類(lèi)型1集合及其數(shù)學(xué)思想1．交集思想許多數(shù)學(xué)問(wèn)題是求同時(shí)滿足若干個(gè)條件p1，p2，…，pn的解，如果把滿足各條件的對(duì)象表示成集合A1，A2，…，An，則Q＝A1∩A2∩…∩An就是問(wèn)題的解集．如列方程組或不等式組解應(yīng)用題等，都是運(yùn)用交集思想方法解題的具體體現(xiàn)．2．并集思想有些數(shù)學(xué)問(wèn)題需要分若干種情況討論，若將問(wèn)題分為n類(lèi)，每類(lèi)問(wèn)題的解集為A1，A2，…，An，則Q＝A1∪A2∪…∪An就是問(wèn)題的解集．3．補(bǔ)集思想“正難則反”策略是指當(dāng)某一問(wèn)題從正面解決困難時(shí)，我們可以從其反面入手解決．這種“正難則反”策略運(yùn)用的是補(bǔ)集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A．【例1】(1)已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，則?U(A∪B)＝()A．{1，3，4} B．{3，4}C．{3} D．{4}(2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______．(3)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______．(1)D(2)－1≤k≤1(3){m|m≤－1}[(1)∵A∪B＝{1，2，3}，∴?U(A∪B)＝{4}．(2)由A∪B＝A，得A?B，又B≠?，則2k?1≥?3，2k+1≤3(3)設(shè)全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝mm若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的兩根x1，x2均非負(fù)，則m∈U，x1+x∵mm≥32在U中的補(bǔ)集為{m∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤－1}．]類(lèi)型2充分條件與必要條件1．充分條件、必要條件的判斷方法定義法：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．2．判斷指定條件與結(jié)論之間關(guān)系的基本步驟：①確定條件是什么，結(jié)論是什么；②嘗試從條件推結(jié)論，從結(jié)論推條件；③確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系．3．利用充要條件可進(jìn)行命題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．【例2】(1)若a，b，c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對(duì)任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件，則a的最大值為_(kāi)______．(1)A(2)－1[(1)若a＞0且b2－4ac＜0，則對(duì)任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，則不一定成立．如a＝0，b＝0且c＞0時(shí)，也有對(duì)任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0．故選A．(2)由題意知：{x|x＜a}?{x|x＜－1，或x＞1}，所以a≤－1．]類(lèi)型3利用基本不等式求最值使用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”，特別是利用拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、分離變量、減少變?cè)葮?gòu)造定值的方法，和對(duì)等號(hào)能否成立的驗(yàn)證．【例3】(1)設(shè)a＞b＞0，則a2＋1abA．1B．2C．3D．4(2)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是__________．(1)D(2)2105[(1)a2＋1ab+1aa?b＝a2－ab＋ab＋1ab+1aa?b＝ab＋當(dāng)且僅當(dāng)ab＝1，a(a－b)＝1時(shí)等號(hào)成立．如取a＝2，b＝22(2)∵4x2＋y2＋4xy－3xy＝1，∴1＝(2x＋y)2－32·2xy≥(2x＋y)2－32·2x+y22＝58(2x∴－2105≤2x＋y≤故2x＋y的最大值為2105類(lèi)型4全稱量詞命題與存在量詞命題與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題．解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．【例4】(1)命題“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3＋1＝0”的否定是________；(2)若對(duì)任意x∈[1，2]，x2－a≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(1)對(duì)任意x∈R，x3＋1≠0(2)a≤1[(1)命題的否定為：對(duì)任意x∈R，x3＋1≠0．(2)對(duì)任意x∈[1，2]，x2－a≥0，則a≤(x2)min＝1．]章末綜合測(cè)評(píng)(一)預(yù)備知識(shí)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．命題“?x∈R，x2≥0”的否定是()A．?x∈R，x2＜0 B．?x∈R，x2≤0C．?x∈R，x2≥0 D．?x∈R，x2＜0D[命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”．故選D．]2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，則圖中陰影部分所表示的集合為()A．{1} B．{1，2}C．{3，4，5} D．{2，3，4，5}A[圖中陰影部分所表示的集合為A∩(?UB)，故選A．]3．已知集合A＝xx?2x≤0，B＝{0，1，2，3}，則A．{1，2} B．{0，1，2}C．{1} D．{1，2，3}A[∵A＝xx?2x≤0＝{x∴A∩B＝{1，2}．]4．設(shè)x∈R，則“x3＞8”是“|x|＞2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[解不等式x3＞8，得x＞2，解不等式|x|＞2，得x＞2或x＜－2，所以“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要條件．故選A．]5．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}C[因?yàn)镹＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3，或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}．故選C．]6．滿足條件M∪{1，2}＝{1，2，3}的集合M的個(gè)數(shù)是()A．4B．3C．2D．1A[∵M(jìn)∪{1，2}＝{1，2，3}，∴3∈M，且M可能含有元素1，2，∴集合M的個(gè)數(shù)為集合{1，2}子集的個(gè)數(shù)4．故選A．]7．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝3a2－4a＋6，c－b＝a2－4a＋4，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c≥b＞a B．a(chǎn)＞c≥bC．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞bA[∵c－b＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴c≥b；又b＋c＝3a2－4a＋6，∴2b＝2a2＋2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝a?122∴b＞a，∴c≥b＞a．]8．已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b≤a+3bA．4 B．16C．9 D．3B[m3a+b≤a+3bab，即又a+3b3a+bab＝3ab+3ba＋10≥2∴m≤16，故選B．]二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是()A．xx<?1，或C．x?13<BCD[因?yàn)棣ぃ絘2＋4m>0，所以函數(shù)y＝mx2－ax－1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，又m>0，所以原不等式的解集不可能是BCD．]10．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列四個(gè)命題中為假命題的是()A．若a>b，c≠0，則ac>bcB．若a>b，則ac2>bc2C．若ac2>bc2，則a>bD．若a>b>0，c>d，則ac>bdABD[A中，若a>b，c<0時(shí)，ac<bc，A錯(cuò)誤；B中，若c＝0，則有ac2＝bc2，B錯(cuò)誤；C正確；D中，只有c>d>0時(shí)，才有ac>bd，D錯(cuò)誤．故選ABD．]11．設(shè)集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和為7，則實(shí)數(shù)a的值為()A．0 B．1C．2 D．3ABC[x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，則A＝{2，a}．x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)＝0，解得x＝1或x＝4，則B＝{1，4}．當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{0，2}，B＝{1，4}，A∪B＝{0，1，2，4}，其元素之和為0＋1＋2＋4＝7；當(dāng)a＝1時(shí)，A＝{1，2}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和為1＋2＋4＝7；當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{2}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和為1＋2＋4＝7；當(dāng)a＝4時(shí)，A＝{2，4}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和為1＋2＋4＝7．則實(shí)數(shù)a的取值集合為{0，1，2，4}．綜合選項(xiàng)知選ABC．]三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12．若0＜a＜1，則不等式(a－x)x?1a＞0的解集是________xa＜x＜1a[原不等式可化為(由0＜a＜1，得a＜1a∴a＜x＜1a．13．“?x∈[0，3]，x2－a＞0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[9，＋∞)[由題意得“?x∈[0，3]，x2－a≤0”是真命題，即a≥x2，所以a≥(x2)max＝9．]14．某商家一月份至五月份累計(jì)銷(xiāo)售額達(dá)3860萬(wàn)元，六月份的銷(xiāo)售額為500萬(wàn)元，七月份的銷(xiāo)售額比六月份增加x%，八月份的銷(xiāo)售額比七月份增加x%，九、十月份的銷(xiāo)售總額與七、八月份的銷(xiāo)售總額相等，若一月份至十月份的銷(xiāo)售總額至少為7000萬(wàn)元，則x的最小值為_(kāi)_______．20[由題意得七月份的銷(xiāo)售額為500(1＋x%)，八月份的銷(xiāo)售額為500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的銷(xiāo)售總額為3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，解得1＋x%≤－115(舍去)或1＋x%≥65，即x%≥20%，所以x的最小值為20四、解答題(本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(本小題滿分13分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，試求A∩(?UB)；(2)若A∩B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解](1)當(dāng)m＝3時(shí)，由x－m＜0，得x＜3，∴B＝{x|x＜3}，∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，則?UB＝{x|3≤x＜4}，∴A∩(?UB)＝{x|3≤x＜4}．(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，由A∩B＝A得A?B，∴m≥4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，＋∞)．16．(本小題滿分15分)解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0．[解](1)原不等式化為x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集為{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式可化為(x－a)(x－1)＜0，當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解集為(1，a)；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)a＜1時(shí)，原不等式的解集為(a，1)．17．(本小題滿分15分)已知集合A＝x3?xx+1＞0，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2＜0}，p：x∈A，q：x∈B，若p是[解]由3?xx+1＞0，得－1＜x＜3，∴A＝{x|－1＜x由x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2＜0，得m－1＜x＜m＋2，∴B＝{x|m－1＜x＜m＋2}．∵p是q的必要不充分條件，∴B?A．∴m?1≥∴0≤m≤1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，∴m的取值范圍為[0，1]．18．(本小題滿分17分)已知a>0，b>0，且(a＋b)·ab＝1．(1)求1a(2)是否存在a，b，使得12a+1[解]∵a>0，b>0，且(a＋b)ab＝1，∴a＋b＝1ab又a＋b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))，∴1ab≥2ab，∴ab≤1(1)1a3+1b3≥21a3·1b(2)∵a>0，b>0，∴12a+13b≥212a·1∵63<2∴不存在a，b，使得12a+119．(本小題滿分17分)已知“?x∈{x|－1<x<1}，使等