高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故選：A2.設，則“是第一象限角”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：若是第一象限角，則,,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，則是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要條件，故選C.3.已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長最小值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】設扇形的弧長為，半徑為，所以扇形的面積為，所以，又扇形的周長為，所以，當且僅當，即時，取等號.故選：D.4.已知，，則的值為A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：本題選擇C選項.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，則，所以，，故選：A．6.已知角為的一個內(nèi)角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為三角形內(nèi)角，所以，所以，又因為，且，所以，所以，所以，由二倍角公式有：.故選：A7.當時，取得最大值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，故當取得最大值時，若，則，則，則.故選：C.8.已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的值為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.是邊長為3的等邊三角形，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.在上的投影向量是【答案】BCD【解析】如圖：對于A，，故A錯誤；對于B，，所以，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，在上的投影向量是，故D正確.故選：BCD.10.計算下列各式值，其結(jié)果為1的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：因為，所以，所以，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)在上無對稱中心C.，若恒成立，則的最小值為D.已知是函數(shù)在上的兩個零點，則【答案】ACD【解析】對于A：由題意知，，，則，又，，即，（），（），又，，，故A正確；對于B：把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)在的對稱中心為，故B錯誤；對于C：對，恒成立，即，對恒成立，令，，則，，，，，的最小值為，故C正確；對于D：由，令，解得，所以的對稱軸為，由，則，因為是函數(shù)在上的兩個零點，所以，，且，不妨令，則，因為，則，則，，所以，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知，，且，，求=________.【答案】【解析】因為，，且，，所以，，則，，因為，，所以，所以，故答案為：13.先將的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若，則不等式的解集為___________．【答案】【解析】將的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到，再將向左平移個單位長度后可得，由，即，則，解得，所以不等式的解集為.故答案為：14.已知函數(shù)，的最小正周期，若函數(shù)在上單調(diào)，且關于直線對稱，則符合要求的的所有值的和是______.【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期且，得，由于在上單調(diào)，該區(qū)間長度小于等于半個周期，即，得，綜上，，又關于直線對稱，所以，解得，，在的范圍內(nèi)，滿足條件的值為和和，驗證可知，這三個值均滿足函數(shù)在上單調(diào)，因此，符合要求的所有值的和為故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知向量（1）已知且，求（2）已知，且，求向量與向量的夾角．解：（1）由，所以設又得，解得，所以或.（2）由題知，，，，所以，所以所以所以所以因為所以向量與向量的夾角為.16.已知函數(shù)．（1）化簡；（2）若，求的值．解：（1）．（2）因為，所以，，，因為，所以，所以，故，因此．17.如圖所示，在平面直角坐標系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于兩點，點．（1）若點，求的值；（2）若，求．解：（1）因為是銳角，且在單位圓上，所以，所以．（2）因為，所以，且，所以，可得，且，所以．18.大連某養(yǎng)殖公司有一處矩形養(yǎng)殖池，如圖所示，米，米，為了便于冬天給養(yǎng)殖池內(nèi)的水加溫，該公司計劃在養(yǎng)殖池內(nèi)鋪設三條加溫帶和，考慮到整體規(guī)劃，要求是邊的中點，點在邊上，點在邊上，且，設．（1）試將的周長表示成的函數(shù)關系式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）當時，求加溫帶的長；（3）為增加夜間水下照明亮度，決定在兩條加溫帶和上按裝智能照明裝置，經(jīng)核算，兩條加溫帶每米增加智能照明裝置的費用均為400元，試問如何設計才能使新加裝的智能照明裝置的費用最低？并求出最低費用．解：（1）在中，由，得，，又中，由勾股定理得，因此，當點在點時，此時的值最小，，當點在點時，此時的值最大，，所以函數(shù)關系式為，定義域為.（2）由（1）知，因此，于是.（3）依題意，要使費用最低，只需最小即可，由（1）得，設，則，，，由，得，，于是，令，函數(shù)在上為增函數(shù)，則當時，最小，且最小值為，此時，所以當米時，照明裝置費用最低，最低費用為元．19.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）設函數(shù),若對任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上有3個零點,求的取值范圍．解：（1）因為，函數(shù)的最小正周期為，又，則，所以，所以.（2）因為是增函數(shù)，當時，當時，，則，所以，由題意可知，則解得，即的取值范圍為．（3）令，由（2）知當時，，即，則函數(shù)有兩個零點，且的圖象與直線，共有3個公共點，由的圖象可知，當，時，，得，由，得，，符合題意．當，時，，解得，綜上，的取值范圍為．遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故選：A2.設，則“是第一象限角”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：若是第一象限角，則,,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，則是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要條件，故選C.3.已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長最小值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】設扇形的弧長為，半徑為，所以扇形的面積為，所以，又扇形的周長為，所以，當且僅當，即時，取等號.故選：D.4.已知，，則的值為A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得：本題選擇C選項.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，則，所以，，故選：A．6.已知角為的一個內(nèi)角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為三角形內(nèi)角，所以，所以，又因為，且，所以，所以，所以，由二倍角公式有：.故選：A7.當時，取得最大值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，故當取得最大值時，若，則，則，則.故選：C.8.已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的值為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.是邊長為3的等邊三角形，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.在上的投影向量是【答案】BCD【解析】如圖：對于A，，故A錯誤；對于B，，所以，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，在上的投影向量是，故D正確.故選：BCD.10.計算下列各式值，其結(jié)果為1的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：因為，所以，所以，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)在上無對稱中心C.，若恒成立，則的最小值為D.已知是函數(shù)在上的兩個零點，則【答案】ACD【解析】對于A：由題意知，，，則，又，，即，（），（），又，，，故A正確；對于B：把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)在的對稱中心為，故B錯誤；對于C：對，恒成立，即，對恒成立，令，，則，，，，，的最小值為，故C正確；對于D：由，令，解得，所以的對稱軸為，由，則，因為是函數(shù)在上的兩個零點，所以，，且，不妨令，則，因為，則，則，，所以，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知，，且，，求=________.【答案】【解析】因為，，且，，所以，，則，，因為，，所以，所以，故答案為：13.先將的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若，則不等式的解集為___________．【答案】【解析】將的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到，再將向左平移個單位長度后可得，由，即，則，解得，所以不等式的解集為.故答案為：14.已知函數(shù)，的最小正周期，若函數(shù)在上單調(diào)，且關于直線對稱，則符合要求的的所有值的和是______.【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期且，得，由于在上單調(diào)，該區(qū)間長度小于等于半個周期，即，得，綜上，，又關于直線對稱，所以，解得，，在的范圍內(nèi)，滿足條件的值為和和，驗證可知，這三個值均滿足函數(shù)在上單調(diào)，因此，符合要求的所有值的和為故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知向量（1）已知且，求（2）已知，且，求向量與向量的夾角．解：（1）由，所以設又得，解得，所以或.（2）由題知，，，，所以，所以所以所以所以因為所以向量與向量的夾角為.16.已知函數(shù)．（1）化簡；（2）若，求的值．解：（1）．（2）因為，所以，，，因為，所以，所以，故，因此．17.如圖所示，在平面直角坐標系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于兩點，點．（1）若點，求的值；（2）若，求．解：（1）因為是銳角，且在單位圓上，所以，所以．（2）因為，所以，且，所以，可得，且，所以．18.大連某養(yǎng)殖公司有一處矩形養(yǎng)殖池，如圖所示，米，米，為了便于冬天給養(yǎng)殖池內(nèi)的水加溫，該公司計劃在養(yǎng)殖池內(nèi)鋪設三條加溫帶和，考慮到整體規(guī)劃，要求是邊的中點，點在邊上，點在邊上，且，設．（1）試將的周長表示成的函數(shù)關系式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）當時，求加溫帶的長；（3）為增加夜間水下照明亮度，決定在兩條加溫帶和上按裝智能照明裝置，經(jīng)核算，兩條加溫帶每米增加智能照明裝置的費用均為400元，試問如何設計才能使新加裝的智能照明裝置的費用最低？并求出最低費用．解：（1）在中，由，得，，又中，由勾股定理得，因此，當點在點時，此時的值最小，，當點在點時，此時的值最大，，所以函數(shù)關系式為，定義域為.（2）由（1）知，因此，于是.（3）依題意，要使費用最低，只需最小即可，由（1）得，設，則，，，由，得，，于是，令，函數(shù)在上為增函數(shù)，