課時2等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式一、課標(biāo)要求1．理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．二、知識梳理1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：①文字語言：從起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的都等于常數(shù)．②符號語言：(n∈N*，d為常數(shù))．(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中叫做a，b的等差中項(xiàng)．2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝．(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝=．3．等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和．(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有am＋an＝ap＋aq．(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是．【拓展知識】1．若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．2．?dāng)?shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．3．S2n－1＝(2n－1)an．4．若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系：Sn＝eq\f(d,2)n2＋n．則數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值：在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最值．三、基礎(chǔ)回顧1．判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)（1）若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則該數(shù)列是等差數(shù)列.()（2）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn+q(p,q為實(shí)數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．()（3）等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．()（4）等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．()2．(多選題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S4＝0，a5＝5，則下列選項(xiàng)正確的有()A．a(chǎn)2＋a3＝0 B．a(chǎn)n＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－23．（2024·全國新課標(biāo)Ⅱ卷）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5＝25，S6＝57，則{an}的公差為.四、考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算例1（1）已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，則a10＝()A．18 B．16C．20 D．17(2)（2024·全國甲卷）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C.1 D.2規(guī)律方法：對點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5等于()A．25B．22C．20D．15(2)設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4＝2(a2＋a3)，則eq\f(S7,a1)＝．考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋n－4(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．規(guī)律方法：對點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知在數(shù)列{an}中，.①求證：數(shù)列為等差數(shù)列；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).①求證：成等差數(shù)列；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及最值例3（1）(2024·河南鄭州市模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝S21，則S23＝()A．1B．2C．3D．4（2）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝()A．27B．45C．81D．18例4(多選題)(2024·河南鄭州市模擬)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S5<S6，S6＝S7，S7>S8，則下列說法正確的有()A．公差d<0B．S12>0C．S9>S5D．使Sn<0的最小正整數(shù)n為14規(guī)律方法：對點(diǎn)訓(xùn)練（1）(2024·四川南充市模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，則Sn的最大值為()A．60B．50C.eq\f(121,4)D．30（2）(2024·河南洛陽市模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9＝()A．72B．36C．18D．9（3）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－