2025年函數(shù)構(gòu)造試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.已知函數(shù)\(f(x)\)滿(mǎn)足\(f(x+1)=f(x-1)\)，且當(dāng)\(x\in[0,1]\)時(shí)，\(f(x)=x^2\)，則\(f(2.5)\)的值為（）A.\(0.25\)B.\(0.5\)C.\(1\)D.\(2.5\)答案：A2.構(gòu)造函數(shù)\(g(x)\)，使其定義域?yàn)閈((-1,1)\)，且滿(mǎn)足\(g(-x)=-g(x)\)，當(dāng)\(x\in(0,1)\)時(shí)，\(g(x)=\frac{1}{x-1}\)，則\(g(-\frac{1}{2})\)的值為（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(-\frac{2}{3}\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：B3.若函數(shù)\(h(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(h(x)=2^x+a\)，則\(h(-1)\)的值為（）A.\(-1\)B.\(1\)C.\(-2\)D.\(2\)答案：A4.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=1\)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)\(x\leq1\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則當(dāng)\(x\gt1\)時(shí)，\(f(x)\)的表達(dá)式為（）A.\(x^2-6x+8\)B.\(x^2+6x+8\)C.\(x^2-2x\)D.\(x^2+2x\)答案：A5.構(gòu)造一個(gè)周期為\(\pi\)的函數(shù)\(y=k(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)時(shí)，\(k(x)=\sinx\)，則\(k(\frac{3\pi}{4})\)的值為（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(1\)D.\(-1\)答案：A6.函數(shù)\(m(x)\)滿(mǎn)足\(m(x+2)=-m(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,2]\)時(shí)，\(m(x)=x\)，則\(m(5)\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(5\)D.\(-5\)答案：B7.已知函數(shù)\(n(x)\)的定義域?yàn)閈(R\)，且\(n(x+3)=n(x)\)，當(dāng)\(x\in[-1,2]\)時(shí)，\(n(x)=x^3\)，則\(n(4)\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(8\)D.\(-8\)答案：A8.構(gòu)造函數(shù)\(p(x)\)，它是偶函數(shù)，定義域?yàn)閈(R\)，當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(p(x)=2^x-1\)，則\(p(-1)\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：C9.函數(shù)\(q(x)\)滿(mǎn)足\(q(x+4)=q(x)\)，且\(q(x)\)是奇函數(shù)，當(dāng)\(x\in[0,2]\)時(shí)，\(q(x)=x^2\)，則\(q(-3)\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(9\)D.\(-9\)答案：B10.已知函數(shù)\(r(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((1,0)\)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)\(x\lt1\)時(shí)，\(r(x)=2x+1\)，則當(dāng)\(x\gt1\)時(shí)，\(r(x)\)的表達(dá)式為（）A.\(-2x+5\)B.\(2x-5\)C.\(-2x-5\)D.\(2x+5\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.以下函數(shù)構(gòu)造方式正確的有（）A.已知\(f(x)\)，構(gòu)造\(g(x)=f(x+1)\)，則\(g(x)\)的圖象是\(f(x)\)的圖象向左平移\(1\)個(gè)單位得到B.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，構(gòu)造\(h(x)=f(x-2)\)，則\(h(x)\)也是偶函數(shù)C.對(duì)于函數(shù)\(y=f(x)\)，構(gòu)造\(k(x)=-f(x)\)，則\(k(x)\)與\(f(x)\)的圖象關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱(chēng)D.已知\(f(x)\)，構(gòu)造\(m(x)=f(-x)\)，則\(m(x)\)與\(f(x)\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱(chēng)答案：ACD2.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(R\)，以下能構(gòu)造出周期函數(shù)的是（）A.\(g(x)=f(x+a)+f(x-a)\)（\(a\)為非零常數(shù)）B.\(h(x)=f(x+a)-f(x)\)（\(a\)為非零常數(shù)），且\(h(x+a)=h(x)\)C.\(k(x)=f(x+a)f(x-a)\)（\(a\)為非零常數(shù)）D.\(m(x)=\frac{1}{f(x+a)}\)（\(a\)為非零常數(shù)），且\(f(x)\neq0\)答案：AB3.已知函數(shù)\(y=f(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,2]\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，以下構(gòu)造函數(shù)正確的是（）A.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，當(dāng)\(x\in[-2,0]\)時(shí)，\(f(x)=x^2+2x\)B.若\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=2\)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)\(x\in[2,4]\)時(shí)，\(f(x)=(x-4)^2-2(x-4)\)C.若\(f(x)\)是周期為\(4\)的函數(shù)，當(dāng)\(x\in[4,6]\)時(shí)，\(f(x)=(x-4)^2-2(x-4)\)D.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，當(dāng)\(x\in[-2,0]\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-2x\)答案：ABCD4.下列關(guān)于函數(shù)構(gòu)造與性質(zhì)的說(shuō)法正確的是（）A.構(gòu)造函數(shù)\(f(x)\)，若\(f(x+2)=f(2-x)\)，則\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=2\)對(duì)稱(chēng)B.構(gòu)造奇函數(shù)\(g(x)\)，若\(g(x)\)在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則\(g(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞增C.構(gòu)造偶函數(shù)\(h(x)\)，若\(h(x)\)在\((-\infty,0]\)上單調(diào)遞減，則\(h(x)\)在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.若函數(shù)\(k(x)\)滿(mǎn)足\(k(x+T)=k(x)\)（\(T\neq0\)），則\(k(x)\)是周期函數(shù)答案：ABD5.已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(R\)，且\(f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((a,0)\)對(duì)稱(chēng)（\(a\neq0\)），以下構(gòu)造函數(shù)正確的是（）A.令\(g(x)=f(x+a)\)，則\(g(x)\)是奇函數(shù)B.令\(h(x)=f(x)-f(2a-x)\)，則\(h(x)\)是奇函數(shù)C.令\(k(x)=f(x+a)+f(a-x)\)，則\(k(x)=0\)D.令\(m(x)=f(x)-f(x+2a)\)，則\(m(x)\)是周期為\(2a\)的函數(shù)答案：ABC6.構(gòu)造函數(shù)\(y=f(x)\)，使其滿(mǎn)足以下條件，可行的構(gòu)造方法有（）A.構(gòu)造一個(gè)定義域?yàn)閈(R\)的奇函數(shù)\(f(x)\)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^3+1\)，則當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)=-x^3-1\)B.構(gòu)造一個(gè)周期為\(2\)的函數(shù)\(f(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,2]\)時(shí)，\(f(x)=x(2-x)\)，則當(dāng)\(x\in[2,4]\)時(shí)，\(f(x)=(x-2)(4-x)\)C.構(gòu)造一個(gè)偶函數(shù)\(f(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,+\infty)\)時(shí)，\(f(x)=e^x\)，則當(dāng)\(x\in(-\infty,0]\)時(shí)，\(f(x)=e^{-x}\)D.構(gòu)造一個(gè)函數(shù)\(f(x)\)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=1\)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)\(x\leq1\)時(shí)，\(f(x)=x^2\)，則當(dāng)\(x\gt1\)時(shí)，\(f(x)=(x-2)^2\)答案：ABCD7.以下關(guān)于函數(shù)構(gòu)造與變換的說(shuō)法正確的是（）A.將函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象向上平移\(k\)個(gè)單位，得到函數(shù)\(y=f(x)+k\)的圖象B.將函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象沿\(x\)軸方向伸長(zhǎng)為原來(lái)的\(m\)倍（\(m\gt1\)），得到函數(shù)\(y=f(\frac{x}{m})\)的圖象C.將函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱(chēng)，得到函數(shù)\(y=f(-x)\)的圖象D.將函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得到函數(shù)\(y=-f(-x)\)的圖象答案：ABCD8.已知函數(shù)\(f(x)\)滿(mǎn)足\(f(x+3)=-\frac{1}{f(x)}\)，則（）A.\(f(x)\)是周期函數(shù)B.\(f(x)\)的周期為\(6\)C.\(f(x+6)=f(x)\)D.\(f(x+3)=f(x-3)\)答案：ABC9.構(gòu)造函數(shù)\(f(x)\)，其定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)，且滿(mǎn)足\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.\(f(1)=0\)B.\(f(x^2)=2f(x)\)C.若\(f(2)=a\)，則\(f(8)=3a\)D.\(f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)\)答案：ABCD10.對(duì)于函數(shù)\(f(x)\)和\(g(x)\)，以下構(gòu)造函數(shù)正確的是（）A.構(gòu)造\(h(x)=f(x)g(x)\)，若\(f(x)\)和\(g(x)\)都是偶函數(shù)，則\(h(x)\)是偶函數(shù)B.構(gòu)造\(k(x)=f(x)+g(x)\)，若\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(g(x)\)是偶函數(shù)，則\(k(x)\)非奇非偶C.構(gòu)造\(m(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x)\neq0\)），若\(f(x)\)和\(g(x)\)都是奇函數(shù)，則\(m(x)\)是偶函數(shù)D.構(gòu)造\(n(x)=f(g(x))\)，若\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(g(x)\)是偶函數(shù)，則\(n(x)\)是偶函數(shù)答案：ABCD三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)滿(mǎn)足\(f(x+2)=f(x)\)，則\(f(x)\)的周期是\(2\)。（√）2.構(gòu)造函數(shù)\(g(x)\)，若\(g(x)\)的圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=a\)對(duì)稱(chēng)，則\(g(a+x)=g(a-x)\)。（√）3.已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，構(gòu)造\(h(x)=f(x)+1\)，則\(h(x)\)也是奇函數(shù)。（×）4.若函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)對(duì)稱(chēng)，則\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)。（√）5.構(gòu)造函數(shù)\(k(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,1]\)時(shí)，\(k(x)=x\)，若\(k(x)\)是偶函數(shù)，則當(dāng)\(x\in[-1,0]\)時(shí)，\(k(x)=-x\)。（×）6.函數(shù)\(m(x)\)滿(mǎn)足\(m(x+4)=-m(x)\)，則\(m(x)\)的周期是\(4\)。（×）7.已知\(f(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞增，構(gòu)造\(n(x)=-f(x)\)，則\(n(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞減。（√）8.構(gòu)造函數(shù)\(p(x)\)，若\(p(x)\)是周期函數(shù)且周期為\(T\)，則\(p(x+nT)=p(x)\)（\(n\inZ\)）。（√）9.若函數(shù)\(q(x)\)滿(mǎn)足\(q(x+a)=q(x-a)\)（\(a\neq0\)），則\(q(x)\)的周期是\(2a\)。（√）10.構(gòu)造函數(shù)\(r(x)\)，當(dāng)\(x\in[0,+\infty)\)時(shí)，\(r(x)=x^2\)，若\(r(x)\)是奇函數(shù)，則當(dāng)\(x\in(-\infty,0]\)時(shí)，\(r(x)=-x^2\)。（√）四、簡(jiǎn)答題1.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，求當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)\(f(x)\)的表達(dá)式。答案：因?yàn)閈(f(x)\)是偶函數(shù)，所以\(f(x)=f(-x)\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(-x\gt0\)，已知當(dāng)\(x