§2.12函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解課標(biāo)要求1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有?函數(shù)y=f(x)的圖象與有公共點(diǎn).

(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.

2.二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).()(2)連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)<0.()(3)連續(xù)函數(shù)y=f(x)滿足f(a)f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a，b)上沒有零點(diǎn).()(4)求函數(shù)零點(diǎn)的近似值都可以用二分法.()2.下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，則不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是()3.函數(shù)f(x)=lnx-1x的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(A.1e，1 B.C.(2，e) D.(2，3)4.設(shè)f(x)=|x2-2x|，則函數(shù)y=f(x)-2024的所有零點(diǎn)之和為.

1.謹(jǐn)記三個(gè)相關(guān)性質(zhì)(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解.(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).2.謹(jǐn)防兩個(gè)易錯(cuò)易混(1)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上，若滿足f(a)f(b)<0，則在區(qū)間[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，反之不一定.(2)已知二次函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)時(shí)，不要忽略對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論.題型一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定例1(1)已知函數(shù)f(x)=(m-2)xm為冪函數(shù)，若函數(shù)g(x)=lgx+x-m，則g(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)(2)在用二分法求方程x2=3的正實(shí)數(shù)根的近似值(精確度為0.001)時(shí)，若我們選取的初始區(qū)間是[1.7，1.8]，為達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是.

思維升華確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)=x12-2-x-1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)(2)用二分法求函數(shù)f(x)=ex-x-2的一個(gè)正零點(diǎn)的近似值(精確度為0.1)時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：f(1)≈-0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈-0.04，關(guān)于下一步的說法正確的是()A.已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B.已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C.沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算f(1.1875)D.沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算f(1.0625)題型二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定例2(1)函數(shù)f(x)=x2-1，xA.5 B.4 C.3 D.2(2)函數(shù)f(x)=sinπx2-|log3x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A.1 B.2 C.3 D.4思維升華求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)=0，方程有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則f(x)有多少個(gè)零點(diǎn).(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).跟蹤訓(xùn)練2(1)(2025·渭南模擬)函數(shù)f(x)=3x|log2x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3(2)函數(shù)f(x)=36-x2·cosx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為題型三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)例3已知函數(shù)f(x)=2-x+1，x≤0，ln1x，x>0，g(x)=f(x)-xA.[-1，0) B.[1，+∞)C.(-∞，1] D.[2，+∞)命題點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)例4已知函數(shù)f(x)=3x-1+axx.若存在x0∈(-∞，-1)，使得f(x0)=0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.-∞，43C.(-∞，0) D.4思維升華根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式確定參數(shù)(范圍).(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·鎮(zhèn)江模擬)已知a∈R，函數(shù)f(x)=ex-a，x≤0，A.(0，+∞) B.(1，+∞)C.[1，+∞)∪{0} D.(1，+∞)∪{0}(2)(多選)(2024·柳州模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2x-3，x≤0，-2+lnx，x>0A.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)B.當(dāng)h(x)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，k∈(-4，-3]C.當(dāng)k=-2時(shí)，h(x)的所有零點(diǎn)之和為-1D.當(dāng)k∈(-∞，-4)時(shí)，h(x)有1個(gè)零點(diǎn)答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.(1)f(x)=0(2)零點(diǎn)x軸(3)f(a)f(b)<0(a，b)f(c)=02.f(a)f(b)<0一分為二零點(diǎn)自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C3.B4.2探究核心題型例1(1)C[由f(x)=(m-2)xm為冪函數(shù)，所以m-2=1，得m=3，所以g(x)=lgx+x-3，易知g(x)是增函數(shù)，則g(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)間(2)=lg2-1<0，g(3)=lg3>0，所以g(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2，3).](2)7解析設(shè)至少需要計(jì)算n次，則n滿足1.8-1.72n<0.001，即2n>100，由于26=64，27=128，故要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算7跟蹤訓(xùn)練1(1)B[函數(shù)f(x)=x12-2-x-1的定義域?yàn)閇0，+∞函數(shù)y=x12在[0，+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=2-x在[0，+∞所以f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增.由f(1)=1-12-1=-12<0，f(2)=2-14-1=2-1所以函數(shù)f(x)=x12-2-x-1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1，2)(2)C[由二分法的定義，可得正零點(diǎn)所在區(qū)間不斷縮小，(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，因?yàn)閨1.125-1.25|=0.125>0.1，故沒有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算f1.125+1.252=f(1.1875)的值.例2(1)D[當(dāng)x≤0時(shí)，x2-1=0，解得x=-1；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x-2+lnx在(0，+∞)上單調(diào)遞增，并且f(1)=1-2+ln1=-1<0，f(2)=2-2+ln2=ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.](2)B[函數(shù)f(x)=sinπx2-|log3x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)g(x)=sinπx2，x>0與h(x)=|log在同一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，則兩個(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，即f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.]跟蹤訓(xùn)練2(1)C[函數(shù)f(x)=3x|log2x|-1的零點(diǎn)，即3x|log2x|-1=0的解，即|log2x|=13即y=|log2x|與y=13從函數(shù)圖象可知，y=|log2x|與y=13x有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2(2)6解析令36-x2≥0，解得-6≤x≤6，所以f(x)的定義域?yàn)閇-6，6].令f(x)=0得36-x2=0或cosx=0，由36-x2=0得x=±6，由cosx=0得x=π2+kπ，k∈Z又x∈[-6，6]，所以x的取值為-3π2，-π故f(x)共有6個(gè)零點(diǎn).例3D[由函數(shù)f(x)=2因?yàn)間(x)=f(x)-x-a，令g(x)=0，即f(x)=x+a，由函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，即y=f(x)和y=x+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，則a≥2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞).]例4B[由f(x)=3x-1+axx=0，可得a=3x-令g(x)=3x-1x，其中x∈(-∞，-1)由于存在x0∈(-∞，-1)，使得f(x0)=0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(-∞，-1)上的值域.由于函數(shù)y=3x，y=-1x在區(qū)間(-∞，-1)所以函數(shù)g(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞增.當(dāng)x∈(-∞，-1)時(shí)，g(x)=3x-1x<g(-1)=3-1+1=4又當(dāng)x∈(-∞，-1)時(shí)，g(x)=3x-1x>0所以函數(shù)g(x)在(-∞，-1)上的值域?yàn)?，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，4跟蹤訓(xùn)練3(1)D[當(dāng)x≤0時(shí)，0<ex≤1，若關(guān)于x的方程ex=a無解，則a≤0或a>1；當(dāng)x>0時(shí)，ln(x+1)>0，若關(guān)于x的方程ln(x+1)=-a無解，則a≥0.綜上，a的取值范圍為(1，+∞)∪{0}.](2)BD[函數(shù)f(x)=x結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，