6/6合情推理一、選擇題1．如圖2－1－5為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色()圖2－1－5A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大【解析】由圖知，珠子三白二黑周而復(fù)始，相繼排列，因為36÷5＝7余1，所以第36顆珠子的顏色與第一顆珠子的顏色相同，即為白色，故選A.【答案】A2．觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A．76 B．80C．86 D．92【解析】由題意知|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，則可歸納出等式右端值與不同整數(shù)解的個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，且解的個數(shù)為等式值的4倍，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.【答案】B3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于()A.eq\f(2,n＋12) B.eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(2,2n－1) D.eq\f(2,2n－1)【解析】由a1＝1，S2＝22·a2＝a1＋a2得a2＝eq\f(1,3)，又a1＋a2＋a3＝9×a3得a3＝eq\f(1,6)，且a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4得a4＝eq\f(1,10)…猜想an＝eq\f(2,nn＋1).【答案】B4．已知集合A＝{3m＋2n|m>n且m，n∈N}，若將集合A中的數(shù)按從小到大排成數(shù)列{an}，則有a1＝31＋2×0＝3，a2＝32＋2×0＝9，a3＝32＋2×1＝11，a4＝33＝27，…，依次類推，將數(shù)列依次排成如圖2－1－5所示的三角形數(shù)陣，則第六行第三個數(shù)為()a1a2a3a4a5a6…圖2－1－5A．247 B．735C．733 D．731【解析】由條件可以看出，第s行第t個數(shù)是3s＋2(t－1)，所以第六行第三個數(shù)應(yīng)為36＋2×(3－1)＝729＋4＝733.【答案】C5．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，則52011的末四位數(shù)字為()A．3125 B．5625C．0625 D．8125【解析】∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58末四位數(shù)字為0625,59末四位數(shù)字為3125,510末四位數(shù)字為5625,511末四位數(shù)字為8125,512末四位數(shù)字為0625，…，由上可得末四位數(shù)字周期為4，呈規(guī)律性交替出現(xiàn)，∴52011＝54×501＋7末四位數(shù)字為8125.【答案】D二、填空題6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2·eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3·eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4·eq\r(\f(4,15))，….若eq\r(8＋\f(a,t))＝8·eq\r(\f(a,t))(a，t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推測a，t的值，則a＋t＝________.【解析】由所給等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.【答案】717．觀察下列等式：eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＝1－eq\f(1,3×22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＝1－eq\f(1,4×23)，……，由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：對于n∈N＋，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋…＋eq\f(n＋2,nn＋1)×eq\f(1,2n)＝________.【解析】觀察所給等式知，第n個等式的右邊為1－eq\f(1,n＋1×2n).【答案】1－eq\f(1,n＋1×2n)8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，將此結(jié)論類比到空間，得到相類似的結(jié)論為：________.【解析】利用類比推理，可把Rt△ABC類比為三棱錐P－ABC，且PA，PB，PC兩兩垂直，當PA＝a，PB＝b，PC＝c時，其外接球半徑為R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).【答案】在三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，則三棱錐P－ABC的外接球的半徑為R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)三、解答題9．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖2－1－6(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形．圖2－1－6(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f(n)的表達式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，……f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.10．在平面幾何中，研究正三角形內(nèi)任意一點與三邊的關(guān)系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和是定值eq\f(\r(3),2)a.類比上述命題，請你寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點與四個面的關(guān)系的一個真命題，并給出簡要的證明．【解】類比所得的真命題是：棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和是定值eq\f(\r(6),3)a.證明：設(shè)M是正四面體P－ABC內(nèi)任一點，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四面體四個面的面積相等，故有：VP－ABC＝VM－ABC＋VM－PAB＋VM－PAC＋VM－PBC＝eq\f(1,3)·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，VP－ABC＝eq\f(\r(2),12)a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝eq\f(\r(6),3)a(定值)．11．(1)下圖(a)，圖(b)，圖(c)，圖(d)，為四個平面圖形．數(shù)一數(shù)，每個平面圖形各有多少個頂點？多少條邊？它們圍成了多少個區(qū)域？請將結(jié)果填入下表中．(a)(b)(c)(d)頂點個數(shù)邊的條數(shù)區(qū)域個數(shù)(a)(b)(c)(d)(2)觀察上表，推斷一個平面圖形的頂點個數(shù)、邊的條數(shù)、區(qū)域個數(shù)之間有什么關(guān)系．(3)現(xiàn)已知某個平面圖形有999個頂點，且圍成了999個區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個圖有多少條邊．【解】(1)各平面圖形的頂點個數(shù)、邊的條數(shù)、區(qū)域個數(shù)