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.2024年手機(jī)迎來(lái)發(fā)展新機(jī)遇，國(guó)內(nèi)兩家傳媒公司共同發(fā)起了中國(guó)手機(jī)消費(fèi)行為調(diào)查，下表為根據(jù)調(diào)查得到的2024年1000名中國(guó)手機(jī)用戶購(gòu)買手機(jī)價(jià)格頻數(shù)表，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表，則（）價(jià)格（千元）頻數(shù)1506001805020A.估計(jì)1000名用戶購(gòu)買手機(jī)價(jià)格的眾數(shù)為7.5B.估計(jì)1000名用戶購(gòu)買手機(jī)價(jià)格的平均數(shù)為8.45C.估計(jì)1000名用戶購(gòu)買手機(jī)價(jià)格的中位數(shù)不超過(guò)6D.估計(jì)1000名用戶購(gòu)買手機(jī)價(jià)格的分位數(shù)不超過(guò)12【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，先確定眾數(shù)落在區(qū)間上，中間值為7.5AB選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算；C選項(xiàng)，中位數(shù)落在中，利用中位數(shù)的定義計(jì)算出答案；D選項(xiàng)，先得到分位數(shù)落在中，利用百分位數(shù)定義得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，1000名用戶購(gòu)買手機(jī)價(jià)格的眾數(shù)落在區(qū)間上，中間值為7.5，A正確；B選項(xiàng)，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表，故平均數(shù)為，B正確；C選項(xiàng)，，，故中位數(shù)落在中，中位數(shù)為，C錯(cuò)誤；第5頁(yè)/共20頁(yè)D選項(xiàng)，，，故分位數(shù)落在中，1000名用戶購(gòu)買手機(jī)價(jià)格的分位數(shù)為，D錯(cuò)誤．故選：AB10.已知△ABC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，的平分線交直線于，若，則（）A.B.C.的面積為D.【答案】AC【解析】ABC選項(xiàng)由三角形面積公式計(jì)算判斷即可；D選項(xiàng)利用余弦定理可求得，進(jìn)而可得，結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以由正弦定理，得，故A正確；由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；面積為，故C正確；由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，是的角平分線，所以，所以.第6頁(yè)/共20頁(yè)在中，由正弦定理，得·解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.在平面直角坐標(biāo)系的焦點(diǎn)為的直線與交于滿足，且直線與軸平行，直線與軸交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若，則直線的斜率為或C.若為的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則直線的斜率成等差數(shù)列D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，由得，求出t即可求得直線lC并利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)驗(yàn)證其等于零即可判斷；D選項(xiàng)，由知，從而，代入的表達(dá)式化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意知，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，由得，所以，則，所以，故A正確；第7頁(yè)/共20頁(yè)因?yàn)?，所以，所以，又，解得或，所以或，即直線的斜率為或，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，所以，即，則直線的斜率成等差數(shù)列，故C正確；如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，又，所以，又，所以，所以，故D正確.故選：ACD第8頁(yè)/共20頁(yè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.若函數(shù)在處有極值，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】【分析】由求出并檢驗(yàn)極值的存在.【詳解】因?yàn)?，，在處有極值，所以，所以，解得．經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在，意．故答案為：.13.已知向量滿足，，且，則________．【答案】2【解析】【分析】由，平方后結(jié)合，可得，解方程即可.【詳解】由，得，即，整理得，解得，或故答案為：2.第9頁(yè)/共20頁(yè)14.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，恒成立，則________．【答案】##【解析】化簡(jiǎn)推得和入，根據(jù)等式恒成立，對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，求得和的值即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，兩式相減得，所以，所以數(shù)列是以m為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，又因?yàn)閷?duì)任意的，等式恒成立，所以，解得，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值；第10頁(yè)/共20頁(yè)（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）（2）【解析】1）化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用最小正周期即可求出的值；（2）寫(xiě)出表達(dá)式，即可求出的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】由題意，在中，，∵的最小正周期為，∴，解得.【小問(wèn)2詳解】由題意及（1）得，在中，，∴，當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，，解得，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為．16.如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，第11頁(yè)/共20頁(yè)，點(diǎn)在棱上．（1）若為的中點(diǎn)，證明：；（2）若兩條異面直線所成角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2【解析】1）由線面垂直的判定定理證明平面，得到，結(jié)合條件證明平面，得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)，利用夾角公式列式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，第12頁(yè)/共20頁(yè)設(shè)，則．設(shè)異面直線與所成角為，則，整理得，解得或所以，所以.17.為了解某校學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從中抽取男、女生共100人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．將樣本中的“男生”和“女生”5組：，，，，，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得下表：男生人數(shù)4527213女生人數(shù)3131662若體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于一小時(shí)，則被認(rèn)定為“喜歡體育運(yùn)動(dòng)”，否則被認(rèn)定為“不喜歡體育運(yùn)動(dòng)”．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否喜歡體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？第13頁(yè)/共20頁(yè)喜歡體育運(yùn)動(dòng)不喜歡體育運(yùn)動(dòng)合計(jì)男女合計(jì)（2）從喜歡體育運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取88人中隨機(jī)抽取3人擔(dān)任體育運(yùn)動(dòng)宣傳員，記隨機(jī)變量X為抽取的3人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附：α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格見(jiàn)解析，認(rèn)為是否喜歡體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)（2）X的分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】1）根據(jù)時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)表，完成列聯(lián)表，根據(jù)參考公式計(jì)算，對(duì)照附表作出相應(yīng)判斷.（2）根據(jù)(1)中的列聯(lián)表，求出分層隨機(jī)抽樣抽取的8人中的男女人數(shù)，并求出隨機(jī)變量X的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出相應(yīng)分布列，求得數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】列聯(lián)表如下：喜歡體育運(yùn)動(dòng)不喜歡體育運(yùn)動(dòng)合計(jì)男243660女83240第14頁(yè)/共20頁(yè)合計(jì)3268100零假設(shè)為：是否喜歡體育運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表可得，【小問(wèn)2詳解】從喜歡體育運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8人，則男生抽取人數(shù)為，女生抽取人數(shù)為．X的所有可能取值為0，1，2，其中，，.則X的分布列為：X012P所以X的數(shù)學(xué)期望．18.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與恰有1的兩條互相垂直的漸近線分別交于點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積為定值；（3的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，求證：直線與軸垂直.第15頁(yè)/共20頁(yè)【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】1可得；（2）分當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在和存在時(shí)討論，當(dāng)存在時(shí)，設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，令判別式為零結(jié)合漸近線方程解出點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式表示出，然后由三角形的面積公式計(jì)算；（3）當(dāng)直線與的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，表示出韋達(dá)定理，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)坐標(biāo)，再將換成得到點(diǎn)坐標(biāo)可得；當(dāng)直線的斜率不存在，直線的斜率為0時(shí)與當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時(shí)由特殊值驗(yàn)證即可.【小問(wèn)1詳解】雙曲線的漸近線方程為，由兩條漸近線垂直可得，所以.將點(diǎn)代入，得，解得，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在時(shí)，.當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線，第16頁(yè)/共20頁(yè)故由得，從而，化簡(jiǎn)，得.又因?yàn)殡p曲線漸近線方程為，由得所以，同理可得，所以，又原點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以.綜上所述，的面積為定值1.【小問(wèn)3詳解】證明：由題意可得，雙曲線的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線與的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，且，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以將換成，得.因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，所以直線與軸垂直，當(dāng)直線的斜率不存在，直線的斜率為0時(shí)，易得；第17頁(yè)/共20頁(yè)當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存