高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省G5聯盟2024-2025學年高二下學期期中考試數學試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4、考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，所以，故選：D.2.在空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作（）個平面A56 B.70 C.210 D.336【答案】A【解析】由題意不可能出現3點共線的情況，所以一共可以作個平面.故選：A3.已知函數在處有極值，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則，由題有，解得，所以，令，得到或，當時，，當時，，所以是的極大值點，即滿足題意，故選：C.4.已知數列是等差數列，，且，，數列的前n項和為，若不等式恒成立，則實數的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由題設，則，又為等差數列，則其公差，所以，故，所以，而不等式恒成立，所以，即實數的最小值為.故選：B5.的展開式中的系數為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】可先求展開式通項公式，.當中與展開式相乘時，令，，，系數為.當中與展開式相乘時，令，，，系數為.將兩項系數相加，.所以展開式中的系數為12.故選：C.6.盒中有2個黑球，2個白球和1個紅球，每次隨機抽取一球后放回，同時再放入1個同色球，抽取3次，3次顏色均不相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】第一次抽取總共有個球，抽取任意一種顏色球的概率都不為0，不妨先抽取黑球，其概率為，第二次抽取時，因為第一次抽取黑球后放回并放入1個黑球，此時球總數變?yōu)閭€，黑球有個，白球還是2個，紅球為1個，若第二次抽取白球，其概率為，第三次抽取時，由于第二次抽取白球后放回并放入1個白球，此時球的總數變?yōu)閭€，黑球有個，白球有個，紅球為1個，若第三次抽取紅球，其概率為，而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取紅球只是其中一種順序，三次抽取不同顏色球的順序還有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取紅球；第一次抽取黑球、第二次抽取紅球、第三次抽取白球；第一次抽取紅球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球；第一次抽取白球、第二次抽取紅球、第三次抽取黑球；第一次抽取紅球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球這5種情況.每種情況的概率都是，所以3次顏色均不相同的概率為.故選：A7.已知函數，若函數恰有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，其定義域為，對求導，可得：令，即，則，解得．當或時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增．所以在處取得極小值，也是最小值，．

令，則．函數恰有個不同的零點，即方程(e不是方程的根)有兩個不同的實數根，，且其中一個根為，另一個根．

則，解得

.實數的取值范圍是．故選：B．8.對于數列，稱數列為它的“和數列”.若存在，使得對任意,有,則稱為“有界數列”.已知,,,，，則在數列，，及其它們的和數列這6個數列中，有界數列的個數是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】對于前面的三個數列，可以考慮用蛛網圖法來進行求解，以數列為例，，于是作函數，，所以從A點出發(fā)作與相交于B，再作交于點C，由此可以看出，重復上述操作可以發(fā)現（其中為的較小零點），所以是收斂的數列，同理數列的圖像如下，所以，所以，（如果不是有界數列，兩條曲線是不會有交點的，具體圖像可以利用函數求導大致畫出是否有零點），對于和函數，所以數列和函數發(fā)散，易知，由不等式得，則，故單調遞減，單調遞減趨于，的和數列發(fā)散（類似于調和級數），無界.因單調遞減趨于0，故單調遞減趨于0，即有界，且的和數列收斂（類似于），有界.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若的展開式的各二項式系數之和為32，則（）A. B.展開式中所有項的系數和為32C.展開式中常數項為32 D.展開式中x的奇次項的系數和為121【答案】ACD【解析】由題設，則展開式通項為，，令，則展開式中所有項的系數和為，A對，B錯；令，則常數項為，C對；若，由B分析，令，則，故x的奇次項的系數和為，D對.故選：ACD10.現有4個編號為1，2，3，4的不同的球和5個編號為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內，則下列說法正確的是（）A.共有種不同的放法B.恰有兩個盒子不放球，共有360種放法C.每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有18種D.將4個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒的放法有120種【答案】BC【解析】A：由題意，每個球都有5種放法，故共有種不同的放法，錯；B：恰有兩個盒子不放球，則任選3個盒子放球有種，將4個球分成3組有種，最后把3組球放進所選的3個盒子中有種，故共有種，對；C：從四個編號中選2個放同編號的球有種，若另2個盒子放余下2個球有1種放法，若余下2球一個放在5號盒子有2種放法，所以，共有種，對；D：4個相同的球放到5個不同的盒子，恰有一個空盒有種放法，錯.故選：BC11.已知函數，，則以下結論不正確的是（）A.B.C.若，且，則D.若，且，則【答案】ACD【解析】選項A：因，故，故A結論錯誤；選項B：因，故，故B結論正確；選項C：，故由得，得，整理得，即，故當時，或，故C結論錯誤；選項D：由得，由得，得，由選項C可知D選項結論錯誤，故選：ACD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現有4位同學站成一排照相，其中甲，乙兩位同學相鄰的排法種數為__________種.【答案】【解析】先把甲乙捆綁看出一個元素，進行全排列，再對甲乙元素全排列，則甲，乙兩位同學相鄰的排法種數為種不同的排法.故答案為：.13.甲，乙，丙，丁，戊5名同學相互做傳接球訓練，球從甲手中開始，等可能地隨機傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能被接住.記第n次傳球之后球在乙手中的概率為，則__________.【答案】【解析】由題意，，，當時，第次傳球在乙手中概率為，故第次傳球不在乙手中的概率為，所以，則，而，所以是首項為，公比為的等比數列，則，所以，故.故答案為：14.設是集合，且m，n，中所有的數都是從大到小排列成的數列，已知，則__________.【答案】【解析】設，且m，n，，將寫成的形式為，令，可將分成如下三個子集：，這里，，下面求這三個集合中元素的個數：，其元素個數為，，其元素個數為，，其元素個數為，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，恒成立，求實數m的取值范圍.解：（1）由題設，則，故，而，所以曲線在點處的切線方程，所以切線為；（2）由題設，恒成立，令且，則，若，當，，即在上單調遞減，當，，即在上單調遞增，所以，只需恒成立，令且，則，所以在上單調遞減，且，故時，所以.16.數列的首項，且，.（1）證明：數列為等比數列；（2）設，求數列的最大項.解：（1）因為，所以，又，所以，則，所以，又，所以，則，所以是以為首項，為公比的等比數列；（2）由（1）可得，所以，令，則，解得，又，所以當且時，當且時，又，所以，所以的最大項為.17.在中國詩詞大會的比賽中，選手需要回答兩組題展示自己的詩詞儲備.（1）第一組題是情境共答題，參與比賽者需根據情境填寫詩句.小王知道該詩句的概率是，且小王在不知道該詩句的情況下，答對的概率是.記事件A為“小王答對第一組題”，事件B為“小王知道該詩句”.（?。┣笮⊥醮饘Φ谝唤M題的概率；（ⅱ）在小王答對第一組題的情況下，求他知道該詩句的概率.（2）小王答對第一組題后開始答第二組題.第二組題為畫中有詩，該環(huán)節(jié)共有三道題，每一題答題相互獨立，但難度逐級上升，小王知道第n題的詩句的概率仍為，但是在不知道該詩句的情況下,答對的概率為，已知每一題答對的得分表如下（答錯得分為0）：題號第1題第2題第3題得分2分4分6分若獲得8分及以上則挑戰(zhàn)成功，求小王挑戰(zhàn)成功概率.解：（1）（i）已知，則.在知道詩句的情況下一定答對，即；在不知道詩句的情況下答對的概率.根據全概率公式，將上述概率值代入可得：.（ii）計算在小王答對第一組題的情況下，他知道該詩句的概率根據貝葉斯公式.由前面計算可知，，，代入可得：.（2）設事件為“小王答對第二組題中的第題”（）.已知小王知道第題詩句的概率為，不知道該詩句的情況下答對的概率為.則；；.因為獲得分及以上則挑戰(zhàn)成功，所以有以下幾種情況：答對第、題，答錯第題，其概率為.答對第、題，答錯第題，其概率為.答對第、、題，其概率為.因為這幾種情況互斥，所以小王挑戰(zhàn)成功的概率為：.18.設函數.（1）求函數的單調區(qū)間及極值；（2）證明：當時，；（3）證明：當時，有.解：（1）的定義域為，，故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.故有極小值.綜上有的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，極小值為0，無極大值.（2）要證，即證，即證.令，則，因為，故，故在上單調遞增.故，即得證.（3）由（2）可得當時，令，且，則，即故，.又，故，即.則.故，即得證.19.設集合為實數集，其中，對U的非空子集A，若滿足：①若，則，；②A中所有元素之和的算術平均數與U中所有元素之和的算術平均數相等，則稱A為U的“平衡子集”.（1）若，，直接寫出，的所有“平衡子集”；（2）若，（?。┣骍的所有“平衡子集”的個數；（ⅱ）用表示U的元素個數為m的“平衡子集”的個數，，，用表示U的元素個數為n的子集個數，求的值，并說明理由.解：（1）由題可得的平衡子集為：；由題可得的平衡子集為：；（2）（ⅰ）由題可得，U中所有元素之和的算術平均數為：，又注意到，而這樣的相加為的組合，U中有組，注意到這些組合的算術平均數及這些組合相加的算術平均數均為又U的所有“平衡子集”都由這些組合所組成.則U的所有“平衡子集”的個數為：（ⅱ）由（?。┛傻肬的所有元素的算術平均數為，則“平衡子集”的元素個數應為偶數，則.又注意到表示從（?。┲猩婕暗南嗉訛榈膎個組合中，選擇個的個數，則，則.又由題可得，則.因，則，一方面從個元素中選n個元素，有種方法.另一方面，可將個元素分為2組，每組n個元素，則從個元素中選n個元素，可先從第一組取k個，再從第二組取個，其中，則有種方法.兩種方法是等價的，則.又，則.浙江省G5聯盟2024-2025學年高二下學期期中考試數學試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4、考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，所以，故選：D.2.在空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作（）個平面A56 B.70 C.210 D.336【答案】A【解析】由題意不可能出現3點共線的情況，所以一共可以作個平面.故選：A3.已知函數在處有極值，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則，由題有，解得，所以，令，得到或，當時，，當時，，所以是的極大值點，即滿足題意，故選：C.4.已知數列是等差數列，，且，，數列的前n項和為，若不等式恒成立，則實數的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由題設，則，又為等差數列，則其公差，所以，故，所以，而不等式恒成立，所以，即實數的最小值為.故選：B5.的展開式中的系數為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】可先求展開式通項公式，.當中與展開式相乘時，令，，，系數為.當中與展開式相乘時，令，，，系數為.將兩項系數相加，.所以展開式中的系數為12.故選：C.6.盒中有2個黑球，2個白球和1個紅球，每次隨機抽取一球后放回，同時再放入1個同色球，抽取3次，3次顏色均不相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】第一次抽取總共有個球，抽取任意一種顏色球的概率都不為0，不妨先抽取黑球，其概率為，第二次抽取時，因為第一次抽取黑球后放回并放入1個黑球，此時球總數變?yōu)閭€，黑球有個，白球還是2個，紅球為1個，若第二次抽取白球，其概率為，第三次抽取時，由于第二次抽取白球后放回并放入1個白球，此時球的總數變?yōu)閭€，黑球有個，白球有個，紅球為1個，若第三次抽取紅球，其概率為，而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取紅球只是其中一種順序，三次抽取不同顏色球的順序還有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取紅球；第一次抽取黑球、第二次抽取紅球、第三次抽取白球；第一次抽取紅球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球；第一次抽取白球、第二次抽取紅球、第三次抽取黑球；第一次抽取紅球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球這5種情況.每種情況的概率都是，所以3次顏色均不相同的概率為.故選：A7.已知函數，若函數恰有3個不同的零點，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，其定義域為，對求導，可得：令，即，則，解得．當或時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增．所以在處取得極小值，也是最小值，．

令，則．函數恰有個不同的零點，即方程(e不是方程的根)有兩個不同的實數根，，且其中一個根為，另一個根．

則，解得

.實數的取值范圍是．故選：B．8.對于數列，稱數列為它的“和數列”.若存在，使得對任意,有,則稱為“有界數列”.已知,,,，，則在數列，，及其它們的和數列這6個數列中，有界數列的個數是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】對于前面的三個數列，可以考慮用蛛網圖法來進行求解，以數列為例，，于是作函數，，所以從A點出發(fā)作與相交于B，再作交于點C，由此可以看出，重復上述操作可以發(fā)現（其中為的較小零點），所以是收斂的數列，同理數列的圖像如下，所以，所以，（如果不是有界數列，兩條曲線是不會有交點的，具體圖像可以利用函數求導大致畫出是否有零點），對于和函數，所以數列和函數發(fā)散，易知，由不等式得，則，故單調遞減，單調遞減趨于，的和數列發(fā)散（類似于調和級數），無界.因單調遞減趨于0，故單調遞減趨于0，即有界，且的和數列收斂（類似于），有界.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若的展開式的各二項式系數之和為32，則（）A. B.展開式中所有項的系數和為32C.展開式中常數項為32 D.展開式中x的奇次項的系數和為121【答案】ACD【解析】由題設，則展開式通項為，，令，則展開式中所有項的系數和為，A對，B錯；令，則常數項為，C對；若，由B分析，令，則，故x的奇次項的系數和為，D對.故選：ACD10.現有4個編號為1，2，3，4的不同的球和5個編號為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內，則下列說法正確的是（）A.共有種不同的放法B.恰有兩個盒子不放球，共有360種放法C.每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有18種D.將4個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒的放法有120種【答案】BC【解析】A：由題意，每個球都有5種放法，故共有種不同的放法，錯；B：恰有兩個盒子不放球，則任選3個盒子放球有種，將4個球分成3組有種，最后把3組球放進所選的3個盒子中有種，故共有種，對；C：從四個編號中選2個放同編號的球有種，若另2個盒子放余下2個球有1種放法，若余下2球一個放在5號盒子有2種放法，所以，共有種，對；D：4個相同的球放到5個不同的盒子，恰有一個空盒有種放法，錯.故選：BC11.已知函數，，則以下結論不正確的是（）A.B.C.若，且，則D.若，且，則【答案】ACD【解析】選項A：因，故，故A結論錯誤；選項B：因，故，故B結論正確；選項C：，故由得，得，整理得，即，故當時，或，故C結論錯誤；選項D：由得，由得，得，由選項C可知D選項結論錯誤，故選：ACD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現有4位同學站成一排照相，其中甲，乙兩位同學相鄰的排法種數為__________種.【答案】【解析】先把甲乙捆綁看出一個元素，進行全排列，再對甲乙元素全排列，則甲，乙兩位同學相鄰的排法種數為種不同的排法.故答案為：.13.甲，乙，丙，丁，戊5名同學相互做傳接球訓練，球從甲手中開始，等可能地隨機傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能被接住.記第n次傳球之后球在乙手中的概率為，則__________.【答案】【解析】由題意，，，當時，第次傳球在乙手中概率為，故第次傳球不在乙手中的概率為，所以，則，而，所以是首項為，公比為的等比數列，則，所以，故.故答案為：14.設是集合，且m，n，中所有的數都是從大到小排列成的數列，已知，則__________.【答案】【解析】設，且m，n，，將寫成的形式為，令，可將分成如下三個子集：，這里，，下面求這三個集合中元素的個數：，其元素個數為，，其元素個數為，，其元素個數為，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，恒成立，求實數m的取值范圍.解：（1）由題設，則，故，而，所以曲線在點處的切線方程，所以切線為；（2）由題設，恒成立，令且，則，若，當，，即在上單調遞減，當，，即在上單調遞增，所以，只需恒成立，令且，則，所以在上單調遞減，且，故時，所以.16.數列的首項，且，.（1）證明：數列為等比數列；（2）設，求數列的最大項.解：（1）因為，所以，又，所以，則，所以，又，所以，則，所以是以為首項，為公比的等比數列；（2）由（1）可得，所以，令，則，解得，又，所以當且時，當且時，又，所以，所以的最大項為.17.在中國詩詞大會的比賽中，選手需要回答兩組題展示自己的詩詞儲備.（1）第一組題是情境共答題，參與比賽者需根據情境填寫詩句.小王知道該詩句的概率是，且小王在不知道該詩句的情況下，答對的概率是.記事件A為“小王答對第一組題”，事件B為“小王知道該詩句”.（?。┣笮⊥醮饘Φ谝唤M題的概率；（ⅱ）在小王答對第一組題的情況下，求他知道該詩句的概率.（2）小王答對第一組題后開始答第二組題.第二組題為畫中有詩，該環(huán)節(jié)共有三道題，每一題答題相互獨立，但難度逐級上升，小王知道第n題的詩句的概率仍為，但是在不知道該詩句的情況下,答對的概率為，已知每一題答對的得分表如下（答錯得分為0）：題號第1題第2題第3題得分2分4分6分若獲得8分及以上則挑戰(zhàn)成功，求小王挑戰(zhàn)成功概率.解：（1）（i）已知，則.在知道詩句的情況下一定答對，即；在不知道詩句的情況