課時8概率和其他知識的交匯一、考情分析新高考以能力立意是數(shù)學命題的指導思想，在知識網(wǎng)絡交匯處設計試題，突破定勢.近幾年將概率與統(tǒng)計、數(shù)列、函數(shù)、導數(shù)結(jié)合，成為創(chuàng)新問題，考查考生的創(chuàng)新能力和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)．二、考點掃描考點一概率與統(tǒng)計的交匯例1為了解決家長接送孩子放學的問題，教育部提出推行課后服務“5＋2”模式，即學校每周5天都要開展課后服務，每天至少開展2h，結(jié)束時間要與當?shù)卣Ｏ掳鄷r間相銜接，且不得利用課后服務時間講新課.為了課后服務的有序開展，某教育局就課后服務的時長在網(wǎng)絡上進行意見征集，并從中隨機抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)從樣本中隨機抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務時長超過200min，求另一份調(diào)查表所建議的課后服務時長也超過200min的概率；(2)為了進一步了解課后服務時長的需求情況，從樣本中建議課后服務時長超過180min的人中分層抽取10人，再從這10人中任取3人，記建議課后服務時長在[180，200)的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望.規(guī)律方法：對點訓練(2024·江西上饒市模擬)為了解某高校學生每天的運動時間，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生每天平均運動時間(單位：分鐘)的頻率直方圖，將每天平均運動時間不低于40分鐘的學生稱為“運動族”．(1)用樣本估計總體，已知某學生每天平均運動時間不低于20分鐘，求該學生是“運動族”的概率；(2)從樣本里的“運動族”學生中隨機選取兩名同學，用隨機變量X表示每天平均運動時間在40～50分鐘之間的學生數(shù)，求X的概率分布及均值．考點二概率與數(shù)列的交匯例2(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，則.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y，求E(Y).規(guī)律方法：對點訓練(2024·江蘇揚州市兩校聯(lián)考)某校為了合理配置校本課程資源，教務部門對學生們進行了問卷調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計，其中eq\f(1,4)的學生計劃只選擇校本課程一，另外eq\f(3,4)的學生計劃既選擇校本課程一又選擇校本課程二.每名學生若只選擇校本課程一，則記1分；若既選擇校本課程一又選擇校本課程二，則記2分.假設每名選擇校本課程一的學生是否計劃選擇校本課程二相互獨立，視頻率為概率.(1)從學生中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)從學生中隨機抽取n人(n∈N*)，記這n人的合計得分恰為n＋1的概率為Pn，求P1＋P2＋…＋Pn.考向3概率與導數(shù)的交匯例3某盒子內(nèi)裝有60個小球(除顏色之外，其他完全相同)，其中有若干個黑球，其他均為白球.為了估計黑球的數(shù)目，設計如下實驗：從盒子中有放回地抽取4個球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X，作為一次實驗結(jié)果.進行上述實驗共5次，記錄下第i次實驗中實際抽到黑球的數(shù)目xi.已知從該盒子中任意抽取一個球，抽到黑球的概率為p(0<p<1).(1)求X的分布列；(2)實驗結(jié)束后，已知第i次實驗中抽到黑球的數(shù)目xi如下表所示.i12345xi23233設函數(shù)①求f(p)的極大值點p0；②根據(jù)①估計該盒子中黑球的數(shù)目，并說明理由.規(guī)律方法：對點訓練根據(jù)以往大量的測量知某加工廠生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，并把鋼管內(nèi)徑在[μ－σ，μ＋σ]內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，鋼管內(nèi)徑在[μ＋σ，μ＋2σ]內(nèi)的產(chǎn)品稱為二等品，一等品與二等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品回收．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取1000件，測得鋼管內(nèi)徑的樣本數(shù)據(jù)的頻率直方圖如圖所示．(1)通過檢測得樣本數(shù)據(jù)的標準差s＝0.3，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標準差s作為σ的估計值，根據(jù)所給數(shù)據(jù)求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P1；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件一等品和n(n≥2，n∈N)件二等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同，則該箱產(chǎn)品記為A，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含n的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率p；②設抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為f(p)，求當n為何值時，f(