高等機(jī)構(gòu)學(xué)第七章平面連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析是在已知機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和幾何尺寸的條件下,在原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律給定時(shí),確定從動(dòng)部分任一運(yùn)動(dòng)變量的變化規(guī)律。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析包括位置、速度和加速度分析。其中位置分析方程通常是非線性的，只有簡(jiǎn)單的二級(jí)機(jī)構(gòu)才能列出輸出變量和輸入變量之間的顯函數(shù)表達(dá)式。而在其它情況下，方程的求解就需要利用各種數(shù)值解法。因此連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析重點(diǎn)在位置求解。至于速度、加速度方程式則全為線性方程，因而求解較為簡(jiǎn)單。

第七章平面連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析 7.1、二級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析 7.2、復(fù)雜平面兩桿機(jī)構(gòu)的位置分析

第七章平面兩桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組 7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副的（RPR）二級(jí)組 7.1.3、外副之一為移動(dòng)副的（RRP）二級(jí)組

7.1、二級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析7.1、二級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組1.位置分析

如圖7-1所示的桿組中，P1、P2為運(yùn)動(dòng)已知點(diǎn)，其坐標(biāo)為P1(p1x,p1y),P2(p2x,p2y)。對(duì)于鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)，若P1為輸入構(gòu)件的端點(diǎn)，則P2為固定點(diǎn)。位置分析可以有幾種方法可供選擇，下面介紹常用的兩種。(1)直接根據(jù)幾何關(guān)系寫出各角度的表達(dá)式。角，和為相對(duì)x軸正向的夾角，逆時(shí)針為正。（7-1）其中圖7-1RRR二級(jí)組故可確定P3點(diǎn)的位置為（7-2）繼而確定出構(gòu)件2的角位置為（7-3）

7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組當(dāng)給定一個(gè)帶有正負(fù)號(hào)的自變量值（它表示那個(gè)角度的正切值）該函數(shù)返回一個(gè)在之間的弧度值，即主值。在大多數(shù)計(jì)算器和計(jì)算機(jī)程序語(yǔ)言中可見到的單自變量反正切函數(shù)反回的角度值僅是這個(gè)第I和第IV象限的值。若想得到以上式(7-3)中反正切的真實(shí)值，必須用兩個(gè)自變量的反正切函數(shù)進(jìn)行判斷和計(jì)算才能獲得四個(gè)象限中任一象限的角度?？梢苑浅Ｈ菀椎赜?jì)算兩個(gè)自變量的反正切函數(shù)，方法是，檢驗(yàn)自變量x中分量的正負(fù)號(hào)，如果x的值是負(fù)的就在從單變量反正切函數(shù)中獲得的結(jié)果上加弧度或180。以下所有反正切函數(shù)的計(jì)算都按此進(jìn)行，不再說明。7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組（2）矢量環(huán)方程解法。該方法可以不直接找?guī)缀侮P(guān)系，寫出矢量環(huán)方程后直接求解該方程，這是最一般的解法適用于任何情況。

如圖，可寫出三矢量

，和d

的封閉環(huán)方程為：（7-4）把矢量方程向兩坐標(biāo)軸投影得到兩個(gè)標(biāo)量方程（7-5）（7-6）圖7-1RRR二級(jí)組7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組式(7-5)和（7-6）兩邊平方相加，則有（7-7）其中7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組用正切半角公式代替正弦和余弦，最后得（7-8）當(dāng)時(shí)，兩倍角的反正切函數(shù)值可以得到四個(gè)象限的任意值。但當(dāng)時(shí)，有兩種情況需要特別計(jì)算：若，則；若則,.當(dāng)?shù)闹涤?jì)算出后，值的計(jì)算有幾種方法可供選擇：7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組把式（7-5）及（7-6）整理后再兩邊平方消掉，導(dǎo)出形如式(7-7)的直接計(jì)算的表達(dá)式。b)根據(jù)已計(jì)算出的值，由式（7-5）及式（7-6）計(jì)算出和，進(jìn)而得到了的值，然后用兩個(gè)自變量的反正切函數(shù)進(jìn)行判斷，求出的真實(shí)值。c)也可以先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出（7-9）仍需判斷所在象限。7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組2.速度分析

速度分析可以直接把位置方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，也可以通過相對(duì)速度關(guān)系寫出速度矢量方程直接求得。求導(dǎo)計(jì)算方法相對(duì)簡(jiǎn)單、規(guī)范，可參考有關(guān)機(jī)械原理書。這里介紹第二種方法。圖7-1RRR二級(jí)組首先寫出P3點(diǎn)的速度矢量方程，為：（7-10）將以上兩方程分別寫為向x、y軸的投影形式，可解得7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組（7-11）其中之一帶回（7-10）即可確定。7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組3．加速度分析

P3點(diǎn)的加速度矢量方程為（7-12）展開后解得（7-13）式中式(7-13)中之一代回（7-12）即可確定。7.1.1、三轉(zhuǎn)動(dòng)副（RRR）二級(jí)組7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副（RPR）二級(jí)組圖7-2RPR二級(jí)組1.位置求解如圖7-2所示的桿組中，P1、P2為運(yùn)動(dòng)已知點(diǎn)，其坐標(biāo)為P1(p1x,p1y)、P2(p2x,p2y)。（1）直接根據(jù)幾何關(guān)系寫出個(gè)角度的表達(dá)式根據(jù)幾何關(guān)系可寫出以下個(gè)位置計(jì)算式

（7-14）式中故有（7-15）7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副（RPR）二級(jí)組7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副（RPR）二級(jí)組圖7-2RPR二級(jí)組7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副（RPR）二級(jí)組（2）矢量環(huán)方程

（7-16）像兩坐標(biāo)軸投影（7-17）式中或。式(7-17)整理使含有項(xiàng)在方程的一側(cè)，然后平方相加得（7-18）式中方程解法同前。7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副（RPR）二級(jí)組7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副（RPR）二級(jí)組2.速度分析P2點(diǎn)的速度矢量方程為

（7-19）式中代表的單位矢量,由上式可解得

（7-20）

（7-21）圖7-2RPR二級(jí)組7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副（RPR）二級(jí)組由式求導(dǎo)得出（7-22）3.加速度分析

P2

點(diǎn)的加速度矢量方程為（7-23）由上式可導(dǎo)出（7-24）7.1.2、內(nèi)副為移動(dòng)副（RPR）二級(jí)組可解得（7-25）（7-26）及（7-27）7.1.3、外副之一為移動(dòng)副（RRP）二級(jí)組圖7-3RRP二級(jí)組

如圖7-3所示的桿組中，P4為運(yùn)動(dòng)已知點(diǎn),待求運(yùn)動(dòng)點(diǎn)為P2。但滑塊在其上滑動(dòng)的構(gòu)件上的兩點(diǎn)P1、P3的運(yùn)動(dòng)為已知。1.位置分析根據(jù)幾何關(guān)系寫出一下位置計(jì)算式（7-28）將以上方程分別寫為向x、y軸的投影形式（7-29）式中解出式中及代回式（7-28）即可確定7.1.3、外副之一為移動(dòng)副（RRP）二級(jí)組圖7-3RRP二級(jí)組2.速度分析

P2點(diǎn)的速度矢量方程為（7-30）式中的意義同前。上式中兩式聯(lián)立即可求得及，最終可求得。3.加速度分析

P2點(diǎn)的加速度矢量方程為（7-31）兩式展開后可解得

和

，再代回式(7-31)之一即可確定

。7.1.3、外副之一為移動(dòng)副（RRP）二級(jí)組圖7-4飛剪機(jī)構(gòu)

下面以圖7-4所示飛剪機(jī)構(gòu)為例,簡(jiǎn)要說明運(yùn)動(dòng)分析過程。機(jī)構(gòu)中構(gòu)件1、6為原動(dòng)件，當(dāng)原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)給定后，構(gòu)件3、5組成的是三轉(zhuǎn)動(dòng)副二級(jí)組，故可調(diào)用第一套公式求解。構(gòu)件2、4組成的是一外副為移動(dòng)副的二級(jí)組，故可調(diào)用第三套公式求解。

7.2.1、位置方程的建立與求解 7.2.2、用型轉(zhuǎn)化法數(shù)值迭代求解

7.2、復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的位置分析7.2、復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的位置分析7.2.1、位置方程的建立與求解圖7-5幾種桿組

由第一章已知低副機(jī)構(gòu)的從動(dòng)部分是由一個(gè)或幾個(gè)基本桿組所組成。對(duì)于平面機(jī)構(gòu)中的基本桿組，桿數(shù)應(yīng)為2、4、6、8、…等偶數(shù)。桿組的外副總是與運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知的構(gòu)件相連。n桿的桿組，在機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程式中引入n個(gè)運(yùn)動(dòng)變量(轉(zhuǎn)動(dòng)副中的相對(duì)轉(zhuǎn)角和移動(dòng)副中的相對(duì)位移)。運(yùn)動(dòng)分析就是找出這些運(yùn)動(dòng)變量中的任一個(gè)和輸入變量之間的關(guān)系。

由圖7-5可以看出，n桿的基本組可以與相關(guān)構(gòu)件(即圖中虛線，一般由機(jī)架和原動(dòng)件確定)組成n/2個(gè)獨(dú)立封閉形(圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示封閉形的序號(hào))。每個(gè)封閉形可建立一個(gè)矢量環(huán)方程或兩個(gè)標(biāo)量方程。因而，n桿的基本組在運(yùn)動(dòng)分析中引入n個(gè)運(yùn)動(dòng)變量，可以建立的獨(dú)立方程也為n個(gè)，在一般情況下可以得到確定解。

對(duì)于n個(gè)構(gòu)件組成的桿組，可以得到n/2個(gè)如下形式的封閉環(huán)方程（7-32）式中，矢量

代表構(gòu)件上轉(zhuǎn)動(dòng)副之間的聯(lián)線、移動(dòng)副間的位移，轉(zhuǎn)動(dòng)副到移動(dòng)副導(dǎo)路的垂直距離等，求和時(shí)i應(yīng)包括組成封閉形的所有構(gòu)件。也可向坐標(biāo)軸投影得到標(biāo)量形式的方程如下7.2.1、位置方程的建立與求解（7-33）式中是矢量與x

軸的夾角。下面給出位置環(huán)方程的求解方法。1.位置方程式的直接數(shù)值求解將位置方程（7-33）寫成以下的一般形式（7-34）設(shè)在機(jī)構(gòu)的某一位置已有一近似解在此初始點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)取另一點(diǎn)

k+1，令（7-35）7.2.1、位置方程的建立與求解

為各位置變量在初始點(diǎn)k的增量。應(yīng)用Taylor公式并只保留各增量的線性項(xiàng),式(7-34)可近似地表示成下面的式子。（7-36）式中的為雅克比矩陣A在點(diǎn)的值。（7-37）令式（7-36）等于零矢量，則（7-38）為

的線性方程組,解出

并代入式(7-35),可得到改進(jìn)后的解矢量

。7.2.1、位置方程的建立與求解以上計(jì)算可以迭代r次，直到（7-39）

為預(yù)定的收斂指標(biāo)?；蛘咴谟?jì)算達(dá)到預(yù)定的迭代次數(shù)后停止，并分析其不能收斂的原因，如初始值精度太差，機(jī)構(gòu)處于特殊位置等。這一算法通常稱為牛頓-拉普森算法。7.2.1、位置方程的建立與求解2.位置方程式降維后數(shù)值求解有些機(jī)構(gòu)在給出環(huán)方程后,可以通過消元法使未知數(shù)的個(gè)數(shù)減少,最后變成一維迭代數(shù)值求解問題。下面給出一個(gè)六桿機(jī)構(gòu)的例子，以說明求解過程。

圖7-6是一六桿機(jī)構(gòu)。原動(dòng)件為

，轉(zhuǎn)角為

。由前面的分析可知，該機(jī)構(gòu)可拆分為一個(gè)四桿組，故可列出兩個(gè)獨(dú)立的閉環(huán)方程，寫成復(fù)指數(shù)形式為（7-40）（7-41）圖7-6六桿機(jī)構(gòu)7.2.1、位置方程的建立與求解

上兩式中共含有四個(gè)未知數(shù)

，

，

，

。把式(7-40)中的

和

兩項(xiàng)移到等式的右邊，兩邊乘上它們各自的共軛復(fù)數(shù)就可消去,解出

；把式(7-41)中的

和

兩項(xiàng)移到等式的右邊，兩邊乘上它們各自的共軛復(fù)數(shù)就可消去,可得一隱函數(shù):=0,再把

代入就得到一個(gè)關(guān)于

的一維非線性方程，可用數(shù)值迭代法求解。速度和加速度求解只需把方程(7-40)及(7-41)對(duì)時(shí)間求一、二階導(dǎo)數(shù)即可。在用以上方法作機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，若在某位置雅克比矩陣A的行列式值為零，即

，則運(yùn)動(dòng)方程式無確定解,此種機(jī)構(gòu)位置稱為機(jī)構(gòu)的特殊位置。這時(shí)機(jī)構(gòu)可能處于極限位置或死點(diǎn)位置。如果系統(tǒng)在任何位置都有上式存在，則為一存在過約束的機(jī)構(gòu)。7.2.2、用型轉(zhuǎn)化法數(shù)值迭代求解

以上介紹的方法對(duì)不同的機(jī)構(gòu)都必須首先進(jìn)行公式推導(dǎo),因此不具有通用性。這里介紹的型轉(zhuǎn)化法是把一個(gè)復(fù)雜的桿組通過轉(zhuǎn)化變成多個(gè)簡(jiǎn)單的構(gòu)件或二桿組,然后直接調(diào)用求解二桿組的標(biāo)準(zhǔn)程序求解,非常適用于計(jì)算機(jī)求解各種平面低副連桿機(jī)構(gòu)，求解過程具有通用性。下面通過具體例子說明該方法的應(yīng)用。圖7-7

六桿組7.2.2、用型轉(zhuǎn)化法數(shù)值迭代求解

如圖7-7所示為一六桿組，A、B、C、D為與原動(dòng)件或與機(jī)架相聯(lián)的鉸鏈為外鉸,用實(shí)心圓表示。外鉸可能是雙鉸鏈桿的一端，也可能是多鉸鏈桿的一個(gè)鉸點(diǎn)。外鉸上的約束稱為外約束。在阿蘇爾組中把部分外約束解除而在內(nèi)部運(yùn)動(dòng)鏈中輸入同樣數(shù)目的外約束,這樣阿蘇爾組內(nèi)部運(yùn)動(dòng)鏈上出現(xiàn)外約束,于是內(nèi)部運(yùn)動(dòng)鏈分解,即桿組的結(jié)構(gòu)分解,變成了簡(jiǎn)單的構(gòu)件和二桿組。在如圖7-7a所示的桿組中，把外副D上的一個(gè)約束(或)解除,如圖7-7b，而在內(nèi)部運(yùn)動(dòng)鏈中選一個(gè)內(nèi)約束(或)，虛擬為已知。于是桿組分解成了如圖7-7c所示的簡(jiǎn)單桿組，可直接求解。

值是否是真正的位置解，要看依次解得位置后，所得

坐標(biāo)是否滿足原始給定的約束條件。不滿足就要根據(jù)誤差情況適當(dāng)修正

值，再次求解，直到

值滿足要求為止。整個(gè)過程是一個(gè)連續(xù)迭代求解過程。圖7-7

六桿組7.2.2、用型轉(zhuǎn)化法數(shù)值迭代求解圖7-8四桿組

如圖7-8a所示的四桿組中A，F(xiàn)為外副。解除

和

的約束，虛擬

為已知，這里

應(yīng)為以F為中心的圓上，所以總能求出。所以此四桿組分解成如圖7-8b所示的兩個(gè)二桿組，可迭代求解，直至F的位置滿足精度要求為止。以上兩個(gè)例子都是能夠通過一維迭代求解的桿組。六桿和八桿組大部分屬于此種桿組，但也有少數(shù)桿組必須通過二維迭代才能求解。如圖7-9所示的八桿組就屬此種。圖7-9八桿組7.2.2、用型轉(zhuǎn)化法數(shù)值迭代求解

上述型轉(zhuǎn)化法最終把復(fù)雜桿組都化成能夠直接求解的二級(jí)桿組，若將前面給出的平面機(jī)構(gòu)中二級(jí)桿組的求解公式編成子程序，則作各種機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析時(shí)就可以直接調(diào)用這些子程序而不必對(duì)每種機(jī)構(gòu)推導(dǎo)方程。

綜上所述可見，以上解法實(shí)質(zhì)上只有兩種：一種是直接求解非線性方程組，一種是降維迭代，但型轉(zhuǎn)化法更具有通用性。第七章習(xí)題7-1推導(dǎo)出習(xí)圖7-1所示四桿組和六桿組的位置求解的非線性方程組，可否化簡(jiǎn)成一元高次方程，如果可能可以給出所列非線性方程組或高次方程的求解方法，或給出其中的一種的降階求解過程。圖7-1

四桿組和六桿