必刷小題8解三角形分值：73分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.(2025·江門模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B=30°，b=2，c=22，則角A的大小為()A.45° B.135°或45°C.15° D.105°或15°2.(2024·葫蘆島模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ca=33，B=π6，△ABC的面積為3，則b等于A.23 B.4 C.2 D.63.(2024·南京模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知9sin2B=4sin2A，cosC=14，則ca等于(A.114 B.104 C.114.寶塔山是延安的標(biāo)志，見證了中國革命的進(jìn)程，在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比)，在山坡A處測得∠CAD=15°，從A處沿山坡往上前進(jìn)66m到達(dá)B處，在山坡B處測得∠CBD=30°，則寶塔CD的高為()A.44m B.42m C.48m D.46m5.在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD=6，BD=3，∠ABC=45°，則sin∠ADC的值為()A.2+34 C.1+74 6.(2025·綿陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2025tanA+2025tanB=1tanC，A.4051 B.4050C.4048 D.40477.在銳角△ABC中，B=60°，AB=1，則AB邊上的高的取值范圍是()A.34，1 C.32，3 8.(2025·長沙模擬)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，AC=2AB，CD=1，AE=3EC，∠ADB=∠EDC=α，則cosα等于()A.32 B.33 C.2二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.則下列各組條件中使得△ABC有唯一解的是()A.a=3，b=4，A=πB.a=3，b=4，cosB=3C.a=3，b=4，C=πD.a=3，b=4，B=π10.某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離126nmile；在A處看燈塔C在貨輪北偏西30°，距離83nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°方向，則下列說法正確的是()A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與D處之間的距離是16nmileC.燈塔C在D處的南偏西30°D.D在燈塔B的北偏西30°11.(2024·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.則下列命題正確的是()A.若a=33，b=3，B=30°，則A=60°B.若A>B，則sinA>sinBC.若cb<cosA，則△ABCD.若a=2，b=3，c2+ab=a2+b2，則△ABC的面積為3三、填空題(每小題5分，共15分)12.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos2C=sin2A+cos2B-sinAsinC，且b=6，則B=，△ABC外接圓的面積為.

13.(2025·成都模擬)平面四邊形ABCD中，AB=6，AD=CD=4，BC=2，若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則該四邊形的面積為.

14.在△ABC中，a=3，A=π3，則△ABC的周長的取值范圍為答案精析1.D2.C3.D[∵9sin2B=4sin2A，∴9b2=4a2，即b=2∵cosC=a2+b2∴ca2=109，則c4.A[由題可知∠CAD=15°，∠CBD=30°，則∠ACB=15°，所以BC=AB=66，設(shè)坡角為θ，則由題可得tanθ=7則可求得cosθ=3在△BCD中，∠BDC=θ+90°，由正弦定理可得CDsin30°=即CD12=66解得CD=44，故寶塔CD的高為44m.]5.C[如圖，在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD即6sin45°=故sin∠BAD=24又BD<AD，則∠BAD<∠ABC，故∠BAD只能是銳角，故cos∠BAD=144所以sin∠ADC=sin(∠BAD+∠ABD)=24×22+144×226.A[在△ABC中，2025tanA+2025可得2025cosAsin即2025·sin=cos故2025·sin(B+即2025·sinCsin所以2025·sin2Csin所以2025·c2ab即4050c2=a2+b2-c2，所以4051c2=a2+b2，故a2+b2c7.D[設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則AB邊上的高h(yuǎn)=asinB=32a，由正弦定理得a=csinAsin=32tanC+由△ABC為銳角三角形，可知30°<C<90°，則tanC>3所以a=32tanC+1從而h∈3因此AB邊上的高的取值范圍是34，8.D[由D是BC的中點(diǎn)，AC=2AB，CD=1，AE=3EC，設(shè)CE=x，則BD=1，AE=3x，AB=2x，在△ABC中，由正弦定理得2xsin即sinB=2sinC，在△ABD中，由正弦定理得2xsinα在△CED中，由正弦定理得xsinα=由①②得2=ADDE·sinCsinB即AD=4DE.在△ABD中，由余弦定理得4x2=1+AD2-2ADcosα=1+16DE2-8DEcosα，③在△CDE中，由余弦定理得x2=1+DE2-2DEcosα，④由③④得4+4DE2=1+16DE2，解得DE=12，AD則x2=1+14-2×12cos=54-cos在△ADE中，由余弦定理得9x2=AD2+DE2-2AD·DE·cos(π-2α)=4+14+2×2×12cos=174+2cos2α=4cos2α+可得454-9cosα=4cos2α+解得cosα=34(-3舍去).9.BCD[根據(jù)題意，A中，由正弦定理asinA=bsinB?sinB=43×因?yàn)?2<23<22，所以角B在π6，π4和B中，根據(jù)余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，即16=9+c2-185c解得c=5或c=-75(舍)所以只有1個(gè)解，滿足題意；C中，條件為邊角邊，根據(jù)余弦定理可以求得唯一的c邊，所以有唯一解，滿足題意；D中，由正弦定理asinA=bsinB=34×sinB=因?yàn)?8<所以角A在0，π6和5π6，π上各有一個(gè)解，當(dāng)解在5π6，π上時(shí)，角B10.AC[由題意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD=30°，所以B=180°-60°-75°=45°，AB=126，AC=8在△ABD中，由正弦定理得ADsinB所以AD=126×2232=24(n在△ACD中，由余弦定理得CD=A=(8=83(nmile)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)镃D=AC，所以∠CDA=∠CAD=30°，所以燈塔C在D處的南偏西30°，故C正確；由∠ADB=60°，可知D在燈塔B的北偏西60°，故D錯(cuò)誤.]11.BC[對于A，由于a=33，b=3，B=30°利用正弦定理asinA解得sinA=3由于0°<A<150°，所以A=60°或120°，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)A>B時(shí)，a>b，根據(jù)正弦定理asinA可得sinA>sinB，故B正確；對于C，若cb<cosA則c<bcosA，故2c2<2bccosA，結(jié)合余弦定理cosA=b得a2+c2<b2，故△ABC為鈍角三角形，故C正確；對于D，若a=2，b=3且c2+ab=a2+b2，利用余弦定理可得ab=2abcosC，解得cosC=1因?yàn)?°<C<180°，所以C=60°，所以S△ABC=12absinC=12×2×3×32=36412.π3解析由cos2C=sin2A+cos2B-sinAsinC，可得1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sinAsinC，即sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC，則由正弦定理得ac=a2+c2-b2，由余弦定理得cosB=a2+又因?yàn)锽∈(0，π)，可得B=π設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則R=b2sinB所以△ABC外接圓的面積為πR2=12π.13.83解析因?yàn)锳B=6，AD=CD=4，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以B+D=π，即cosB+cosD=0，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=36+4-2×6×2cosB=40-24cosB，在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=16+16+2×4×4cosB=32+32cosB，可得40-24cosB=32+32cosB，解得cosB=17，cosD所以sinB=sinD=4所以S四邊形ABCD=S△ABC+S=12AB·BCsinB+12AD·CDsin=1