高中數(shù)學數(shù)列的概念選擇題專項訓練練習題含答案一、數(shù)列的概念選擇題1．已知數(shù)列滿足，且，則的最小值為（）A．21 B．10 C． D．答案：C解析：C【分析】由累加法求出，所以，設，由此能導出或時有最小值，借此能得到的最小值.【詳解】解：所以設，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，又因為，所以當或時可能取到最小值.又因為，所以的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及對勾函數(shù)的單調(diào)性，考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力.2．下列命題中錯誤的是（）A．是數(shù)列的一個通項公式B．數(shù)列通項公式是一個函數(shù)關(guān)系式C．任何一個數(shù)列中的項都可以用通項公式來表示D．數(shù)列中有無窮多項的數(shù)列叫作無窮數(shù)列答案：C解析：C【分析】根據(jù)通項公式的概念可以判定AB正確；不難找到一些規(guī)律性不強的數(shù)列，找不到通項公式，由此判定C錯誤，根據(jù)無窮數(shù)列的概念可以判定D正確.【詳解】數(shù)列的通項公式的概念：將數(shù)列的第項用一個具體式子（含有參數(shù)）表示出來，稱作該數(shù)列的通項公式，故任意一個定義域為正整數(shù)集合的或者是其從1開始的一個子集的函數(shù)都可以是數(shù)列的通項公式，它是一個函數(shù)關(guān)系，即對于任意給定的數(shù)列，各項的值是由n唯一確定的，故AB正確；并不是所有的數(shù)列中的項都可以用一個通項公式來表示，比如所有的質(zhì)數(shù)從小到大排在一起構(gòu)成的數(shù)列，至今沒有發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一可行的公式表示，圓周率的各位數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列也沒有一個通項公式可以表達，還有很多規(guī)律性不強的數(shù)列也找不到通項公式，故C是錯誤的；根據(jù)無窮數(shù)列的概念，可知D是正確的.故選:C.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的概念和無窮數(shù)列的概念，屬基礎題，數(shù)列的通項公式是一種定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有窮數(shù)列與無窮數(shù)列是根據(jù)數(shù)列的項數(shù)來分類的.3．在數(shù)列中，，則=（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系式以及求出，進而得出．【詳解】，，故選：B4．設數(shù)列的通項公式為，要使它的前項的乘積大于36，則的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．9答案：C解析：C【分析】先求出數(shù)列的前項的乘積為，令解不等式，結(jié)合，即可求解.【詳解】記數(shù)列的前項的乘積為，則依題意有整理得解得：，因為，所以，故選：C5．大衍數(shù)列，來源于《乾坤普》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中太極衍生原理．數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩翼數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……則此數(shù)列的第40項為（）．A．648 B．722 C．800 D．882答案：C解析：C【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶數(shù)項的通項公式：，即可得出．【詳解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶數(shù)項的通項公式：．則此數(shù)列第40項為．故選：C6．設表示的個位數(shù)字，則數(shù)列的第38項至第69項之和（）A．180 B．160 C．150 D．140答案：B解析：B【分析】根據(jù)題意可得為的個位數(shù)為的個位數(shù)，而的個位是以為周期，的個位數(shù)是以為周期，即可求和.【詳解】由為的個位數(shù)，可得為的個位數(shù)，而的個位是以為周期，的個位數(shù)是以為周期，所以的個位數(shù)是以為周期，即的個位數(shù)是以為周期，第38項至第69項共32項，共8個周期，所以.故選：B7．若數(shù)列{an}滿足，則的值為（）A．2 B．－3 C． D．答案：D解析：D【分析】分別求出，得到數(shù)列是周期為4的數(shù)列，利用周期性即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，，，，，…，因此數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，∴.故選D.【點睛】本題主要考查的是通過觀察法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎題.8．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項為（）A．174 B．184 C．188 D．160答案：A解析：A【分析】根據(jù)已知條件求得，利用累加法求得.【詳解】依題意：所以（），且，所以.所以.故選：A【點睛】本小題主要考查累加法，屬于中檔題.9．在數(shù)列中，，()，則（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】通過遞推公式求出可得數(shù)列是周期數(shù)列，根據(jù)周期即可得答案.【詳解】解：，，，則數(shù)列周期數(shù)列，滿足，，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性，考查遞推公式的應用，是基礎題.10．已知數(shù)列的通項公式為（），若為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由已知得，根據(jù)為遞增數(shù)列，所以有，建立關(guān)于的不等式，解之可得的取值范圍.【詳解】由已知得，因為為遞增數(shù)列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：遞增性，根據(jù)已知得出是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于基礎題.11．數(shù)列中，，，則（）A．511 B．513 C．1025 D．1024答案：B解析：B【分析】根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，求解出的通項公式即可求解出的值.【詳解】因為，所以，所以，所以且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選：B.【點睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項公式，難度一般.對于求解滿足的數(shù)列的通項公式，可以采用構(gòu)造等比數(shù)列的方法進行求解.12．已知數(shù)列滿足，且對任意的都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是增數(shù)列，結(jié)合通項公式，列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為對任意的都有，則數(shù)列單調(diào)遞增；又，所以只需，即，解得.故選：D.【點睛】本題主要考查由數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)，屬于基礎題型.13．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列命題錯誤的是A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】，則，兩式相減得到A正確；由A選項得到==進而得到B正確；同理可得到C錯誤；由得到進而D正確.【詳解】已知，則，兩式相減得到，故A正確；根據(jù)A選項得到==，故B正確；===，故C不正確；根據(jù)故D正確.故答案為C.【點睛】這個題目考查了數(shù)列的應用，根據(jù)題干中所給的條件進行推廣，屬于中檔題，這類題目不是常規(guī)的等差或者等比數(shù)列，要善于發(fā)現(xiàn)題干中所給的條件，應用選項中正確的結(jié)論進行其它條件的推廣.14．已知數(shù)列的前n項和為，則()A．10 B．8 C．6 D．4答案：D解析：D【分析】根據(jù)，代入即可得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題主要考查了由數(shù)列的前項和求數(shù)列中的項，屬于基礎題.15．已知數(shù)列，若，則稱數(shù)列為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列為“凸數(shù)列”，且，，則數(shù)列的前2020項和為（）A．5 B． C．0 D．答案：B解析：B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可求得數(shù)的周期為，即可求得數(shù)列的前2020項和.【詳解】，且，，是以為周期的周期數(shù)列，且，，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義、數(shù)列求和，考查運算求解能力，求解時注意通過計算數(shù)列的前6項，得到數(shù)列的周期.二、數(shù)列多選題16．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，…其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，記為數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對遞推關(guān)系進行適當?shù)淖冃?，利用累加法即可判斷C，D的正誤．【詳解】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，解析：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對遞推關(guān)系進行適當?shù)淖冃?，利用累加法即可判斷C，D的正誤．【詳解】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，，…，，可得，故C正確；對D，該數(shù)列總有，，則，，…，，，，故，故D正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是對CD的判斷，即要善于利用對所給式子進行變形.17．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項的值可能為（）A． B． C． D．答案：ABC【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項的所有可能值，判斷選項即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計算得，，，，，因此繼續(xù)下去會循環(huán)解析：ABC【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項的所有可能值，判斷選項即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計算得，，，，，因此繼續(xù)下去會循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：ABC.【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式的應用和周期數(shù)列，屬于基礎題.18．設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為答案：AD【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項.【詳解】①,與題設矛盾.②符合題意.③與題設矛盾.④與題設矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.【點睛】解析：AD【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項.【詳解】①,與題設矛盾.②符合題意.③與題設矛盾.④與題設矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯誤.故選：AD.【點睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)及概念.補充：等比數(shù)列的通項公式：.19．設數(shù)列的前項和為，關(guān)于數(shù)列，下列四個命題中正確的是（）A．若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若(，為常數(shù)，)，則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若是等差數(shù)列，則，，也成等差數(shù)列答案：BCD【分析】利用等差等比數(shù)列的定義及性質(zhì)對選項判斷得解.【詳解】選項A:,得是等差數(shù)列，當時不是等比數(shù)列，故錯;選項B:,,得是等差數(shù)列，故對;選項C:,,當時也成立，是等比數(shù)列解析：BCD【分析】利用等差等比數(shù)列的定義及性質(zhì)對選項判斷得解.【詳解】選項A:,得是等差數(shù)列，當時不是等比數(shù)列，故錯;選項B:,,得是等差數(shù)列，故對;選項C:,,當時也成立，是等比數(shù)列，故對;選項D:是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)得，，是等差數(shù)列，故對;故選：BCD【點睛】熟練運用等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、前項和公式是解題關(guān)鍵.20．已知正項數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項依次為，，，則D．數(shù)列為遞減的等差數(shù)列答案：AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，所以為等差數(shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；解析：AC【分析】令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯誤.【詳解】令，則，因為，所以為等差數(shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因為，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯誤.故選：AC.【點睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法；1、作差比較法：根據(jù)的符號，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應的函數(shù)的圖象直觀判斷.21．已知數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)1＝3 B．若d＝1，則an＝n2+2n C．a(chǎn)2可能為6 D．a(chǎn)1，a2，a3可能成等差數(shù)列答案：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝解析：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝6.因為a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差數(shù)列，則a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得.故選ACD22．朱世杰是元代著名數(shù)學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8答案：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設首項即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設首項即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設首項即第一層的根數(shù)為，公差為，設一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因為，所以為200的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗證可知滿足題意.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學生的邏輯推理能力與運算求解能力，屬于基礎題.23．設是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．與均為的最大值答案：BD【分析】設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，，即，可得，解析：BD【分析】設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎題.24．設d為正項等差數(shù)列的公差，若，，則（）A． B． C． D．答案：ABC【