追及相遇問題

目標要求1.掌握處理追及相遇問題的方法和技巧。2.會在圖像中分析追及相遇問題。3.熟練運用運動學公式

結(jié)合運動學圖像解決追及相遇的綜合問題。

考點一追及相遇問題

追及相遇問題的實質(zhì)就是分析兩物體在相同時間內(nèi)能否到達相同的空間位置。

追及相遇問題的基本物理模型：(以甲追乙為例)

1.二者距離變化與速度大小的關(guān)系

(1)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲<v乙，甲、乙間的距離就不斷增大。

(2)無論v甲增大、減小或不變，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙間的距離就不斷減小。

2.分析思路

可概括為“一個臨界條件”、“兩個等量關(guān)系”。

(1)一個臨界條件：速度相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析、判斷

問題的切入點；

(2)兩個等量關(guān)系：時間等量關(guān)系和位移等量關(guān)系。通過畫草圖找出兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口。

3.常見追及情景

(1)初速度小者追初速度大者：當二者速度相等時，二者距離最大。

(2)初速度大者追初速度小者(避碰問題)：二者速度相等是判斷是否追上的臨界條件，若此時追不上，二者之間

距離有最小值。

物體甲追趕物體乙：開始時，兩個物體相距x0，當v甲＝v乙時，若x甲>x乙＋x0，則能追上；若x甲＝x乙＋x0，則

恰好追上；若x甲<x乙＋x0，則不能追上。

特別提醒：若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運動。

例1(2025·山東萊西市校考)某一長直的賽道上，一輛賽車前方200m處有一安全車正以10m/s的速度

勻速前進，這時賽車從靜止出發(fā)以2m/s2的加速度追趕。求：

(1)賽車出發(fā)3s末的瞬時速度大小；

(2)賽車追上安全車所需的時間及追上時的速度大??；

(3)追上之前兩車的最大距離。

答案(1)6m/s(2)20s40m/s(3)225m

解析(1)賽車出發(fā)3s末的瞬時速度大小為

v1＝a1t1＝2×3m/s＝6m/s。

(2)設經(jīng)t2時間追上安全車，由位移關(guān)系得

v0t2＋200m＝a1，解得t2＝20s

12

2?2

此時賽車的速度v＝a1t2＝2×20m/s＝40m/s

(3)方法一物理分析法

當兩車速度相等時，兩車相距最遠

由v0＝a1t3得兩車速度相等時，經(jīng)過的時間

t3＝＝s＝5s，追上之前兩車最遠相距

?010

?12

Δs＝v0t3＋200m－a1

12

3

＝(10×5＋200－×2×5?2)m＝225m。

1

方法二二次函2數(shù)法

22

Δs＝v0t＋200－a1t＝10t＋200－t

1

2

當t＝＝s＝5s時，Δs有極值，相距最遠，將t＝5s代入解得Δsmax＝225m。

???10

方法三2?圖2像×(法?1)

從圖像可知，當賽車速度等于安全車速度時，即v0＝a1t0＝10m/s，得t0＝5s時相距最遠，Δsmax＝v0t0－t0＋

?0

200m＝225m。2

拓展若當賽車剛追上安全車時，賽車手立即剎車，使賽車以4m/s2的加速度做勻減速直線運動，則兩車

再經(jīng)過多長時間第二次相遇？(設兩車道平行，賽車可以從安全車旁經(jīng)過而不相碰，用物理分析法和圖像

法兩種方法解題)

答案20s

解析方法一物理分析法

假設再經(jīng)t4時間兩車第二次相遇(兩車一直在運動)，由位移關(guān)系得vt4－a2＝v0t4

12

4

解得t4＝15s2?

賽車停下來的時間t'＝＝s＝10s

?40

?24

所以t4＝15s不符合實際，兩車第二次相遇時賽車已停止運動

設再經(jīng)時間5兩車第二次相遇，應滿足＝05，解得5＝。

t2vtt20s

?

方法二圖像法2?2

賽車和安全車的－圖像如圖。由圖知＝，賽車停下時，安全車的位移小于賽車的位移，由05＝，

vtt10svt2

?

2?2

得t5＝20s。

例2大霧天氣，有甲、乙兩車在同一平直車道上勻速行駛，甲車在后速度大小v1為14m/s，乙車在前

2

速度大小v2為10m/s，某時刻甲車車頭與乙車車尾間的距離為L0＝30.5m，此時乙車突然以大小為1m/s

的加速度a0剎車，經(jīng)過時間t0甲車車頭與乙車車尾間的距離減為L＝14m，為了避免兩車相撞，此時甲車

也立即剎車做勻減速直線運動，求：

(1)t0的值；

(2)剎車后，甲車做勻減速直線運動的加速度至少多大。

答案(1)3s(2)2.75m/s2

解析(1)在t0時間內(nèi)，甲、乙兩車的位移分別為

x1＝v1t0，x2＝v2t0－a0

12

0

又x1－x2＝L0－L，解2得?t0＝3s

(2)甲車開始剎車時，

乙車速度為v3＝v2－a0t0＝7m/s

若甲車剎車后經(jīng)時間t兩車速度相等(均為v)，兩車恰好避免相撞，則v＝v1－at，v＝v3－a0t

時間t內(nèi)甲、乙兩車的位移分別為

22

x3＝v1t－at，x4＝v3t－a0t

11

又x3－x4＝2L2

聯(lián)立以上各式解得a＝2.75m/s2

即甲車剎車的加速度大小至少為2.75m/s2。

解答追及相遇問題的三種方法

抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關(guān)鍵，認真審

題，建立物體運動情景圖，分析兩物體的速度大小關(guān)系，

物理分析法

利用速度相等時兩物體的位置關(guān)系，判斷能否追上、二者

相距最近或最遠

設經(jīng)過時間t，二者間的距離Δx＝xB＋x0－xA，假設追上，

Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追

函數(shù)方程判斷法

上，一解；Δ>0，兩解或發(fā)生了相撞；或利用函數(shù)極值求

解二者距離最大值或最小值

將兩個物體運動的速度—時間關(guān)系或位移—時間關(guān)系畫在

圖像法

同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關(guān)問題

考點二圖像中的追及相遇問題

1.x－t圖像、v－t圖像中的追及相遇問題：

(1)利用圖像中斜率、面積、交點的含義進行定性分析或定量計算。

(2)有時將運動圖像還原成物體的實際運動情況更便于理解。

2.利用v－t圖像分析追及相遇問題：在有些追及相遇情景中可根據(jù)兩個物體的運動狀態(tài)作出v－t圖像，再通

過圖像分析計算得出結(jié)果，這樣更直觀、簡捷。

3.若為x－t圖像，注意交點的意義，圖像相交即代表兩物體相遇；若為a－t圖像，可轉(zhuǎn)化為v－t圖像進行分

析。

例3我國是世界上電動汽車生產(chǎn)大國，電動汽車與人工智能相結(jié)合，是未來自動駕駛技術(shù)趨勢。在測試

一款電動汽車的自動駕駛功能時，挑選兩輛汽車a和b在同一直線路段進行測試，測試開始時兩輛汽車并

排同時啟動，兩車運動的v-t圖像如圖所示，則下列說法正確的是()

A.兩車啟動后短時間內(nèi)b在前，a在后，a追趕b

B.相遇前，兩車之間的最大距離為v0t0

C.a在前t0時間內(nèi)的平均速度比b在前2t0時間內(nèi)的平均速度大

D.a、b兩車在(2+)t0時刻相遇

答案D2

解析兩車啟動后短時間內(nèi)，由于a的加速度大于b的加速度，兩車初速度都為零，所以a在前，b在后，b

追趕a，故A錯誤；根據(jù)v-t圖像可知，2t0時刻，兩車速度相等，此時為b追上a前兩車之間的最大距離，根

據(jù)v-t圖像與橫軸圍成的面積表示位移，可知相遇前，兩車之間的最大距離為Δxmax=v0t0，故B錯誤；根據(jù)v-t

1

2

圖像可知，a在前t0時間內(nèi)的平均速度為=，b在前2t0時間內(nèi)的平均速度為=，可知a在前t0時間內(nèi)的

?0?0

?a2?b2

平均速度與b在前2t0時間內(nèi)的平均速度相等，故C錯誤；在2t0時刻，兩車速度相等，此時兩車相距Δxmax=v0t0，

1

2

2

設再經(jīng)過t時間，b追上a，則有Δxmax=xb-xa=v0t+abt-v0t，其中b的加速度為ab=，聯(lián)立解得t=t0，則a、b

1?0

22?02

兩車在(2+)t0時刻相遇，故D正確。

2

例4(2025·山東泰安市檢測)物理興趣小組的同學用兩個相同的遙控小車沿直線進行追逐比賽，兩小車分

別安裝不同的傳感器并連接到計算機中，A小車安裝加速度傳感器，B小車安裝速度傳感器，兩車初始時

刻速度大小均為v0＝30m/s，A車在前、B車在后，兩車相距100m，其傳感器讀數(shù)與時間的函數(shù)關(guān)系圖

像如圖所示，規(guī)定初始運動方向為正方向。下列說法正確的是()

A.t＝3s時兩車間距離為25m

B.3~9s內(nèi)，A車的加速度大小大于B車的加速度大小

C.兩車最近距離為10m

D.0~9s內(nèi)兩車相遇一次

答案C

解析在0~3s內(nèi)A車做勻減速運動，A車減速到零所需時間tA＝＝3s，故在t＝3s時A車減速到零，A

?0

?A1

車前進的位移為xA＝tA＝45m，B車前進的位移為xB＝v0tA＝90m，t＝3s時兩車間距離為Δx＝d＋xA－xB＝

?0

2

55m，故A錯誤；由題2圖可知在3~9s內(nèi)A車的加速度為aA2＝5m/s，在v－t圖像中，圖像的斜率表示加速

2

度，則aB＝＝－5m/s，故A、B兩車的加速度大小相等，故B錯誤；t＝3s后，A車開始由靜止做勻加速

Δ?

Δ?

運動，B車開始做勻減速運動，3~9s的過程中，設經(jīng)歷時間t兩者速度相同，則v共＝aA2t＝v0＋aBt，解得t＝

＋

共共

3s，v共＝15m/s，A車在t＝3s內(nèi)前進的位移為x1＝t＝22.5m，B車前進的位移為x2＝t＝67.5m，故

??0?

此時兩車相距的最小距離為Δxmin＝Δx＋x1－x2＝10m，2此后A車的速度大于B車的速度，兩2者間的距離開始

增大，故不可能相遇，故C正確，D錯誤。

1.(2025·山東菏澤市模擬)我國出口的高速動車組驚艷世界，中國的“名片”走向世界。如圖甲中a、b兩列動

車在兩平行直軌道上行駛，從某時刻兩列動車前進方向的車頭相遇開始計時，得到它們v-t圖像如圖乙所

示，則下列說法正確的是()

A.在30s時兩列動車前進方向的車頭又相遇

B.在0~30s時間內(nèi)，兩列動車的平均速度大小相等

C.a、b兩列動車前進方向的車頭此后還能相遇一次

D.再次相遇前兩列車前進方向的車頭間最大距離為96m

答案C

解析v-t圖像與橫坐標軸圍成的面積表示位移，從圍成面積可看出前30s動車b的位移更大，則在30s時兩

列動車前進方向的車頭沒有相遇，根據(jù)=可知，在0~30s時間內(nèi)，兩列動車的平均速度大小不相等，故A、

?

??

B錯誤；t=30s時，兩列動車速度相等，再次相遇前兩列動車在t=30s時相距最遠，最遠距離為Δx=×30

60+76

2

m-(60×10m+×20m)=80m，故D錯誤；在t=30s時，動車b在動車a的前方，此后動車a會追上b并超

60+76

2

越，所以還能相遇一次，故C正確。

2.(2024·山東東營市開學考)甲、乙兩車在同一條平直公路上運動，其x－t圖像如圖所示，已知甲車做勻變

速直線運動，其余數(shù)據(jù)已在圖中標出。根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知()

A.t＝2s時刻，甲、乙兩車速度大小相等

B.0~2s內(nèi)，甲車位移等于乙車位移

C.甲車的初速度大小為2m/s

D.相遇之前，t＝0.75s時兩車相距最遠

答案D

解析在x－t圖像中，圖線的斜率表示速度，由題圖可知，t＝2s時刻甲車的速度大于乙車的速度，故A錯

誤；由題圖知，0~2s內(nèi)，甲車位移為8m，乙車位移為6m，甲車位移大于乙車位移，故B錯誤；由乙車x

2

－t圖線可知，乙車做勻速直線運動，速度大小為v乙＝3m/s，甲車的位移表達式為x＝v0t＋a1t＋x0，將(0，

1

2

－2)、(1，0)、(2，6)代入上式，解得x0＝－2m，v0＝0，a1＝4m/s，故C錯誤；兩車速度相2同時，相距最遠，

甲

即v甲＝v乙＝3m/s，則t＝＝0.75s，故D正確。

?

3.(2024·山東濰坊市期中)5?G1自動駕駛是基于5G通信技術(shù)實現(xiàn)網(wǎng)聯(lián)式全域感知、協(xié)同決策與智慧云控，相

當于有了“千里眼”的感知能力，同時，5G網(wǎng)絡超低延時的特性，讓“汽車大腦”可以實時接收指令，極大提

高了汽車運行的安全性。A、B兩輛5G自動駕駛測試車，在同一直線上向右勻速運動，B車在A車前，A

車的速度v1大小為8m/s，B車的速度v2大小為20m/s，如圖所示。當A、B兩車相距x0＝20m時，B車

因前方突發(fā)情況緊急剎車，已知剎車過程的運動可視為勻減速直線運動，加速度a大小為2m/s2，從此時

開始計時，求：

(1)A車追上B車之前，兩者相距的最遠距離Δx；

(2)A車追上B車所用的時間t。

答案(1)56m(2)15s

解析(1)當兩車速度相等時，兩車的距離最大，設經(jīng)過時間t1兩車速度相等，則有v1＝v2－at1

得t1＝6s

在t1時間內(nèi)A車位移為x1＝v1t1＝48m

B車位移為x2＝v2t1－a＝84m

12

1

則兩者相距的最遠的距2離?為Δx＝x2＋x0－x1＝56m

(2)設經(jīng)過時間t2，B車停下來，則有0＝v2－at2

得t2＝10s

此過程中A車和B車的位移分別為

x1'＝v1t2＝80m

x2'＝v2t2－a＝100m

12

2

此時x2'＋x20>?x1'

說明A車還沒追上B車，設再經(jīng)過時間t3