《電子測量原理》

簡明教程第二章1第2章測量誤差、測量數(shù)據(jù)處理2.1測量誤差概述 2.2系統(tǒng)誤差的分析和處理 2.3隨機誤差的分析與處理 2.4粗大誤差的判斷與處理 2.5測量數(shù)據(jù)處理22.1測量誤差概述31.測量誤差的定義在測量時，借助儀器設備、按一定的方法、在一定的環(huán)境條件下，通過測量人員的操作，得出被測量的量值。在測量過程中存在各種因素的影響，如測量器具的不準確、測量對象的不穩(wěn)定、測量方法的不完善、測量環(huán)境的不理想、測量人員素質(zhì)和經(jīng)驗的局限等。測量結果與被測對象的真實量值(真值)不一致，存在一定的差值，這個差值就是測量誤差。2.測量誤差的來源（1）儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設計、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測量人員感官的分辨能力、反應速度、視覺疲勞、固有習慣、缺乏責任心等原因，而在測量中使用操作不當、現(xiàn)象判斷出錯或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。（5）測量對象變化誤差：測量過程中由于測量對象變化而使得測量值不準確，如引起動態(tài)誤差等。2.1.2測量誤差的表示方法測量誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。1.絕對誤差（1）定義：由測量所得到的被測量值與其真值之差，稱為絕對誤差有大小，有符號和量綱實際應用中常用實際值A（高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值）來代替真值。絕對誤差：真值——是與給定的特定量定義一致的值。

對于測量而言，把一個量本身所具有的真實大小認為是被測量的真值。完善的測量是不可能的，一般說來，真值不可能確切獲知，它是一個理想的概念。3）約定真值A

理論真值：理論真值往往在定義和公式表達中給出。

約定真值A：在實際測量中，通常用下列量值作為約定真值：

①被測量的實際值

②已修正過的多次測量的算術平均值67絕對誤差的特點

①絕對誤差有單位，其單位與測得結果相同；

②絕對誤差有大?。ㄖ担┖头枺ā溃?，表示測量結果偏離真值的程度和方向；

③絕對誤差不是對某一被測量而言，而是對該量的某一給出值來講。8修正值：與絕對誤差的絕對值大小相等，但符號相反的量值，稱為修正值測量儀器的修正值可以通過上一級標準的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達式等形式。被測量的實際值2.1.2測量誤差的表示方法（續(xù)）2.相對誤差一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且與這個量本身的大小有關。例：測量足球場的長度和成都市到綿陽市的距離，若絕對誤差都為1米，測量的準確程度是否相同？（1）相對真誤差、實際相對誤差、示值相對誤差相對誤差：絕對誤差與被測量的真值之比相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位。對誤差一般用百分數(shù)（%）表示，也可表示為數(shù)量級a10－ｎ的形式實際相對誤差：用實際值A代替真值A0

示值相對誤差：用測量值X代替實際值A11【例2-3】有一測量范圍為0～20V的電壓表，在示值為10V處，其實際值為10.20V，則該電壓表示值10V處的相對誤差為解：133.引用誤差1）引用誤差的定義

引用誤差（

）是計量儀器的絕對誤差與其特定值（

）之比，即14特定值

，也稱為引用值，它可以是測量儀器的量程（量程為測量范圍的上限值與下限值之差）或標稱范圍的最高值（或上限值）。通常引用值取為滿量程，即

，這樣，引用誤差又叫滿度相對誤差，即取絕對誤差的絕對值最大者，則得最大引用滿度相對誤差，簡稱引用誤差15xN=xm=xmax－xmin2）引用誤差的應用

引用相對誤差在實際測量中具有重要意義，其主要用途有：

①標定儀表的準確度等級

②檢定儀表是否合格

③合理地選擇多量程儀表的量程

④合理選擇儀表的準確等級16儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值

引用誤差電工儀表就是按引用誤差之值進行分級的。是儀表在工作條件下不應超過的最大引用相對誤差我國電工儀表共分七級：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級，則說明該儀表的最大引用誤差不超過S%測量點的最大相對誤差在使用這類儀表測量時，應選擇適當?shù)牧砍?，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。

例1.1一個壓力傳感器的測量范圍為0~10MPa,其滿量程相對誤差為±1%，問(1)傳感器的最大測量誤差是多少？（2）如果該壓力傳感器測量1MPa的壓力，那么可能的測量誤差表示為輸出讀數(shù)的百分比為多少？答：（1）0.1MPa,(2)10%[例]某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級量程為0～400mA和1.5級量程為0～100mA的兩個電流表，問用哪一個電流表測量較好？用1.5級量程為0～100mA電流表測量100mA時的最大相對誤差為解：用0.5級量程為0～400mA電流表測100mA時，最大相對誤差為根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差三類。1.系統(tǒng)誤差

在同一測量條件（指同樣測量環(huán)境、人員、技術和儀器）下，多次重復測量同一量時（等精度測量），測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。前者為恒值系差，后者為變值系差。202.1.3測量誤差的分類2.隨機誤差

在同一測量條件下，多次重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。

隨機誤差（

）是測量結果

與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值

（數(shù)學期望）之差。即213.粗大誤差

在一定的測量條件下，測量值明顯偏離實際值所形成的誤差，稱為粗大誤差，簡稱粗差，又稱疏失誤差。

產(chǎn)生粗差的原因有：

①測量操作疏忽和失誤

②測量方法不當或錯誤

③測量環(huán)境條件的突然變化221.正確度、精確度和準確度

在誤差理論中，一般用正確度來表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則正確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。

用精密度來表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤差越小。

準確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。準確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。232.1.4測量誤差對測量結果的影響正確度、精密度與準確度的概念也可用下圖所示的射擊打靶的實例來說明。子彈著靶點有三種情況：24（a）（b）（c）2.各類誤差對測量結果的綜合影響

系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三者同時存在的情況下，其分布情況可用下圖所示的數(shù)軸圖來表示。25（2）測量誤差對測量結果的影響2）各類誤差對測量結果的綜合影響

在處理測量數(shù)據(jù)時，首先必須剔除壞值，因為壞值將嚴重影響平均值（測量結果）。這樣要考慮的誤差就只有系統(tǒng)誤差和隨機誤差。

各次測量值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。262.2系統(tǒng)誤差的分析和處理2.2.1系統(tǒng)誤差的特征

從系統(tǒng)誤差的起因和來源可知，系統(tǒng)誤差具有如下特征：（1）確定性（2）重現(xiàn)性（3）不具抵償性（4）可修正性

當ε和δi同時存在，并在重復測量次數(shù)n足夠大時，各次測量絕對誤差算術平均值就等于系統(tǒng)誤差ε：272.2.2系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法1.不變的系統(tǒng)誤差

常用校準的方法來檢查恒定系統(tǒng)誤差是否存在，通常用標準儀器或標準裝置來發(fā)現(xiàn)并確定恒定系統(tǒng)誤差的數(shù)值。

還可用實驗比對法來判斷是否存在不變的系統(tǒng)誤差。282.變化的系統(tǒng)誤差1）殘差觀察法

殘差定義為測量值與n次測量值的算術平均值之差，

292）殘差核算法

①馬利科夫判據(jù)

馬利科夫判據(jù)是判別有無累進性系統(tǒng)誤差的常用方法。把n個等精度測量值所對應的殘差按測量先后順序排列，把殘差分成兩部分求和，再求其差值D。測量次數(shù)n有可能是偶數(shù)，也有可能是奇數(shù)。

當n為偶數(shù)時：

當n為奇數(shù)時：302）殘差核算法②阿貝－赫梅特判據(jù)

通常用阿貝赫梅特判據(jù)來檢驗周期性系差的存在。其方法是首先把測量數(shù)據(jù)按測量順序排列好，求出對應的殘差，依次兩兩相乘，然后求其和的絕對值，再與此列數(shù)據(jù)求出的標準方差相比較，如式子成立，則可認為測量中存在周期性系統(tǒng)誤差。311.從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施1）在測量中，測量原理和測量方法應當正確。2）所選用儀器儀表的準確度、應用范圍等必須滿足使用要求，必須對測量儀器定期檢定和校準，注意儀器的正確使用條件和方法。3）注意周圍環(huán)境對測量的影響4）盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。322.2.3系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法2.用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正方法是預先通過檢定、校準，得出測量器具的系統(tǒng)誤差的估計值，作出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同方向相反的值作為修正值，將實際測量結果加上相應的修正值，即可得到已修正的測量結果。333.采用一些專門的測量方法1）替代法

替代法又稱置換法，它在測量條件不變的情況下，用一已知的標準量去替代未知的被測量，通過調(diào)整標準量而保持替代前后儀器的示值不變，于是標準量的值等于被測量。34如果用一個可變標準量s替代被測量x后，使儀器指針的偏轉與

的偏轉相同，則x=s。由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器的示值均未改變，因此測量中儀器的系統(tǒng)誤差對測量結果不產(chǎn)生影響，測量準確度主要取決于標準已知量的準確度及儀器指示的靈敏度。2）交換法

35測量步驟如下：當開關置于“1”位置時，調(diào)節(jié)標準量s為s1，使指示為零，則有

；當開關置于“2”位置時，調(diào)節(jié)標準量s為s2，使指示為零，則有

；上面兩式相乘、開方有3）零示法

將被測量與已知標準量相比較，當二者的效應互相抵消時，指零儀器示值為0，達到平衡，這時已知量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。電位差計是采用零示法的典型例子，下圖為原理圖。36A1RBRBExUBUEx2RIAEB是穩(wěn)定的標準電源，Ex是被測電源，RB是標準電阻，A是平衡指示器（常用檢流計）。調(diào)節(jié)R１和R２的電阻分壓值，使IA=0,則被測量4）微差法

將被測量x與標準量B比較時，只要求二者接近，而不必完全抵消，其差值δ可由小量程電壓表測出，如下所示。

設

，其微差量

，或被測量

。37絕對誤差

相對誤差

因為,并令

，得

5）對稱測量法

對稱測量法是減小線性系統(tǒng)誤差的有效方法。被測量隨時間的變化線性增加時，若選定整個測量時間范圍內(nèi)的某時刻為中點，則對稱于此點的各對系統(tǒng)誤差的算術平均值作為測量值，即可減小線性系統(tǒng)誤差。6）半周期法

對周期性誤差，可以相隔半個周期進行一次測量，取二次讀數(shù)的平均值，即可有效地減小周期性系統(tǒng)誤差。因為相差半周期的誤差，理論上大小相等，符號相反，所以這種方法在理論上能消除周期性誤差。382.3隨機誤差的分析和處理2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性（1）隨機誤差的性質(zhì)和特點

大量實驗證明，隨機誤差服從以下統(tǒng)計特性：1）對稱性：絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的概率相同；2）單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大；3）有界性：絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零，即誤差的絕對值不會超過一定界限；4）抵償性：當測量次數(shù)n趨于無窮時，全部誤差的代數(shù)和趨向于零。392.隨機誤差的分布形式1）測量誤差的正態(tài)分布隨機誤差（變量

）的正態(tài)分布函數(shù)式為隨機變量x的概率分布函數(shù)式：隨機誤差概率密度曲線：402.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性2）測量誤差的非正態(tài)分布

①均勻分布412.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性②三角分布422.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性③反正弦分布432.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性3.隨機誤差的數(shù)字特征1）數(shù)學期望

①離散變量的數(shù)學期望

②連續(xù)變量的數(shù)學期望

442.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性（3）隨機誤差的數(shù)字特征2）方差和標準差

①離散變量的方差

②連續(xù)變量的方差

452.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性（3）隨機誤差的數(shù)字特征2）方差和標準差

③標準偏差

462.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性（1）算術平均值

實際進行等精度測量時，測量次數(shù)n為有限次，各次測量值為

，規(guī)定使用算術平均值

為數(shù)學期望的估計值，并作為最后的測量結果。即：472.3.2有限次測量的數(shù)學期望和標準偏差的估計值（2）算術平均值

的分布及標準偏差482.3.2有限次測量的數(shù)學期望和標準偏差的估計值（3）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值——貝賽爾公式根據(jù)殘差的定義和方差的性質(zhì)有最后推導出：上式便是貝塞爾公式492.3.2有限次測量的數(shù)學期望和標準偏差的估計值（1）置信度的概念

置信度是用置信區(qū)間和置信概率來定義的一個參數(shù)。按置信區(qū)間的中心點的區(qū)別，置信度定義的表達方式有兩種，其意義是：1）測量數(shù)據(jù)（結果）

處在數(shù)學期望

（真值）為中心的一個置信區(qū)間內(nèi)的置信概率有多大。2）以測量數(shù)據(jù)（結果）為中心點的一個置信區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)數(shù)學期望

的置信概率有多大。502.3.3測量結果的置信度（2）置信度的確定置信度的確定分兩類:一類是根據(jù)給定或設定置信概率計算出置信區(qū)間;一類是根據(jù)給定的置信區(qū)間求出相應的置信概率。以測量數(shù)據(jù)(或隨機誤差)的概率分布已知為前提。1）正態(tài)分布置信度當分布和k值確定之后，則置信概率可定當k=3時

51

2.3.3測量結果的置信度

2）有限次測量的置信度和t分布以

作為置信區(qū)間，相應的置信概率為：

t分布與測量次數(shù)有關。當n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-1

52【例】當測量次數(shù)n=10，求置信區(qū)間在+3s()時的置信概率。

解：n=10即=9，又=3

，則查表得：53

【例2-12】對某電感L進行了12次等精度測量，測得的數(shù)值（單位：mH）為20.46，20.52，20.50，20.52，20.48，20.47，20.50，20.49，20.47，20.49，20.51，20.51，若要求置信概率P=95%，問該電感真值應該在什么區(qū)間內(nèi)？解：①：求出

②用貝塞爾公式計算出S(L)=0.020mH③：查t分布表，由=11及P=0.95，查得kt=2.20。④：估計電感L的置信區(qū)間。置信區(qū)間：

，而

所以電感的置信區(qū)間為[20.48，20.51]mH，對應的置信概率為Pc=0.95。

54

3）非正態(tài)分布的置信因子

按照標準偏差的基本定義可以求得各種分布的標準偏差σ，再求得置信因子（又稱包含因子）k：幾種非正態(tài)分布的置信因子k（P=1）

55分布類型反正弦均勻三角兩點梯形（

=0.7）正態(tài)包含因子（

）

123

2．4粗大誤差的判斷與處理2.4.1粗大誤差的特性粗大誤差是指偶爾出現(xiàn)的與預期值偏離很大的誤差。1)偶然性和不可預見性，這一點與隨機誤差相同。2)小概率事件，無抵償性。粗大誤差出現(xiàn)的概率非常小，在有限次測量的條件下無法實現(xiàn)正負抵償。3)奇異性，與預期的偏差很大，不像隨機誤差那樣具有有界性。562．4粗大誤差的判斷與處理2.4.2粗大誤差的判斷1.定性判斷定性判斷就是對測量條件、測量設備、測量步驟進行分析，看是否有差錯或有引起粗大誤差的因素，也可將測量數(shù)據(jù)同其他人員或別的方法或由不同儀器所得結果進行核對，以發(fā)現(xiàn)粗大誤差，并分析產(chǎn)生的原因。這種判斷屬于定性判斷，無嚴格的原則，應慎重從事。57582.定量判斷對測量過程和可疑數(shù)據(jù)進行分析，在定性判斷不能確定產(chǎn)生原因的情況下，就應該以統(tǒng)計學原理建立起來的粗差判斷準則為依據(jù)，來判別可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。2.4.2粗大誤差的判斷2）格拉布斯檢驗法

假設在一列等精度測量結果

中，

分別為最小測量值和最大測量值，s為標準偏差的估計值，最大殘差

，若

，則判斷對應測量值為粗大誤差，應予剔除。59（1）防止粗大誤差的方法

加強測量者的工作責任心，要以嚴格的科學態(tài)度對待測量工作。

保證測量條件的穩(wěn)定，避免在外界條件激烈變化時進行測量。

在等精度條件下增加測量次數(shù)，或采用不等精度測量和互相之間進行校核的方法。604.2粗大誤差的防止和剔除（2）剔除粗大誤差的方法

對一組等精度的測量結果，計算出平均值和標準差，給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。614.2粗大誤差的防止和剔除624.2粗大誤差的防止和剔除【例】對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得結果列于下表，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差（異常數(shù)據(jù)）。63解：

①計算得

s=0.033各測量值的殘差,填入表2—11，從表中看出

最大，則

是一個可疑數(shù)據(jù)。②用萊特檢驗法判斷，3·s=3×0.033=0.099。由于

故可判斷

是粗大誤差，應予剔除。再對剔除后的數(shù)據(jù)計算得：s′=0.0163·s′=0.048重新計算各測量值的殘差

填入表2－11，14個數(shù)據(jù)的

均小于3s′，故14個數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。③用格拉布斯檢驗法取置信概率

＝0.99，以n＝15查2-10表得G=2.70，

，故同樣可判斷

是粗大誤差，應予剔除。剔除后計算同上，再取置信概率

＝0.99，以n＝14查2－4表，得G=2.66Gs′=2.66×0.016=0.04，可見除

外都為正常數(shù)據(jù)。64

2.5.1等精度測量的數(shù)據(jù)處理等精度測量指在保持測量條件不變的情況下進行的多次測量（1）等精度直接測量列測量結果的數(shù)據(jù)處理步驟1）利用修正值等方法，對測量值中的系統(tǒng)誤差進行修正，將已經(jīng)減弱了不變系統(tǒng)誤差影響的各數(shù)據(jù)

，依次列成表格；2）求出算術平均值

；3）計算出殘差

，并驗證

；4）按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值

；655測量數(shù)據(jù)處理等精度直接測量（1）等精度直接測量列測量結果的數(shù)據(jù)處理步驟5）按萊特準則

，或格拉布斯準則

，檢查和剔除粗大誤差；若有粗大誤差，應逐一剔除后，重新計算

和s，再判別直到無粗大誤差；6）再根據(jù)計算數(shù)據(jù)判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應查明原因，再修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；7）計算算術平均值的標準偏差

；8）寫出最后結果的表達式，即A=（單位），一般k?。病?。66（2）等精度直接測量列測量結果的數(shù)據(jù)處理實例【例2-13】對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)

中已記入修正值，列于表下中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結果表達式。

67解：1）求出算術平均值。2）計算

列于表中，并驗證

。3）計算標準偏差：

4）按萊特準則判斷有無

，檢查表中第5個數(shù)據(jù)

，應將對應

視為粗大誤差，加以剔除?，F(xiàn)剩下15個數(shù)據(jù)。

5）重新計算剩余15個數(shù)據(jù)的平均值：205.21及重新計算

，列于表中，并驗證

。6）重新計算標準偏差687）按萊特準則再判斷有無

，現(xiàn)各

均小于3s，則認為剩余15個數(shù)據(jù)中不再含有粗大誤差。8）對

作圖，判斷有無變值系統(tǒng)誤差，見下圖。從圖中可見無明顯累進性或周期性系統(tǒng)誤差。9）計算算術平均值的標準偏差：

10）寫出測量結果表達式：

（V）（取置信系數(shù)

）692.5.2測量誤差的合成測量誤