高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省廣元市直屬普通高中備課聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月第一次聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)進(jìn)項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線與直線之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線化：，所以直線與直線之間的距離為:.故選：B.2.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，則①，則直線過原點(diǎn)，則直線方程為：②則，則設(shè)直線方程為：，即，則，∴直線方程為：綜上所述：該直線方程為或.故選：D3.設(shè)，向量，，，且，，則等于（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】由題可得，所以向量，，所以，所以.故選：B.4.圓與圓的公共弦長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓①與圓②，①－②得，即公共弦方程為，又圓的半徑為，圓心為，圓心到直線距離，所以公共弦長為.故選：C.5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，的面積為，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且的周長為12.則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長與短半軸長分別為，結(jié)合題意可知橢圓方程為：，由條件得，又的周長為，所以，即橢圓方程為：.故選：A6.設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）A.若，是對立事件，則B.若，是互斥事件，，則C.若，且，則，是獨(dú)立事件D.若，是獨(dú)立事件，，則【答案】C【解析】對于A，若是對立事件，則，A錯(cuò)誤；對于B，若是互斥事件，，則，B錯(cuò)誤；對于C，，則，，又，則是獨(dú)立事件，C正確；對于D，若是獨(dú)立事件，則是獨(dú)立事件，而，則，D錯(cuò)誤.故選：C7.下列命題中，正確命題個(gè)數(shù)為（）①若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則②若向量，滿足，且，則在方向上投影向量為③若，則，的夾角是鈍角④已知正四面體的棱長為1，則A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】對于①，若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則，所以或，故①不正確；對于②，若向量，滿足，且，則在方向上的投影向量為，故②正確；對于③，若，，的夾角是鈍角或平角，故③不正確；對于④，已知正四面體的棱長為1，則故④正確；綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C.8.已知矩形，，，為邊上一點(diǎn)且，與交于點(diǎn)，將沿棱折起，使得點(diǎn)折到點(diǎn)的位置，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在矩形，，，，由可得，由可得，則，即，可知折起后，必有，，，，平面，故平面，因?yàn)槭谴_定的直線，故對任意點(diǎn)，，，都在同一個(gè)確定的平面內(nèi)，因?yàn)?，可知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上（如圖），由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)與該圓相切時(shí)，取到最大值，則也取到最大值，此時(shí)，，則最大值為.故選：.二?多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.漏選按比例給分，多選或鋪選不得分.）9.已知直線：，：，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為60° B.當(dāng)時(shí)，C.若，則 D.直線始終過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，直線：，故斜率，則傾斜角為120°，A錯(cuò)誤，對于B，等價(jià)于，解得，故B正確，對于C，若，且，故，故C正確，對于D，：變形為：，令且，解得，故恒過，D正確，故選：BCD10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與是平行直線B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【解析】對于A，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．∵分別為棱的中點(diǎn)，∴、，則，，∴和不共線，故A錯(cuò)誤；對于B，∵，，∴，∴，∴直線與所成的角為，故B正確．對于C，由于平面的一個(gè)法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；對于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，∵棱長為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D正確，故選：BCD．11.已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.存在點(diǎn)，使得C.若，則外接圓的面積為D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因?yàn)榉匠探M無解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，若，即，中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD三?填空題（本通共3小題，每小題5分，共15分.）12.袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“中?華?民?族”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到“中”“華”兩個(gè)字都取到才停止.用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用代表“中?華?民?族”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為____________.【答案】【解析】由隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有，共4組隨機(jī)數(shù)，所以恰好抽取三次就停止的概率約為，故答案為：13.如圖所示，在棱長均為2的平行六面體中，，點(diǎn)M為與的交點(diǎn)，則的長為___________.【答案】【解析】根據(jù)向量加法三角形法則得到，,即，即，展開得到，，運(yùn)用數(shù)量積公式計(jì)算得到.因?yàn)?，所?故答案為：.14.已知圓，若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線：，反射后恰好平分圓C的圓周，反射光線所在直線的方程是______.【答案】【解析】如圖所示，由圓，可得圓心為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則滿足，解得，即，因?yàn)榉瓷浜笄『闷椒謭AC的圓周，所以反射光線經(jīng)過兩點(diǎn)，又由，所以反射光線的方程為，即.故答案為：.四?解答題（本大題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.求經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線的方程.（1）與直線平行，（2）與直線垂直.解：（1）由可得，故，設(shè)所求直線為，代入可得，故與已知直線平行的直線方程為.（2）設(shè)所求直線為，代入可得，故與已知直線垂直的直線方程為.16.已知1號箱中有3個(gè)白球和6個(gè)紅球，2號箱中有5個(gè)白球和4個(gè)紅球，（1）若每次同時(shí)從兩個(gè)號箱中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出的球不再放回.求經(jīng)過1次取球，取出的2個(gè)球中有紅球的概率；（2）若先從1號箱取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機(jī)取出一球，求從2號箱中取出紅球的概率.解：（1）從1號箱取出1個(gè)球是紅球的概率是，從2號箱取出1個(gè)球是紅球的概率是，所以取出的2個(gè)球中有紅球的概率是；（2）從1號箱取出一球放入2號箱，若這球是紅球，則2號箱中紅球?yàn)?個(gè)，若這球是白球，則2號箱中紅球?yàn)?個(gè)，所以從2號箱中取出紅球的概率為．17.如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：：（2）求平面和平面夾角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值：苦不存在，請說明理由.（1）證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，而，故，而，平面，故平面，而平面，故.解：（2）因?yàn)椋Y(jié)合（1）中可得，而，故，故，結(jié)合（1）中及可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，而，則即，取，則，故，而，故.（3）設(shè)，其中，由（2）可得平面的法向量為，故到平面的距離為，由題設(shè)有，故，故.18.已知曲線直線，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）討論曲線的形狀；（2）當(dāng)時(shí)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)、，若，求曲線的方程；（3）當(dāng)時(shí)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)、，試問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍？若不存在，請說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，可得，曲線表示垂直于軸的兩條直線；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線表示單位圓；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，代入曲線得，，，所以，，，由弦長公式得，解得，所以曲線的方程為.（3）存在，理由如下：當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.直線過曲線的右頂點(diǎn)1,0，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，把直線代入曲線的方程得，由題意知，和是此方程的兩個(gè)根，由于，由韋達(dá)定理可得，可得，所以，，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，則由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓的方程，化簡可得，即，則，由此求得.因此，在曲線上存在點(diǎn)，使得，且實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知圓和點(diǎn)（1）過點(diǎn)M作圓O的切線，求切線的方程；（2）已知，設(shè)P為滿足方程的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓O引切線，切點(diǎn)為B，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)N，使得為定值?若存在，則求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，則說明理由；（3）過點(diǎn)M作直線l交圓O于兩個(gè)不同的點(diǎn)C，線段CD不經(jīng)過圓心，分別在點(diǎn)C，D處作圓O的切線，兩條切線交于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E在一條定直線上，并求出該直線的方程.（1）解：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，顯然x=1與圓相切，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，由圓心到切線的距離為1，所以，解得，則，整理得，綜上，切線的方程為x=1和（2）解：由題設(shè)，若Px,y，則，整理得，若存在，使為定值，又，，則，整理得，即，整理得，要使為定值，則，得，，或，，，綜上，存在定點(diǎn)，定值，或定點(diǎn)，定值.（3）證明：設(shè)，，，，，由，則，即，又，故，同理，所以直線CD為，又M在CD上，所以，故點(diǎn)E在直線上.四川省廣元市直屬普通高中備課聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月第一次聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)進(jìn)項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線與直線之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線化：，所以直線與直線之間的距離為:.故選：B.2.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，則①，則直線過原點(diǎn)，則直線方程為：②則，則設(shè)直線方程為：，即，則，∴直線方程為：綜上所述：該直線方程為或.故選：D3.設(shè)，向量，，，且，，則等于（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】由題可得，所以向量，，所以，所以.故選：B.4.圓與圓的公共弦長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓①與圓②，①－②得，即公共弦方程為，又圓的半徑為，圓心為，圓心到直線距離，所以公共弦長為.故選：C.5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，的面積為，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且的周長為12.則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長與短半軸長分別為，結(jié)合題意可知橢圓方程為：，由條件得，又的周長為，所以，即橢圓方程為：.故選：A6.設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）A.若，是對立事件，則B.若，是互斥事件，，則C.若，且，則，是獨(dú)立事件D.若，是獨(dú)立事件，，則【答案】C【解析】對于A，若是對立事件，則，A錯(cuò)誤；對于B，若是互斥事件，，則，B錯(cuò)誤；對于C，，則，，又，則是獨(dú)立事件，C正確；對于D，若是獨(dú)立事件，則是獨(dú)立事件，而，則，D錯(cuò)誤.故選：C7.下列命題中，正確命題個(gè)數(shù)為（）①若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則②若向量，滿足，且，則在方向上投影向量為③若，則，的夾角是鈍角④已知正四面體的棱長為1，則A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】對于①，若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則，所以或，故①不正確；對于②，若向量，滿足，且，則在方向上的投影向量為，故②正確；對于③，若，，的夾角是鈍角或平角，故③不正確；對于④，已知正四面體的棱長為1，則故④正確；綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C.8.已知矩形，，，為邊上一點(diǎn)且，與交于點(diǎn)，將沿棱折起，使得點(diǎn)折到點(diǎn)的位置，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在矩形，，，，由可得，由可得，則，即，可知折起后，必有，，，，平面，故平面，因?yàn)槭谴_定的直線，故對任意點(diǎn)，，，都在同一個(gè)確定的平面內(nèi)，因?yàn)?，可知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上（如圖），由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)與該圓相切時(shí)，取到最大值，則也取到最大值，此時(shí)，，則最大值為.故選：.二?多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.漏選按比例給分，多選或鋪選不得分.）9.已知直線：，：，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為60° B.當(dāng)時(shí)，C.若，則 D.直線始終過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，直線：，故斜率，則傾斜角為120°，A錯(cuò)誤，對于B，等價(jià)于，解得，故B正確，對于C，若，且，故，故C正確，對于D，：變形為：，令且，解得，故恒過，D正確，故選：BCD10.如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與是平行直線B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】BCD【解析】對于A，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．∵分別為棱的中點(diǎn)，∴、，則，，∴和不共線，故A錯(cuò)誤；對于B，∵，，∴，∴，∴直線與所成的角為，故B正確．對于C，由于平面的一個(gè)法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；對于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，∵棱長為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D正確，故選：BCD．11.已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.存在點(diǎn)，使得C.若，則外接圓的面積為D.的最小值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因?yàn)榉匠探M無解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，若，即，中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD三?填空題（本通共3小題，每小題5分，共15分.）12.袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“中?華?民?族”四個(gè)字，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到“中”“華”兩個(gè)字都取到才停止.用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用代表“中?華?民?族”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為____________.【答案】【解析】由隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可知恰好抽取三次就停止的有，共4組隨機(jī)數(shù)，所以恰好抽取三次就停止的概率約為，故答案為：13.如圖所示，在棱長均為2的平行六面體中，，點(diǎn)M為與的交點(diǎn)，則的長為___________.【答案】【解析】根據(jù)向量加法三角形法則得到，,即，即，展開得到，，運(yùn)用數(shù)量積公式計(jì)算得到.因?yàn)?，所?故答案為：.14.已知圓，若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線：，反射后恰好平分圓C的圓周，反射光線所在直線的方程是______.【答案】【解析】如圖所示，由圓，可得圓心為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則滿足，解得，即，因?yàn)榉瓷浜笄『闷椒謭AC的圓周，所以反射光線經(jīng)過兩點(diǎn)，又由，所以反射光線的方程為，即.故答案為：.四?解答題（本大題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.求經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線的方程.（1）與直線平行，（2）與直線垂直.解：（1）由可得，故，設(shè)所求直線為，代入可得，故與已知直線平行的直線方程為.（2）設(shè)所求直線為，代入可得，故與已知直線垂直的直線方程為.16.已知1號箱中有3個(gè)白球和6個(gè)紅球，2號箱中有5個(gè)白球和4個(gè)紅球，（1）若每次同時(shí)從兩個(gè)號箱中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出的球不再放回.求經(jīng)過1次取球，取出的2個(gè)球中有紅球的概率；（2）若先從1號箱取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機(jī)取出一球，求從2號箱中取出紅球的概率.解：（1）從1號箱取出1個(gè)球是紅球的概率是，從2號箱取出1個(gè)球是紅球的概率是，所以取出的2個(gè)球中有紅球的概率是；（2）從1號箱取出一球放入2號箱，若這球是紅球，則2號箱中紅球?yàn)?個(gè)，若這球是白球，則2號箱中紅球?yàn)?個(gè)，所以從2號箱中取出紅球的概率為．17.如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：：（2）求平面和平面夾角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值：苦不存在，請說明理由.（1）證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，而，故，而，平面，故平面，而平面，故.解：（2）因?yàn)椋Y(jié)合（1）中可得，而，故，故，結(jié)合（1）中及可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，而，則即，取，則，故，而，故.（3）設(shè)，其中，由（2）可得平面的法向量為，故到平面的距