線性基礎(chǔ)考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(x,1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(x=(\)\)A.-2B.2C.-\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：A2.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式\(\vertA\vert=\)（）A.-2B.2C.-3D.3答案：A3.若線性方程組\(Ax=b\)，其中\(zhòng)(A\)是系數(shù)矩陣，\(x\)是未知數(shù)向量，\(b\)是常數(shù)向量，\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，當(dāng)\(m=n\)且\(\vertA\vert\neq0\)時，方程組（）A.有無窮多解B.有唯一解C.無解D.可能無解答案：B4.向量組\(\vec{a}_1=(1,0,0)\)，\(\vec{a}_2=(0,1,0)\)，\(\vec{a}_3=(0,0,1)\)是（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.無法確定D.以上都不對答案：B5.對于矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)，其特征值為（）A.1,2,3B.-1,-2,-3C.0,1,2D.1,0,3答案：A6.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\)（）A.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&0\\0&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}&0\end{pmatrix}\)答案：A7.若向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)，\(\vec=(2,1,-1)\)，則\(\vec{a}+\vec=\)（）A.(3,0,1)B.(-1,-2,3)C.(1,2,-3)D.(3,1,-1)答案：A8.矩陣\(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)的秩\(r(A)=\)（）A.0B.1C.2D.3答案：C9.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則\(AB=\)（）A.\(\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\)答案：A10.對于線性空間\(V\)，如果\(\alpha\inV\)，\(k\inR\)，\(k\alpha=0\)，當(dāng)\(k\neq0\)時，則（）A.\(\alpha=0\)B.\(\alpha\neq0\)C.無法確定D.\(\alpha\)與\(k\)無關(guān)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列向量組中線性相關(guān)的是（）A.\(\vec{a}_1=(1,1,1)\)，\(\vec{a}_2=(1,2,3)\)，\(\vec{a}_3=(2,3,4)\)B.\(\vec{a}_1=(1,0,0)\)，\(\vec{a}_2=(0,1,0)\)，\(\vec{a}_3=(0,0,1)\)C.\(\vec{a}_1=(1,-1,0)\)，\(\vec{a}_2=(-1,1,0)\)，\(\vec{a}_3=(0,0,1)\)D.\(\vec{a}_1=(0,0,0)\)，\(\vec{a}_2=(1,1,1)\)，\(\vec{a}_3=(2,2,2)\)答案：A、C、D2.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)，則下列等式成立的是（）A.\(A+B=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\)B.\(AB=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\)C.\(BA=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\)D.\(A-B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\)答案：A、B、C3.對于矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，以下說法正確的是（）A.矩陣\(A\)是\(3\times3\)矩陣B.矩陣\(A\)的元素全是整數(shù)C.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\leq3\)D.矩陣\(A\)是對稱矩陣答案：A、B、C4.設(shè)向量\(\vec{a}=(x,y,z)\)，向量\(\vec=(1,2,3)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則（）A.\(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)B.\(x=k,y=2k,z=3k\)（\(k\inR\)）C.\(\vec{a}\times\vec=0\)D.\(\vec{a}\cdot\vec=x+2y+3z\)答案：A、B、C5.以下關(guān)于線性方程組\(Ax=b\)的說法正確的是（）A.當(dāng)\(A\)是奇異矩陣時，方程組可能無解B.當(dāng)\(A\)是可逆矩陣時，方程組有唯一解C.當(dāng)\(b=0\)時，方程組是齊次線性方程組D.當(dāng)\(A\)是方陣且\(\vertA\vert=0\)時，方程組有無數(shù)解答案：A、B、C6.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)的特征值為（）A.0B.3C.-3D.1答案：A、B7.設(shè)\(A\)、\(B\)是\(n\timesn\)矩陣，若\(AB=I\)（\(I\)是單位矩陣），則（）A.\(A=B^{-1}\)B.\(B=A^{-1}\)C.\(A\)和\(B\)都是可逆矩陣D.\(BA=I\)答案：A、B、C、D8.對于向量空間\(V\)中的向量\(\alpha,\beta,\gamma\)，下列運算律成立的有（）A.\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)B.\((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)C.\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)（\(k\inR\)）D.\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)（\(k,l\inR\)）答案：A、B、C、D9.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)，則（）A.\(A\)的秩為1B.\(A\)的行列式為0C.\(A\)是對稱矩陣D.\(A\)的特征值為1和0答案：A、B、C、D10.下列關(guān)于向量內(nèi)積的說法正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)（\(\theta\)是\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角）B.\(\vec{a}\cdot\vec{a}=\vert\vec{a}\vert^{2}\)C.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)D.對于向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)答案：A、B、C、D三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，則\(AB\)是\(m\timesm\)矩陣。（）答案：正確2.向量組\(\vec{a}_1=(1,0)\)，\(\vec{a}_2=(0,1)\)，\(\vec{a}_3=(1,1)\)是線性無關(guān)的。（）答案：錯誤3.對于方陣\(A\)，如果\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)沒有逆矩陣。（）答案：正確4.設(shè)\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=4\)。（）答案：錯誤5.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)的特征值只有1。（）答案：錯誤6.若線性方程組\(Ax=b\)有解，則\(r(A)=r(A|b)\)。（）答案：正確7.對于向量\(\vec{a}=(1,-1)\)，\(\vec=(-1,1)\)，\(\vec{a}\)與\(\vec\)反向。（）答案：正確8.矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)的秩為1。（）答案：錯誤9.設(shè)\(A\)、\(B\)是\(n\timesn\)矩陣，\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)。（）答案：錯誤10.向量空間中的零向量是唯一的。（）答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義。答案：設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)，如果存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0\)，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)線性相關(guān)；如果只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_n=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0\)才成立，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)線性無關(guān)。2.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答案：首先求行列式\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，所以\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}adj(A)=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.什么是齊次線性方程組？答案：齊次線性方程組是形如\(Ax=0\)的線性方程組，其中\(zhòng)(A\)是系數(shù)矩陣，\(x\)是未知數(shù)向量，\(0\)是零向量。它的特點是常數(shù)項全為零。4.解釋矩陣的秩的概念。答案：矩陣的秩是矩陣的線性無關(guān)的行向量（或列向量）的最大個數(shù)?？梢酝ㄟ^初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣，非零行的個數(shù)就是矩陣的秩。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣可逆的條件有哪些？答案：對于方陣\(A\)，若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆；若\(A\)可以分解為一系列初等矩陣的乘積，則\(A\)可逆；若存在矩陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)（\(I\)為單位矩陣），則\(A\)可逆。2.如何判斷向量組的極大線性無