20222023學(xué)年小學(xué)六年級(jí)思維拓展舉一反三精編講義專題16規(guī)則立體圖形的體積知識(shí)精講知識(shí)精講解答立體圖形的體積問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積。把物體從水中取出，水面下降部分的體積等于物體的體積。這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么派開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。（2）把一種形狀的物體變?yōu)榱硪环N形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變。（3）求一些不規(guī)則形體體積時(shí)，可以通過變形的方法求體積。（4）求與體積相關(guān)的最大、最小值時(shí)，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定。典例分析典例分析【典例分析01】有大、中、小三個(gè)正方體水池，它們的內(nèi)邊長分別為6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉在中、小水池里，兩個(gè)水池水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一個(gè)長方體，它的體積就等同于碎石的體積。兩個(gè)水池水面分別升高了6厘米和4厘米，兩堆碎石的體積就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的體積也就是0.7立方米，再除以它的底面積就能求得升高了多少厘米。3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）答：大水池的水面升高了1又17/18厘米?！镜淅治?2】一個(gè)底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一塊鐵塊，把鐵塊豎放在水中，水面上升幾厘米？在瓶中放鐵塊要考慮鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中。如果鐵塊是全部沉入水中，排開水的體積是8×8×15=960（立方厘米）。而現(xiàn)在瓶中水深是8厘米，要淹沒15厘米高的鐵塊，水面就要上升15—8=7（厘米），需要排開水的體積是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知鐵塊是部分在水中。當(dāng)鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積就是3.14×10×10—8×8=250（平方厘米）。水的形狀變了，但體積還是3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。水的高度是2512÷250=10.048（厘米），上升10.048—8=2.048（厘米）3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8=2512÷250—8=10.048—8=2.048（厘米）答：水面上升了2.048厘米。【典例分析03】某面粉廠有一容積是24立方米的長方體儲(chǔ)糧池，它的長是寬或高的2倍。當(dāng)貼著它一最大的內(nèi)側(cè)面將面粉堆成一個(gè)最大的半圓錐體時(shí)，求這堆面粉的體積（如圖281所示）。設(shè)圓錐體的底面半徑是r，則長方體的高和寬也都是r，長是2r。長方體的容積是2r×r×r=24，即r的立方=12。這個(gè)半圓錐體的體積是1/3×∏r的平方×r÷2=1/6∏r的立方，將r的立方=12代入，就可以求得面粉的體積。設(shè)圓錐體的底面半徑是r，則長方體的容積是2r×r×r=24，r的立方=12。1/3×3.14×r的平方×r÷2=1/6×3.14×r的立方=1/6×3.14×12=6.28（立方米）答：這堆面粉的體積是6.28立方米。【典例分析04】如果把12件同樣的長方體物品打包，形成一件大的包裝物，有幾種包裝方法？怎樣打包物體的表面積最小呢？設(shè)長方體物品的長、寬、高分別是a、b、c，并且a＞b＞c（入土284）。比較“3×4”和“2×6”兩種包法。圖285中大長方體表面積為6ab+8ac+24bc①，圖286中大長方體的表面積為4ab+12ac+24bc②，兩個(gè)式子中都曲調(diào)相同的部分4ab+8ac+24bc后，①式與②式的大小要看2ab與4ac的大小。（1）當(dāng)b=2c時(shí)，2ab=￥ac，兩種包法相同。（2）當(dāng)b＜2c時(shí)，“3×4”的包法表面積最小。（3）當(dāng)b＞2c時(shí)，“2×6”的包法表面積最小。【典例分析05】一只集裝箱，它的內(nèi)尺寸是18×18×18。現(xiàn)在有批貨箱，它的外尺寸是1×4×9。問這只集裝箱能裝多少只貨箱？因?yàn)榧b箱內(nèi)尺寸18不是貨箱尺寸4的倍數(shù)，所以，只能先在18×16×18的空間放貨箱，可放18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。這時(shí)還有18×2×18的空間，但只能在18×2×16的空間放貨箱，可放18×2×16÷（1×4×9）=16（只）。最后剩下18×2×2的空間無法再放貨箱，所以最多能裝144+16=160（只）。18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9）=144+16=160（只）答：這只集裝箱能裝160只貨箱。真題演練真題演練一．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）1．（2分）如圖是用1立方厘米的正方體擺成的，它的體積是（）立方厘米．A．9 B．10 C．11 D．122．（2分）如圖是由1cm3的小正方體搭成的，它的體積是（）cm3．A．10 B．9 C．63．（2分）如圖，甲（底面直徑8厘米），乙（底面直徑10厘米），兩個(gè)圓柱形容量中的水深都是6厘米，分別往兩個(gè)容器中放入一個(gè)體積相同的鐵球（全部淹沒，水沒有溢出）后，甲乙兩個(gè)容器水面高度是（）A．甲高 B．乙高 C．一樣高 D．無法判斷4．（2分）一個(gè)長方體、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面積和體積分別相等，那么長方體和圓柱和圓錐的高之比是（）A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：1：3 D．1：2：35．（2分）下面的立體圖形體積最大的是（）A． B． C．6．（2分）如圖，桌面上的模型由20個(gè)棱長為a的小正方體組成，現(xiàn)將該模型露在外面的部分涂上涂料，則涂上涂料部分的總面積為（）A．20a2 B．30a2 C．40a2 D．50a2二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）7．（2分）一個(gè)長方體水箱，高15分米，里面水深6分米，把一個(gè)圓柱體鐵塊完全浸沒在水中后，這時(shí)水面高度是9.6分米，接著又把一個(gè)圓錐體鐵塊完全浸沒在水中．已知圓柱體鐵塊與圓錐體鐵塊底面半徑的比是3：2，高的比是2：3，現(xiàn)在水面的高度是分米．8．（2分）如圖是棱長為3cm的小正方體拼成的立體圖形，它的體積是立方厘米，它的面積是平方厘米。9．（2分）有一個(gè)密封的容器，它是由一個(gè)圓柱的一個(gè)圓錐組成的．圓柱和圓錐等底等高，高都是9厘米，圓柱在下，圓錐在上．容器內(nèi)有一部分水，水的高度是4厘米，把容器倒過來，圓錐在下，圓柱在上，現(xiàn)在水面的高度是厘米．10．（2分）如圖立體圖形的體積為．11．（2分）一個(gè)棱長為30cm的正方體鐵塊，在8個(gè)角上各切下一個(gè)棱長為10cm的小正方體，如圖所示，將其投入底面積為2500cm2，高為50cm的圓柱形容器內(nèi)，已知原來容器內(nèi)水面高度為20cm，那么，放入鐵塊后水面高度變?yōu)閏m．12．（2分）兩個(gè)大小相同的量杯中都盛有480mL水。將等底等高的圓柱和圓錐零件分別放入兩個(gè)量杯中，甲量杯中水面刻度如圖所示，則圓柱的體積是cm3，乙量杯中水面刻度應(yīng)是mL。13．（2分）用若干個(gè)體積相同的小正方體堆積成一個(gè)大正方體，要使大正方體的所有對(duì)角線（正方體八個(gè)頂點(diǎn)中距離最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)的聯(lián)機(jī)）穿過的小正方體都是黑色的，其余小正方體都是白色的，并且大正方體每條邊上有偶數(shù)個(gè)小正方體，當(dāng)堆積完成后，白色正方體的體積占總體積的93.75%，那么一共用了個(gè)黑色的小正方體．14．（2分）把一個(gè)長方體木塊，截成兩段完全一樣的正方體，這兩個(gè)正方體的棱長之和比原長方體增加40厘米，每個(gè)正方體的體積是立方厘米．三．計(jì)算題（共3小題，滿分15分，每小題5分）15．（5分）如圖是從一段鋼材上截下的一段（單位：厘米），如果每立方厘米的鋼材重7.8克，這段鋼材重多少克？16．（5分）如圖是用棱長1厘米的小正方體搭成的立體圖形，求立體圖形的體積．17．（5分）求下面圖形的體積。（π取3.14）四．應(yīng)用題（共11小題，滿分57分）18．（5分）古代的銅錢都是“外圓內(nèi)方”，銅錢內(nèi)正方形的邊長是0.5厘米。小明把20枚相同的古代鋼錢疊在起的形狀如圖，每枚銅錢的體積是多少立方厘米？（π取值3.14）19．（5分）有一個(gè)足夠深的水槽，底面是長為16厘米、寬為12厘米的長方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一個(gè)長、寬、高分別為8厘米、8厘米、12厘米的鐵塊，那么油層的層高是多少厘米？（5分）在一個(gè)正方體的前、后以及左、右兩側(cè)面的中心各打通一個(gè)長方體的洞，并在上、下面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞．已知正方體棱長為10厘米，前、后以及左、右兩側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上、下面的洞口是直徑為4厘米的圓，求這個(gè)立體圖形的體積．21．（5分）有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內(nèi)直徑依次是18厘米、12厘米，杯中盛有適量的水．甲杯中沉沒著一鐵塊，當(dāng)取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒于乙杯，且乙杯中的水未外溢．問：這時(shí)乙杯中的水位上升了多少厘米？22．（5分）生活情景應(yīng)用題：（解決問題時(shí)請(qǐng)仔細(xì)梳理題中的信息，正確找尋相關(guān)聯(lián)的信息）春節(jié)期間，珍珍一家三口去橫店影視城游玩，打算玩3天，買的是秦王宮、明清宮苑、清明上河園以及夢(mèng)幻谷的網(wǎng)上套票，比景點(diǎn)買散客票便宜20%；去時(shí)乘大巴車前往，平均時(shí)速為40千米，返回時(shí)乘動(dòng)車回家，平均時(shí)速提高了200%．問題一：若返回時(shí)乘動(dòng)車花了2小時(shí)，那么珍珍家去時(shí)乘大巴花了多少時(shí)間？（用比例解）問題二：珍珍家第一天用去了計(jì)劃總錢數(shù)的，第二天用去了計(jì)劃總錢數(shù)的，這時(shí)比計(jì)劃總錢數(shù)的一半多300元，珍珍家計(jì)劃一共用多少錢？問題三：在秦王宮中，珍珍發(fā)現(xiàn)了一個(gè)游戲道具，如圖，外形是棱長為12分米的正方體，在正方體每個(gè)面正中間由上到下、由左到右、由前到后打邊長為4分米的正方形對(duì)穿孔，求該游戲道具的體積．問題四：珍珍可以買半票，而網(wǎng)上套票沒有半票，所以珍珍是在景點(diǎn)購買的散客票（半票），于是一家三口購買門票的實(shí)際花費(fèi)比全部購買散客票便宜了200元，珍珍家購買門票一共花了多少元？23．（5分）在一個(gè)高為8cm，容積為50ml的圓柱體容器A，里面裝滿水，現(xiàn)在把長16cm的圓柱體B垂直放入，使B的底面與A的底面接觸，這時(shí)一部分水從容器中溢出，當(dāng)把B從A中拿起后，A中的水高度為6cm，求圓柱體B的體積．24．（5分）一個(gè)容器中已注滿水，有大、中、小三個(gè)球．第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中球沉入水中，第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，現(xiàn)知道每次從容器中溢出水量的情況是：第一次是第二次的，第三次是第二次的1.5倍．求三個(gè)球的體積之比．25．（5分）有甲、乙、丙三個(gè)圓柱形水杯，如圖，頂部用管道相連（甲杯與乙杯相連，乙杯與丙杯相連），排成一排，甲杯中有1厘米高的水，乙、丙杯空．已知甲、乙、丙三個(gè)水杯的底面半徑之比為1：2：1，高度均為5厘米．現(xiàn)在向丙杯中注水，注水速度恒定，1鐘能注厘米高的水．問：開始倒水后的多久，甲、乙兩杯中的水面高度相差0.5厘米？26．（5分）一個(gè)裝滿稻谷的糧囤，上面是圓錐，下面是圓柱．量得圓柱的底面周長是62.8m，高4m，圓錐的高是1.5m．這個(gè)糧圍能裝稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重750千克，這個(gè)糧囤能裝稻谷多少噸？（得數(shù)保留