課時4函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用二、考點掃描例1【答案】D【解析】若f(x)是“理想函數(shù)”，則滿足以下兩個條件：(1)對于定義域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；(2)對于定義域上的任意x1，x2，當x1≠x2時，恒有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0，即(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，所以x1<x2時，f(x1)>f(x2)，或x1>x2時，f(x1)<f(x2)，即函數(shù)f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．故f(x)為定義域上的單調(diào)遞減的奇函數(shù)．對于A，f(x)＝eq\f(1,x)是在定義域為{x|x≠0}上的奇函數(shù)，但不是減函數(shù)，所以f(x)不是“理想函數(shù)”；對于B，f(x)＝lneq\r(1＋x2＋x)＝ln，定義域為x∈R，當x≥－eq\f(1,2)時，f(x)＝lneq\r(1＋x2＋x)單調(diào)遞增，所以f(x)不是“理想函數(shù)”；對于C，f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)是在定義域R上的增函數(shù)，所以f(x)不是“理想函數(shù)”；對于D，如圖，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2，x≥0，,x2，x<0))在定義域R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，所以f(x)是“理想函數(shù)”．故選D.對點訓練【答案】C【解析】對于函數(shù)f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x，令|x|－1>0，解得x>1或x<－1，所以函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，又f(－x)＝lg(|－x|－1)＋2－x＋2x＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，當x>1時，f(x)＝lg(x－1)＋2x＋2－x，則y＝lg(x－1)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，令g(x)＝2x＋2－x，x∈(1，＋∞)，所以g′(x)＝2xln2－2－xln2＝(2x－2－x)ln2>0，所以g(x)＝2x＋2－x在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，從而得到f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，則不等式f(x＋1)<f(2x)等價于解得x>1或x<－2，所以不等式的解集為(－∞，－2)∪(1，＋∞)．故選C.例2B【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)，該函數(shù)的定義域為R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)圖象的對稱中心為坐標原點．對于A選項，函數(shù)y＝(x－1)f(x－1)的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向右平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝(x－1)f(x－1)圖象的對稱中心為(1,0)；對于B選項，函數(shù)y＝(x＋1)f(x＋1)的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向左平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝(x＋1)f(x＋1)圖象的對稱中心為(－1,0)；對于C選項，函數(shù)y＝xf(x)＋1的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向上平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝xf(x)＋1圖象的對稱中心為(0,1)；對于D選項，函數(shù)y＝xf(x)－1的圖象由函數(shù)g(x)的圖象向下平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝xf(x)－1圖象的對稱中心為(0，－1)．故選B.對點訓練C【解析】f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)中心對稱，因為f(2－x)＝f(x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1軸對稱，故A，B錯誤；根據(jù)題意可得，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1軸對稱，關(guān)于點(2,0)中心對稱，則f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減，故C正確；又因為f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，則f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期為4，則f

＝f

<f

，故D錯誤．故選C.例3AB【解析】對于A，因為f(2x＋2)＝－f(2x)，即f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－(－f(x))＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，因此，4是函數(shù)f(x)的一個周期，A正確；對于B，因為f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，可得f(x＋1)＝f(1－x)，所以直線x＝1是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，B正確；對于C，因為f(x＋4)＝f(x)，且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x＋4)＝f(x)＝－f(－x)，可得f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函數(shù)f(x＋2)是奇函數(shù)，C錯誤；對于D，當0≤x≤1時，f(x)＝2x－1，則f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，所以＝2f(1)＋3f(2)＋4f(3)＋5f(4)＋…＋2024f(2023)＝2f(1)＋4f(3)＋6f(5)＋…＋2024f(2023)＝2－4＋6－8＋…＋2022－2024＝－2×eq\f(1012,2)＝－1012，D錯誤．故選AB.對點訓練C【解析】因為f(x－2)為奇函數(shù)，f(x)的周期為2，所以f(x)為奇函數(shù)，因為當x∈[0,1)時，>0，所以f(x)在[0,1)上單調(diào)遞增，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，因為f

＝f

＝f

，f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，f

＝f

＝f

，所以f

>f(0)>f

，即f

>f(4)>f

.故選C例4AC【解析】由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)圖象的對稱軸方程為x＝1，所以f(0)＝f(2)，又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x).因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(2，0)對稱，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期為4，所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正確，B錯誤.因為f(x)在(－1，0]上單調(diào)遞增，且周期為4，所以f(x)在(3，4]上單調(diào)遞增，又f(x)的圖象關(guān)于(2，0)對稱，所以f(x)在[0，1)上單調(diào)遞增.因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以f(x)在(1，2]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在(2，3)上單調(diào)遞減，故C正確.根據(jù)f(x)的周期為4，可得f(2021)＝f(1)，f(2022)＝f(2)，f(2023)＝f(3).因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)，即f(2021)＝f(1)，f(2022)＝f(0)，f(2023)＝f(－1)，由C選項的分析可知，函數(shù)f(x)在[0，1)上單調(diào)遞增，在(－1，0]上單調(diào)遞增，確定的單調(diào)區(qū)間內(nèi)均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，則f(2021)>f(2022)>f(2023)不成立，故D錯誤.故選AC.對點訓練ACD【解析】由f2024?x=fx?2022可知函數(shù)因為函數(shù)y=f2x?1是奇函數(shù),所以函數(shù)y=(根據(jù)y=f2x?1是奇函數(shù),得f?2x?1=?f2x?1,即f?x?1=?fx?1得到)因