1/11.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（精講）考點(diǎn)一空間向量坐標(biāo)的表示【例1-1】在正方體中，若點(diǎn)是側(cè)面的中心，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【例1-2】已知是空間的一個(gè)單位正交基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則它在基底下的坐標(biāo)為（

）．A．B．C．D．【例1-3】《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是正方形，平面，且，若，則點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．2．平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．3．（多選）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長(zhǎng)為2，三棱柱的高為的中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)二空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算【例2-1】已知向量，，則的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【例2-2】已知空間向量，，若，則（

）A．B．C．1D．2【例2-3】已知，若，則m的值為（

）A．3B．C．D．4【例2-4】已知空間三點(diǎn)，，，在直線上有一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.A．B．C．D．【一隅三反】1．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A．（5，8，3）B．（5，﹣6，4）C．（8，16，4）D．（16，0，4）2．已知向量，，則（

）A．B．C．D．3．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．，C．，D．以上都不對(duì)4．已知向量，，則在的方向上的數(shù)量投影為（

）A．B．C．D．5．設(shè)、，向量，，且，，則（

）A．B．C．D．考點(diǎn)三空間向量在幾何中運(yùn)用【例3】如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決如下問題：(1)求的模；(2)求的值；(3)求證：平面.【一隅三反】1．已知空間三點(diǎn)，，，則與的夾角的大小是______．2．（多選）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．平面C．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為D．與所成角的余弦值為3．在直三棱柱中，，，，．(1)在上是否存在點(diǎn)，使得？(2)在上是否存在點(diǎn)，使得平面？考點(diǎn)四空間向量數(shù)量積取值范圍【例4】點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．3．如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，若.則△BCM面積的最小值為（）A．8B．4C．D．考點(diǎn)五空間幾何中的軌跡問題【例5-1】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若，則點(diǎn)S與P距離的最小值是___________．2．（多選）已知正方體ABCD－EFGH棱長(zhǎng)為2，M為棱CG的中點(diǎn)，P為底面EFGH上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)P，使得B．存在唯一點(diǎn)P，使得C．當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)P為底面EFGH的中心時(shí)，三棱錐P－ABM的外接球體積為1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（精練）1空間向量坐標(biāo)的表示11．（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0，2）B．C．的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1）D．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－2，2，－2）2．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，若以為基底，則向量的坐標(biāo)為___，向量的坐標(biāo)為___，向量的坐標(biāo)為___.

3．在正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長(zhǎng)為1，分別求，，的坐標(biāo)．4．如圖垂直于正方形所在的平面，分別是的中點(diǎn)，并且．試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量的坐標(biāo)．5．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，，的坐標(biāo)．2空間向量的坐標(biāo)的運(yùn)算21．已知，則等于（

）A．B．C．D．2．已知空間點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．3．向量，若，則的值為（

）A．2B．1C．D．4.已知，，則向量與的夾角為（

）A．90°B．60°C．30°D．0°5．已知，則在上的投影向量為（

）A．B．C．D．6．（多選）已知空間三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．7．（多選）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．與夾角的余弦值為8．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（

）A．4B．C．2D．不確定3空間向量在幾何中的運(yùn)用31．空間兩點(diǎn)、之間的距離為______．2．若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_________.3．已知長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的長(zhǎng)度；（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說明理由．4．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并確定、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：.6．如圖，正方形與等腰直角三角形所在平面互相垂直，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是上的點(diǎn)，.（1）試確定點(diǎn)G的位置；（2）求夾角的余弦值.7．如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn)．（1）求的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求證：A1B⊥C1M.4數(shù)量積的取值范圍41．已知，點(diǎn)Q在直線OP上，那么當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（

）A．B．C．D．2．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．3.棱長(zhǎng)為1的正方體，在正方體的12條棱上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是________.4.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)M在棱上，且，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)其棱________.5．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為是它內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值圍是_______________________．6.在空間直角坐標(biāo)系中，已知四點(diǎn)、、，點(diǎn)M是直線OC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．5空間向量中軌跡51．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）A．B．C．D．2．如圖，正方體中，P為底面上的動(dòng)點(diǎn)，于E，且則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．線段B．圓C．橢圓的一部分D．拋物線的一部分3．（多選）設(shè)正方體ABCD—的棱長(zhǎng)為2，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)P，使得A1P平面