專題02幾何最值之費馬點模型費馬點模型：如圖，在△ABC內部找到一點P，使得PA＋PB＋PC的值最小.當點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120o，則PA＋PB＋PC的值最小，P點稱為三角形的費馬點.特別地，△ABC中，最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）費馬點的性質：1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。費馬點最小值解法：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值證明過程：將△APC邊以A為頂點逆時針旋轉60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE例1．（2022·四川·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=________．例2．（2021·四川·成都實外九年級階段練習）如圖，在中，，P是內一點，求的最小值為______．【變式訓練1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為______．【變式訓練2】（2019·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖，將繞點逆時針旋轉60°得到，與交于點，可推出結論：問題解決：如圖，在中，，，．點是內一點，則點到三個頂點的距離和的最小值是___________【變式訓練3】（2021·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．課后訓練1．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF，當AG+BG+CG取最小值時EF的長（）A． B． C． D．2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．3.（2021·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內一點，求最小值4．（2022·福建三明·八年級期中）【問題背景】17世紀有著“業(yè)余數(shù)學家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”．如圖，點是內的一點，將繞點逆時針旋轉60°到，則可以構造出等邊，得，，所以的值轉化為的值，當，，，四點共線時，線段的長為所求的最小值，即點為的“費馬點”．(1)【拓展應用】如圖1，點是等邊內的一點，連接，，，將繞點逆時針旋轉60°得到．①若，則點與點之間的距離是______；②當，，時，求的大??；(2)如圖2，點是內的一點，且，，，求的最小值．5．（2021·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當三個內角均小于120°時，費馬點P在內部，當時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段、、轉化到一個三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個內角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點．請同學們探索以下問題．(2)如圖3，三個內角均小于120°，在外側作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點E為內部任意一點，連接、、，且邊長；求的最小值．6．（2022·內蒙古·科爾沁左翼中旗教研室八年級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC內一點，求PA＋PB＋PC的最小值．7．（2022·全國·九年級專題練習）在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補充完整（無需寫畫法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．8.（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系xoy中，點B的坐標為(0，2)，點在軸的正半軸上，，OE