課時1平面向量的概念與線性運算一、課標(biāo)要求1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義，理解平面向量的幾何表示和基本要素.2.(1)借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義.(2)通過實例分析，掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義.(3)了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.二、知識梳理1.平面向量的相關(guān)概念名稱定義表示方法注意事項向量既有又有的量叫作向量；向量的大小叫作向量的或；模或平面向量是向量零向量長度等于的向量，方向是記作零向量的方向是任意的單位向量長度等于的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向的非零向量a與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量又叫共線向量相等向量的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量的向量的相反向量為向量的線性運算（1）向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其幾何意義、運算律向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量的和的運算三角形法則平行四邊形法則加法交換律:加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量-b的和的運算法則a-b=a+(-b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(2)當(dāng)＞0時,的方向與a的方向;當(dāng)時,λa的方向與a的方向;當(dāng)時,λa=0λ(μa)=(λμ)a(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b)=λa+λb（2）共線向量定理名稱內(nèi)容注意事項共線定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)，使得限定a≠0的目的是保證實數(shù)λ的存在性和唯一性【拓展知識】1.首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．2.若P為線段AB的中點,O為平面內(nèi)任意一點,則.3.(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.4．若G為△ABC的重心，則有：(1)eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；(2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．5．對于任意兩個向量a，b，都有：(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．三、基礎(chǔ)回顧1.判斷正誤.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．()(2)兩個單位向量一定是相等向量．()(3)若兩個共線向量模相等，則這兩個向量相等．()(4)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．()2.(教材改編)已知平面內(nèi)一點P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up9(→))＋eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))，則點P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點P在線段AB上B．點P在線段BC上C．點P在線段AC上D．點P在△ABC外部3.(多選題)如圖，在△ABC中，已知D，E分別為邊BC，AC的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則()A．B．C．D．4.已知e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2.若M，N，P三點共線，則λ＝________.四、考點掃描考點一平面向量的概念例1（1）在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，M，N分別為邊AB與CD的中點，則在以A，B，C，D，M，N為起點與終點的所有向量中，相等向量的對數(shù)為()A．9B．11C．18D．24（2）(多選)（2024·江蘇泰州市姜堰中學(xué)月考）下列說法正確的有()A．若a＝b，b＝c，則a＝cB．若四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是平行四邊形C．若兩個向量都與同一個向量共線，則這兩個向量共線D．與非零向量a共線的單位向量為±eq\f(a,|a|)規(guī)律方法：對點訓(xùn)練（1）如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則下列等式成立的為()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D.eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))（2）（多選題）（2024·山東濱州市模擬）下列關(guān)于向量的說法正確的有()A．若|a|＝0，則a＝0B．若eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一條直線上C．對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a∥b，則存在唯一實數(shù)λ，使得a＝λb考點二平面向量的線性運算考向1線性運算的幾何意義例2（1）（多選題）(2024·山東聊城市模擬)設(shè)M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的有()A．若eq\o(AM,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))，則點M是邊BC的中點B．若eq\o(AM,\s\up9(→))＝2eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\o(AC,\s\up9(→))，則點M在邊BC的延長線上C．若eq\o(AM,\s\up9(→))＝－eq\o(BM,\s\up9(→))－eq\o(CM,\s\up9(→))，則點M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AC,\s\up9(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC的面積的eq\f(1,2)（2）(2024·天津市靜海一中期末)已知O是△ABC內(nèi)部一點，且滿足eq\o(OA,\s\up9(→))＋2eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))＝0，△AOB的面積為S1，△AOC的面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝．考向2線性運算例3（1）(2024·江蘇連云港市模擬)在等邊三角形ABC中，O為重心，D是線段OB的中點，則eq\o(AD,\s\up9(→))＝()A．eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AC,\s\up9(→)) B．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up9(→)) D．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up9(→))（多選題）已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且eq\o(BC,\s\up9(→))＝a，eq\o(CA,\s\up9(→))＝b，則下列命題為真命題的有（）A.eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)a－bB.eq\o(BE,\s\up9(→))＝a＋eq\f(1,2)bC.eq\o(CF,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bD.eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(BE,\s\up9(→))＋eq\o(CF,\s\up9(→))＝0.對點訓(xùn)練（1）在△ABC中，點D在邊AB上，且BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))=()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n（2）在△ABC中，eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up9(→)).若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AC,\s\up9(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up9(→))＝()A．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b（3）若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝7，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[3,7] B．(3,7)C．[3,11] D．(3,11)考向3線性運算的應(yīng)用例4（1）已知O是正方形ABCD的中心．若eq\o(DO,\s\up9(→))＝λeq\o(AB,\s\up9(→))＋μeq\o(AC,\s\up9(→))，其中λ，μ∈R，則eq\f(λ,μ)＝()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．－eq\r(2) D．eq\r(2)（2）(2024·云南玉溪市高三期末)趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成).類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)eq\o(AD,\s\up9(→))＝λeq\o(AB,\s\up9(→))＋μeq\o(AC,\s\up9(→))，若eq\o(AD,\s\up9(→))＝4eq\o(AF,\s\up9(→))，則λ＋2μ的值為．（3）設(shè)M是△ABC所在平面內(nèi)一點，且eq\o(MB,\s\up9(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up9(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up9(→))＝0，D是邊AC的中點，則eq\f(|\o(DM,\s\up9(→))|,|\o(BM,\s\up9(→))|)＝．規(guī)律方法：對點訓(xùn)練（1）已知M是△ABC內(nèi)的一點，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ=()A.eq\f(7,6)B．1C.eq\f(5,6)D.eq\f(1,3)（2）(2024·河南安陽市模擬)已知矩形ABCD的對角線交于點O，E為線段AO的中點.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則λ2－μ2=()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(7,9)C.eq\f(3－2\r(2),2) D.eq\f(1＋\r(2),2)考點三向量共線定理的應(yīng)用例5（1）（2024·山東濟南市模擬）已知平面向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\