線代試題及答案講解

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(\vertA\vert=\)（）-A.-2-B.2-C.10-D.-10答案：A。計算二階行列式\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。2.若向量組\(\alpha_{1}=(1,0,0)\)，\(\alpha_{2}=(0,1,0)\)，\(\alpha_{3}=(0,0,1)\)，則該向量組（）-A.線性相關(guān)-B.線性無關(guān)-C.秩為2-D.無法確定答案：B。因為不存在不全為零的數(shù)\(k_{1},k_{2},k_{3}\)使得\(k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3}=0\)。3.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(AB=BA\)，\(B\)為同階方陣，則稱\(B\)與\(A\)（）-A.相似-B.合同-C.可交換-D.等價答案：C。根據(jù)可交換矩陣的定義。4.對于齊次線性方程組\(Ax=0\)，若\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），則方程組（）-A.有無窮多解-B.有唯一解-C.僅有零解-D.無解答案：C。當(dāng)\(r(A)=n\)時，齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解。5.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，則\(A\)的特征值為（）-A.1,2,3-B.-1,-2,-3-C.0,1,2-D.1,0,0答案：A。對角矩陣的特征值就是其對角線上的元素。6.若\(n\)階方陣\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^{}\)與\(A^{-1}\)的關(guān)系是（）-A.\(A^{}=A^{-1}\)-B.\(A^{}=\vertA\vertA^{-1}\)-C.\(A^{-1}=\vertA\vertA^{}\)-D.\(A^{}=-A^{-1}\)答案：B。根據(jù)伴隨矩陣與逆矩陣的關(guān)系\(A^{}=\vertA\vertA^{-1}\)。7.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，則當(dāng)\(m>n\)時，矩陣\(AB\)的行列式（）-A.\(\vertAB\vert=0\)-B.\(\vertAB\vert\neq0\)-C.\(\vertAB\vert>0\)-D.\(\vertAB\vert<0\)答案：A。因為\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\leqn<m\)，所以\(\vertAB\vert=0\)。8.設(shè)向量\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(4,5,6)\)，則\(\alpha\cdot\beta=\)（）-A.32-B.30-C.28-D.26答案：A。\(\alpha\cdot\beta=1\times4+2\times5+3\times6=32\)。9.矩陣\(A\)的行最簡形矩陣是唯一的，其列最簡形矩陣（）-A.不唯一-B.唯一-C.有時唯一，有時不唯一-D.不存在答案：B。矩陣的列最簡形矩陣也是唯一的。10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，\(x\)為對應(yīng)的特征向量，則\(Ax=\)（）-A.\(\lambdax\)-B.\(\lambdaA\)-C.\(x\lambda\)-D.\(A\lambda\)答案：A。根據(jù)特征值與特征向量的定義。二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于矩陣的秩的說法正確的是（）-A.\(r(A)=r(A^{T})\)-B.若\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)-C.若\(A\)可逆，則\(r(A)=n\)（\(A\)為\(n\)階方陣）-D.若\(A\)為零矩陣，則\(r(A)=0\)答案：ABCD。這些都是矩陣秩的基本性質(zhì)。2.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\)成立的條件是（）-A.\(A=B\)-B.\(AB=BA\)-C.\(A=E\)（\(E\)為單位矩陣）-D.\(B=E\)答案：B。只有當(dāng)\(AB=BA\)時，\((A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\)。3.下列向量組中，線性相關(guān)的向量組是（）-A.\((1,2),(2,4)\)-B.\((1,0),(0,1),(1,1)\)-C.\((1,1,1),(1,2,3),(2,3,4)\)-D.\((1,-1,0),(0,1,-1),(-1,0,1)\)答案：A。因為\((2,4)=2\times(1,2)\)，所以向量組\((1,2),(2,4)\)線性相關(guān)。4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則以下關(guān)于特征值的性質(zhì)正確的是（）-A.\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)為常數(shù)）-B.\(\lambda^{n}\)是\(A^{n}\)的特征值-C.若\(A\)可逆，則\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值-D.\(\lambda+1\)是\(A+E\)的特征值（\(E\)為單位矩陣）答案：ABCD。這些都是特征值的基本性質(zhì)。5.對于非齊次線性方程組\(Ax=b\)，設(shè)\(r(A)=r(A,b)=r\)，\(n\)為未知數(shù)個數(shù)，則（）-A.當(dāng)\(r=n\)時，方程組有唯一解-B.當(dāng)\(r<n\)時，方程組有無窮多解-C.當(dāng)\(r>n\)時，方程組無解-D.當(dāng)\(r=n\)時，方程組可能無解答案：AB。根據(jù)非齊次線性方程組解的判定定理。6.設(shè)\(A,B,C\)為同階方陣，則下列等式正確的是（）-A.\((AB)C=A(BC)\)-B.\(A(B+C)=AB+AC\)-C.\((A+B)C=AC+BC\)-D.\(A(B-C)=AB-AC\)答案：ABCD。這些都是矩陣乘法的分配律和結(jié)合律。7.設(shè)\(\alpha=(a_{1},a_{2},a_{3})\)，\(\beta=(b_{1},b_{2},b_{3})\)，則\(\alpha\)與\(\beta\)正交的充分必要條件是（）-A.\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0\)-B.\(\alpha^{T}\beta=0\)-C.\(\beta^{T}\alpha=0\)-D.\(\vert\alpha-\beta\vert=\vert\alpha+\beta\vert\)答案：ABC。\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0\)、\(\alpha^{T}\beta=0\)、\(\beta^{T}\alpha=0\)都表示\(\alpha\)與\(\beta\)正交，而\(\vert\alpha-\beta\vert=\vert\alpha+\beta\vert\)等價于\(\alpha\cdot\beta=0\)。8.設(shè)\(A\)是\(3\times3\)矩陣，\(r(A)=2\)，則（）-A.\(A\)的行向量組線性相關(guān)-B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)-C.\(A\)的三階子式全為零-D.\(A\)的二階子式不全為零答案：ABCD。\(r(A)=2<3\)，所以行向量組和列向量組線性相關(guān)，三階子式全為零，二階子式不全為零。9.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則（）-A.\(A\)可逆-B.\(A\)的特征值為\(1\)（二重）-C.\(A\)的特征向量為\((k,0)^{T}(k\neq0)\)-D.\(A\)的逆矩陣為\(\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\)答案：ABD。\(A\)的特征值為\(1\)（二重），對應(yīng)的特征向量為\((k,0)^{T}(k\neq0)\)錯誤，\(A\)可逆，\(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\)。10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，以下關(guān)于方陣\(A\)的說法正確的是（）-A.若\(A\)為對稱矩陣，則\(A=A^{T}\)-B.若\(A\)為反對稱矩陣，則\(A=-A^{T}\)-C.若\(A\)為正交矩陣，則\(A^{T}A=AA^{T}=E\)-D.若\(A\)為冪等矩陣，則\(A^{2}=A\)答案：ABCD。這些都是對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣和冪等矩陣的定義。三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組線性相關(guān)。（）答案：對。\(\vertA\vert=0\)等價于\(r(A)<n\)，則行向量組線性相關(guān)。2.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則\(\vertA+B\vert=\vertA\vert+\vertB\vert\)。（）答案：錯。一般情況下\(\vertA+B\vert\neq\vertA\vert+\vertB\vert\)。3.若向量組\(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\)線性無關(guān)，則向量組\(\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{3}+\alpha_{1}\)也線性無關(guān)。（）答案：對。假設(shè)存在一組數(shù)\(k_{1},k_{2},k_{3}\)使得\(k_{1}(\alpha_{1}+\alpha_{2})+k_{2}(\alpha_{2}+\alpha_{3})+k_{3}(\alpha_{3}+\alpha_{1})=0\)，可推出\(k_{1}=k_{2}=k_{3}=0\)。4.對于任意\(n\)階方陣\(A\)，都有\(zhòng)(A^{T}A=AA^{T}\)。（）答案：錯。只有當(dāng)\(A\)為對稱矩陣時才有\(zhòng)(A^{T}A=AA^{T}\)。5.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)的特征值全為零，則\(A=0\)。（）答案：錯。例如\(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)特征值全為零，但\(A\neq0\)。6.若\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，且\(m>n\)，則\(AB\)一定不可逆。（）答案：對。因為\(r(AB)\leqn<m\)，所以\(\vertAB\vert=0\)，\(AB\)不可逆。7.設(shè)\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(4,5,6)\)，則\(2\alpha-3\beta=(-10,-11,-12)\)。（）答案：對。\(2\alpha=(2,4,6)\)，\(3\beta=(12,15,18)\)，\(2\alpha-3\beta=(2-12,4-15,6-18)=(-10,-11,-12)\)。8.若\(A\)是\(n\)階正交矩陣，則\(\vertA\vert=\pm1\)。（）答案：對。因為\(A^{T}A=AA^{T}=E\)，所以\(\vert