高中數(shù)學(xué)反函數(shù)精講與習(xí)題集錦一、反函數(shù)的核心概念函數(shù)的本質(zhì)是“數(shù)的對應(yīng)規(guī)則”，反函數(shù)則是對這種“對應(yīng)”的逆向思考。我們規(guī)定：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)的定義域為\(D\)，值域為\(A\)，若對每一個\(y\inA\)，都有唯一的\(x\inD\)使得\(f(x)=y\)，則以\(y\)為自變量、\(x\)為因變量的函數(shù)\(x=f^{-1}(y)\)稱為\(y=f(x)\)的反函數(shù)。為符合習(xí)慣，通常將自變量記為\(x\)，因變量記為\(y\)，即反函數(shù)表達式為\(y=f^{-1}(x)\)。關(guān)鍵要點：1.一一映射：原函數(shù)必須是“一一映射”（每個\(x\)對應(yīng)唯一\(y\)，且每個\(y\)對應(yīng)唯一\(x\)），這要求原函數(shù)是嚴格單調(diào)函數(shù)（遞增或遞減）。例：\(y=3x-2\)（定義域\(\mathbb{R}\)）嚴格遞增，存在反函數(shù)；\(y=x^2\)（定義域\(\mathbb{R}\)）非一一映射（如\(y=4\)對應(yīng)\(x=\pm2\)），無反函數(shù)；若限定\(x\geq0\)，則\(y=x^2\)嚴格遞增，反函數(shù)為\(y=\sqrt{x}\)（\(x\geq0\)）。2.定義域與值域的互換：\(y=f(x)\)的定義域\(D\)是\(y=f^{-1}(x)\)的值域，\(y=f(x)\)的值域\(A\)是\(y=f^{-1}(x)\)的定義域。二、反函數(shù)的求解方法與易錯點求反函數(shù)的步驟可歸納為“解、換、定域”：步驟1：確定原函數(shù)的定義域和值域這一步?jīng)Q定了反函數(shù)的定義域（原函數(shù)的值域），若忽略會導(dǎo)致反函數(shù)定義域錯誤。例：\(y=\frac{2x+1}{x-1}\)（\(x\neq1\)），變形為\(y=2+\frac{3}{x-1}\)，值域為\(y\neq2\)，故反函數(shù)定義域為\(x\neq2\)。步驟2：解關(guān)于\(x\)的方程（用\(y\)表示\(x\)）將\(y\)視為已知數(shù)，解出\(x\)。續(xù)上例：由\(y=\frac{2x+1}{x-1}\)，得\(y(x-1)=2x+1\)，整理得\(x(y-2)=y+1\)，故\(x=\frac{y+1}{y-2}\)（\(y\neq2\)）。步驟3：交換\(x\)與\(y\)，標注定義域?qū)(x\)和\(y\)互換，得到反函數(shù)表達式，并注明定義域（原函數(shù)的值域）。續(xù)上例：反函數(shù)為\(y=\frac{x+1}{x-2}\)（\(x\neq2\)）。易錯點警示：若原函數(shù)不單調(diào)（非一一映射），直接“解方程”會得到“多值函數(shù)”，高中階段僅研究單值反函數(shù)，因此需先限定原函數(shù)的定義域使其單調(diào)（如\(y=x^2\)限定\(x\geq0\)）。反函數(shù)的定義域必須是原函數(shù)的值域，而非原函數(shù)的定義域（如\(y=2^x\)值域\((0,+\infty)\)，反函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域為\((0,+\infty)\)）。三、反函數(shù)的核心性質(zhì)反函數(shù)的性質(zhì)是理解其本質(zhì)的關(guān)鍵，結(jié)合圖像與實例記憶：1.圖像對稱性原函數(shù)\(y=f(x)\)與反函數(shù)\(y=f^{-1}(x)\)的圖像關(guān)于直線\(\boldsymbol{y=x}\)對稱。例：\(y=2^x\)與\(y=\log_2x\)的圖像關(guān)于\(y=x\)對稱，且分別過\((0,1)\)和\((1,0)\)（體現(xiàn)點的對稱）。2.點的對應(yīng)性若原函數(shù)\(y=f(x)\)過點\((a,b)\)，則反函數(shù)\(y=f^{-1}(x)\)必過點\((b,a)\)。例：\(y=x+1\)過\((2,3)\)，其反函數(shù)\(y=x-1\)過\((3,2)\)，驗證了\((a,b)\)與\((b,a)\)關(guān)于\(y=x\)對稱。3.單調(diào)性一致性原函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性完全相同（原函數(shù)遞增則反函數(shù)遞增，原函數(shù)遞減則反函數(shù)遞減）。例：\(y=-x+3\)（遞減）的反函數(shù)為自身，仍遞減；\(y=\lnx\)（遞增）的反函數(shù)\(y=e^x\)（遞增）。4.復(fù)合函數(shù)的“互逆性”\(f(f^{-1}(x))=x\)（\(x\)在反函數(shù)的定義域內(nèi)，即原函數(shù)的值域）；\(f^{-1}(f(x))=x\)（\(x\)在原函數(shù)的定義域內(nèi)）。例：\(f(x)=2x+1\)，\(f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}\)，則\(f(f^{-1}(x))=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x\)，\(f^{-1}(f(x))=\frac{(2x+1)-1}{2}=x\)。四、典型習(xí)題與深度解析（一）基礎(chǔ)鞏固題1.求反函數(shù)：已知\(f(x)=\frac{1-2x}{x+3}\)（\(x\neq-3\)），求其反函數(shù)。解析：①值域：\(f(x)=-2+\frac{7}{x+3}\)，故值域\(y\neq-2\)。②解方程：\(y(x+3)=1-2x\)，整理得\(x(y+2)=1-3y\)，即\(x=\frac{1-3y}{y+2}\)（\(y\neq-2\)）。③交換\(x,y\)：反函數(shù)\(f^{-1}(x)=\frac{1-3x}{x+2}\)（\(x\neq-2\)）。2.判斷反函數(shù)存在性：函數(shù)\(y=\sinx\)在定義域\(\mathbb{R}\)上是否有反函數(shù)？若限定定義域為\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)呢？解析：\(y=\sinx\)在\(\mathbb{R}\)上非一一映射（如\(\sin\frac{\pi}{6}=\sin\frac{5\pi}{6}\)），無反函數(shù)。限定\(x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)時，\(\sinx\)嚴格遞增，每個\(y\in[-1,1]\)對應(yīng)唯一\(x\)，故存在反函數(shù)\(y=\arcsinx\)（\(x\in[-1,1]\)）。（二）能力提升題3.利用圖像對稱求點坐標：已知\(y=f(x)\)過\((3,-2)\)，求\(y=f^{-1}(x)\)過的點。解析：原函數(shù)過\((a,b)\)，反函數(shù)過\((b,a)\)，故\(y=f^{-1}(x)\)過\((-2,3)\)。4.結(jié)合單調(diào)性求參數(shù)：已知\(f(x)=\frac{ax+1}{x+2}\)（\(x\neq-2\)）在\((-2,+\infty)\)上單調(diào)遞減且存在反函數(shù)，求\(a\)的范圍。解析：變形\(f(x)=a+\frac{1-2a}{x+2}\)，“反比例型函數(shù)”\(\frac{k}{x}\)（\(x>0\)）遞減需\(k>0\)，故\(1-2a>0\)，解得\(a<\frac{1}{2}\)（驗證：\(a=\frac{1}{2}\)時為常函數(shù)，無反函數(shù)）。（三）綜合拓展題5.反函數(shù)與方程結(jié)合：已知\(f(x)=2^x+1\)，若\(f(a)=3\)，求\(f^{-1}(3)\)和\(f^{-1}(f(2))\)。解析：由\(f(a)=3\)得\(2^a+1=3\)，\(a=1\)，故\(f^{-1}(3)=1\)（點對應(yīng)性）。由\(f^{-1}(f(x))=x\)，得\(f^{-1}(f(2))=2\)（互逆性）。6.反函數(shù)與不等式結(jié)合：已知\(f(x)\)是\(y=\frac{2x-1}{x+1}\)的反函數(shù)，解\(f(x)>1\)。解析：①求反函數(shù)：原函數(shù)值域\(y\neq2\)，解方程得\(f(x)=\frac{x+1}{2-x}\)（\(x\neq2\)）。②解不等式：\(\frac{x+1}{2-x}>1\)，移項通分得\(\frac{2x-1}{2-x}>0\)，等價于\((2x-1)(x-2)<0\)，解得\(\frac{1}{2}<x<2\)。五、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議反函數(shù)的核心是“一一映射”與“逆向?qū)?yīng)”，學(xué)習(xí)時需注意：1.概念理解：緊扣“定義域與值域互換”“圖像關(guān)于\(y