板塊六立體幾何大招一三視圖還原之兩大核心方法方法一“三線交匯得頂點(diǎn)”（三線法）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三視圖可知，原幾何體的長、寬、高均為，所以我們可用一個正方體作為載體對三視圖進(jìn)行還原.先畫出一個正方體，如圖（1）.第一步，根據(jù)正視圖，在正方體中畫出正視圖上的四個頂點(diǎn)的原像所在的線段，如圖（2）.第二步，側(cè)視圖有三個頂點(diǎn)，畫出它們的原像所在的線段，如圖（3）.第三步，俯視圖有三個頂點(diǎn)，畫出它們的原像所在的線段，如圖（4）.最后一步，如圖（5）.至此，易知哪條棱是最長棱，求出即可.方法二通過三視圖在長方體中排除不符合的點(diǎn)（排點(diǎn)法）已知一個三棱錐是三視圖如圖所示，它們都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為.【答案】【解析】第一步：畫出一個長方體（或正方體）.其中是否為正方體或長方體，根據(jù)三視圖中各邊的長度來決定.第二步：把俯視圖畫在底面.=1\*GB3①底面是一個三角形，其中有三個點(diǎn)，分別為三個點(diǎn)，標(biāo)出這三個點(diǎn).=2\*GB3②對應(yīng)地標(biāo)出三個點(diǎn)，即這六個點(diǎn)是把問題的研究對象.正視圖、側(cè)視圖出現(xiàn)的交點(diǎn)也是研究對象.第三步：研究正視圖和側(cè)視圖.=1\*GB3①把正視圖放在矩形中發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)空缺，即為無關(guān)點(diǎn)，則把這兩點(diǎn)畫掉.=2\*GB3②正視圖中左上點(diǎn)其實代表正方體中線，這條線只有是我們的研究對象，即是有關(guān)點(diǎn)，則留下點(diǎn).正視圖側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖=3\*GB3③正視圖中左下點(diǎn)其實代表正方體中這條線，這條線只有點(diǎn)是我們的研究對象.即點(diǎn)為有關(guān)點(diǎn)，則留下點(diǎn).=4\*GB3④同理，正視圖中右下角這個點(diǎn)代表正方體中這條線.兩點(diǎn)都可能存在，即為可能點(diǎn)，則分析兩點(diǎn).同理，觀察側(cè)視圖，注意側(cè)視圖的方位，“左里右外”方法和觀察正視圖方法一樣.四個頂點(diǎn)逐個分析，最后留下有關(guān)點(diǎn)，該題有關(guān)點(diǎn)為四個點(diǎn).第四步：分別連接相鄰的點(diǎn)(原先俯視圖畫出的點(diǎn)及提高到上面的點(diǎn))，原俯視圖上的點(diǎn)及提高點(diǎn)，按順序連接得到下圖.

例1．如下圖所示，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗線畫出的是一個三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖，該三棱錐的正視圖可能是（）（請注意選項“C”的圖形正中有虛線）【答案】A.【解析】把題中的三棱錐放置在如右圖所示的長方體中即可得答案.故選A.例2．若某四面體的三視圖如下圖所示，則該四面體的體積為.正視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖【答案】9.【解析】把該四面體放置在棱長為3的正方體中（如右圖所示），可求其體積為.例3．某三棱錐的三視圖如右圖所示，則該三棱錐的體積為（）A.B.C.D.正視圖正視圖俯視圖側(cè)（左）視圖【答案】A【解析】如圖所示，題中三棱錐的長、寬、高分別為的長方體中的四面體，所以其體積為.故選A.例4．一個幾何體是三視圖如右圖所示，途中直角三角形的直角邊長均為，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.正視圖正視圖側(cè)（左）視圖俯視圖【答案】A【解析】該幾何體即如圖中棱長為1的正方體的四面體，由此可得到答案.故選A.例5．一個四棱錐是三視圖如下圖所示，其中側(cè)視圖為正三角形，則該四棱錐的體積是，四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面的面積是．正視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖11【答案】【解析】題中的四棱錐即右圖所示長方體（其長，寬，高）中的四棱錐.該四棱錐的體積是.還可得,,，（因為可求得等腰三角形的三邊長分別是，），所以該四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面的面積是的面積，即.例6．棱長為2的正方體倍一平面截成兩個幾何體，其中一個幾何體的三視圖如下圖所示，那么該幾何體的體積是（）A.B.C.D.正視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖【答案】B【解析】截面為右圖中的虛線圍成是四邊形，因為截面將這個正方體分為完全相同的兩個幾何體，所以所求幾何體（正方體位于截面下方的部分）的體積是原正方體體積的一半，即.故選B.例7．一個棱長為2的正方體沿其棱的中點(diǎn)截去部分后所得幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A.7B.C.D.【答案】D【解析】該幾何體如右圖所示的正方體切去兩個三棱錐，后剩下的圖形，其體積為.故選D.例8．一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，，，，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以平面為投影面，則得到正視圖可能為（）.【答案】A【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，先畫出四面體的直觀圖，以平面為投影面，則得到正視圖.故選A.

大招二立體幾何組合問題全攻略類型一墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出.例1．已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，，，故選C.變式若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是．【答案】【解析】根據(jù)題意，，.變式如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為，那么它的外接球的表面積是．【答案】【解析】由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為，則，所以，所以，，即.類型二對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，）.第一步：畫出長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱.第二步：設(shè)長方體的長、寬、高分別為，，，，列方程組，，補(bǔ)充：圖中，.第三步：根據(jù)墻角模型，，，，求出.例2．如右圖所示三棱錐，其中，，，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】對棱相等，補(bǔ)形為長方體，如圖，設(shè)長、寬、高分別為，則，，，.變式：如圖，正四面體的各條棱長都為，則該正四面體外接球的體積為．【答案】【解析】這是正四面體對棱長相等模型，因此放入正方體中，，，.類型三漢堡模型（求直棱柱的外接球、圓柱的外接球）如圖，圖，圖，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面.第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）.第三步：勾股定理：，求出.例3．已知正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為．【答案】【解析】設(shè)正六棱柱的底面正六邊形的邊長為，正六棱柱的高為，底面外接圓的半徑為，則，正六棱柱的底面積為，，所以，（也可以），，所以球的體積為.變式直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，，則此球的表面積為．【答案】【解析】根據(jù)題意，，，，，因此.變式在直三棱柱中，，，，，則直三棱柱的外接球的表面積為．【答案】【解析】根據(jù)題意，，，，，，.類型四切瓜模型（兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑—正弦定理求大圓直徑是通法）圖4圖4-1圖4-4圖4-3圖4-21.如圖4-1，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出.事實上，的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求出.2．如圖4-2，平面平面，且（即為小圓的直徑），,，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②3.如圖4-3，平面平面，且（即為小圓的直徑），.4．如圖4-4，平面平面，且（即為小圓的直徑）.第一步：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出.例4．正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，各頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的體積為．【答案】【解析】解法一找球心的位置，易知，，故球心在正方形的中心處，，.解法二大圓是軸截面所在的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，的斜邊是球半徑，，，.變式一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，其中底面的三個定點(diǎn)在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，高，底面外接圓的半徑為，直徑為，設(shè)底面邊長為，則，，,三棱錐的體積為.故選C.變式已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都球的表面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，,.故選A.類型五垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1．題設(shè)：如圖5，平面，求外接球半徑.第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心.第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），.第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②.2．題設(shè)：如圖至這七個圖形，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．圖5-1圖5-1圖5-2圖5-3圖圖5-3圖5-4圖5-5圖5-6圖5-5圖5-6圖5-7解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線.第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）.第三步：勾股定理：，解出.例5．一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A．B．C． D．以上都不對正視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖【答案】C【解析】解法一（勾股定理）；利用球心的位置求球半徑，球星在圓錐的高線上，于是，，.解法二(大圓法求外接圓直徑)如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形的外接圓是大圓，于是，.類型六錐體的內(nèi)切球問題1．題設(shè)：如圖6-1，三棱錐為正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心.第二步：求，，是側(cè)面的高.第三步：由∽，建立等式：，解出.圖6圖6-12．題設(shè)：如圖6-2，四棱錐是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，三點(diǎn)共線.第二步：求，，是側(cè)面的高.第三步：由∽，建立等式：，解出.圖6圖6-23．題設(shè)：三棱錐是任意三棱推，求其內(nèi)切球的半徑．方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等．第一步：先確定四個表面的面積和整個錐體體積．第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出例6．棱長為的正四面體的內(nèi)切球表面積是．【答案】【解析】設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，將正四面體放入棱長為的正方體中(即補(bǔ)形為正方體)，如圖，則，又因為，所以，，所以內(nèi)切球的表面積為．

大招三空間中的平行問題全攻略一、線線平行的判定方法（1）定義法；同一平面內(nèi)的不相交的兩條直線叫平行直線．推理模式：．（2）公理法：平行于同一條直線的兩條直線平行．推理模式：．（3）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．推理模式：．（4）兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．推理模式：．（5）線面垂直的性質(zhì)：垂直于同一平面的兩條直線平行．推理模式：．二、線面平行的判定方法（1）定義法：一條直線和一個平面沒有公共點(diǎn)，稱這條線與已知平面平行．推理模式：．（2）線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．推理模式：．（3）面面平行的性質(zhì)：兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面．推理模式：．二、面面平行的判定方法（1）定義法：如果兩個平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個平面互相平行．推理模式：．（2）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行．推理模式：．（3）面面平行的判定定定理的推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行．推理模式：(4)線面垂直的性質(zhì)：垂直于同一條直線的兩個平面平行?推理模式：．例1．在正方體中，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）求證：；（4）若過的平面與分別交兩點(diǎn)，求證：．【證明】（1）因為分別為的中點(diǎn)，所以，因為為正方體，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以．因此．（2）取的中點(diǎn)，連接．因為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以．又因為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以．因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因此．（3）由正方體知，所以四邊形為平行四邊形，所以，又由（2）知時．因為，，所以平面平面．因為為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．因為為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．即平面平面，平面平面，所以．(4)因為，面，平面，所以平面．因為平面平面，所以．例2．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為側(cè)棱的一點(diǎn)．（1）若為側(cè)棱的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證：平面；（3）若為的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證:平面；（4）若在線段上，且與交于點(diǎn)，當(dāng)時，求證:平面；（5）若交于點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求證：平面．【證明】⑴連接．因為分別為的中點(diǎn)，所以．因為平面，平面，所以平面．(2)連接，交于點(diǎn)，連接．因為四邊形是平行四邊形，所以為的中點(diǎn)．又因為為的中點(diǎn)，所以．因為平面，平面，所以平面．(3)取的中點(diǎn)，連接，．因為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且．因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，且．因為為的中點(diǎn)，即，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以平面．(4)在中，因為，所以，因為平面，平面，所以平面．(5)因為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以．因為平面，平面，所以平面．因為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，所以平面平面．因為平面，所以平面．

大招四空間中的垂直問題全攻略一、線線垂直的判定方法(1)定義法:如果兩條直線所成的角為，則這兩條直線相互垂直．推理模式：．(2)三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．推理模式：．(3)三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．推理模式：注意:三垂線指都垂直內(nèi)的直線．要考慮的位置，并注意兩定理交替使用．(4)直線與平面垂直的性質(zhì)：如果一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線．推理模式：二、線面垂直的判定方法(1)定義法:如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線和這個平面互相垂直．推理模式：．(2)直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．推理模式：．(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩個平面相互垂直，那么，其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面．推理模式：．(4)直線與直線垂直的性質(zhì)：兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面．推理模式：．(6)平面與平面平行的性質(zhì)：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面．推理模式：．三、面面垂直的判定方法(1)定義法:如果兩個平面的二面角為，則稱這兩個平面相互垂直．推理模式：(2)平面與平面垂直的判定定理：如果一條直線垂直于一個平面，那么經(jīng)過這條直線的平面必垂直于已知平面．推理模式：．例1．已知在內(nèi)，，于，于且，，求證：．【證明】因為，，，所以，(三垂線定理逆定理)．因為，，所以，所以．又因為，所以，所以．評注經(jīng)過一個角的頂點(diǎn)引這個角所在平面的斜線，如果斜線的這個角兩邊夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在直線．三棱錐的每一個面都是直角三角形，稱之為特征三棱錐，蘊(yùn)含著錐體的所有要素，是研究錐體的特征幾何體．例2．點(diǎn)為所在平面外的一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，若，，求證：．【證明】連接，，，因為平面，且，所以（三垂線定理逆定理），同理．所以為的垂心，所以．又因為平面，所以（三垂線定理）．拓展：四面體中，，．(1)若各組對棱都相互垂直，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是底面三角形的垂心．(2)若三條側(cè)棱兩兩垂直，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是底面三角形的垂心．(3)若三條側(cè)棱都相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是底面三角形的外心．(4)若三條側(cè)棱與底面所成的角都相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是底面三角形的外心．(5)若三個側(cè)面的斜高都相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是底面三角形的內(nèi)心．(6)若三個側(cè)面與底面所成的二面角都相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是底面三角形的內(nèi)心．

例3．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，是底面正方形的中心，求證：平面．【分析】本題考査的是線面垂直的判定方法．根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明平面，只要在平面內(nèi)找兩條相交直線與垂直即可．【證明】連接．在中，因為分別是和的中點(diǎn)，所以．因為平面，所以為在平面內(nèi)的射影．又因為，所以．同理．又因為，、平面所以平面．因為．所以平面．另證：連接，，設(shè)正方體的棱長為，易證．又因為，所以．在正方中易求出：，，．因為，所以．因為，，平面，所以面．評注要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法．在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，有時也要注意是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用．例4．如圖，在中，，平面，點(diǎn)在和上的射影分別為，求證：．【分析】本題考査的仍是線面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及線線垂直和線面垂直相互轉(zhuǎn)化思想．欲證，可證平面，為此需證，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證平面，而已知，所以只要證即可．由于圖中線線垂直、線面垂直關(guān)系較多，所以本題也可以利用三垂線定理和逆定理來證線線垂直．【證明】因為平面，平面，所以．因為，即，又，所以平面．因為平面，所以．又因為，所以平面．因為平面，所以，又因為，，所以平面．因為平面，所以．另證:由上面可證平面，所以為在平面內(nèi)的射影．因為，所以．評注從上面例題的證明過程中我們可以看出，證明線線垂直常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，而證明線面垂直又轉(zhuǎn)化為證明線線垂直．立體幾何中的證明常常是在這種相互轉(zhuǎn)化的過程中實現(xiàn)的．

大招五空間中的角度問題全攻略一、異面直線所成的角（1）概念：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）．為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上．(2)實質(zhì)：；；（化空間角為平面角）(3)范圍：．(4)作法：選點(diǎn)一平移一定角．(5)解決思路:①化歸法(平移法)：把兩異面直線中的一條平移到過另一條直線上的某一點(diǎn)，或把兩異面直線都平移經(jīng)過空間同一點(diǎn)，以構(gòu)造出易于求解的平面角．②向量法:，可分為自由向量法，坐標(biāo)向量法．例1．如圖1，是正三角形，平面，，求異面直線所成的角．【解析】解法一(平移法)：取的中點(diǎn)，如圖1-1，則．解法二(化歸法)：過分別作，交于點(diǎn)（或過、分別作、交于點(diǎn)），如圖，則：．解法三（自由向量法）：．解法四（坐標(biāo)向量法）：建系如圖，．二、直線與平面所成的角（1）概念①斜線：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線．②射影:過斜線上斜足外一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影．③直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角；若直線垂直于平面，則所成的角是直角；若直線平行于平面或在平面內(nèi)，則所成角為．（2）實質(zhì)：．（化空間角為平面角）（3）范圍：．(4)作法:選點(diǎn)一作射影一定角．(5)解決思路:①化歸法．②向量法：(分別為直線的方向向量、平面的法向量)．例2．已知平面的斜線與內(nèi)直線所成的角均為，的夾角為饑，求與平面所成的角．【解析】在平面的斜線上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，作，垂足為，連接，則．設(shè)與所成的角為，則：因為平面的斜線與內(nèi)直線所成的角均為，所以點(diǎn)必在的角平分線上，所以．因為中，，中，，中，，所以，所以與所成的角為．拓展：平面的斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一條宜線所成角中最小的角(最小角定理)．三、平面與平面所成的角（l）概念①二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每—部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：一個平面垂直于二面角的棱且與兩半平面交線分別為，為垂足，則是的平面角．（2）實質(zhì)：（化空間角為平面角）（3）范圍：一般地，．（4）作法:①定義法（垂面法）：．②垂線法：③三垂線法：（5）解決思路：①化歸法：可分為垂面法，垂線法，三垂線法．②向量法：解法一：設(shè)，在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如圖，則二面角的平面角．解法二：（分別為平面的法向量）．③射影面積法:可利用射影面積公式來計算（其中和分別是投影面積和斜面面積）．

例3．在正四面體中，求相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大?。窘馕觥咳〉闹悬c(diǎn)，連接．由正四面體知，于，所以為二面角的平面角．解法一（垂面法）：設(shè)正四面體的棱長為，則，，，得．故相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大小為．解法二(向量法)令，，，棱長為1．因為，又因為，所以．故相鄰兩個平面所成的二面角的平面角的大小為．例4．正方形的邊長為2，，都垂直于平面，=2=2，求平面與平面所成的二面角．【解析】解法一(垂線法)延長，交于點(diǎn)，則是平面與平面的交線，則:，，所以，因為平面，所以．所以是平面與平面所成的二面角，易求．解法二(射影面積法)過點(diǎn)作，垂足為，則：，，，，，所以．即平面與平面所成的二面角為．例5．二面角內(nèi)一點(diǎn)在二面角的棱上的射影為，點(diǎn)在平面，的射影分別為，，．(1)求二面角的大??；(2)若點(diǎn)到平面，的距離分別為，，求的長度．【解析】(1)(垂面法)點(diǎn)在二面角的棱上的射影為，點(diǎn)在平面，的射影分別為，，據(jù)三垂線定理知：平面，平面，所以，，，四點(diǎn)在同一平面內(nèi)．因為，所以，故二面角的大小為．(2)因為四邊形中，，所以，，，四點(diǎn)共圓．因為，所以是四邊形外接圓的直徑，故(正弦定理)．

大招六空間向量解決立體幾何全部題型一、平行的證明(1)兩條直線平行的證明思路：(，分別是，的方向向量)．(2)直線與平面平行的證明思路：解法一：(是的方向向量，是的法向量)；解法二：(是的方向向量，，是平面的一個基底)．(3)兩個平面平行的證明思路：(，分別是平面，的法向量)．例1．在底面為菱形的四棱錐中，，，，在上，．(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？(1)【證明】因為底面是菱形，，所以，在中，，所以，同理，，故平面．(2)【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，，則，，．令，解得：，，，所以當(dāng)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時，，，共面．又因為平面，所以當(dāng)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時，平面．二、垂直的證明(1)兩條直線垂直的證明思路：(，分別是，的方向向量)．

(2)直線與平面垂直的證明思路：證法一：(是的方向向量，是的法向量)；證法二：(是的方向向量，，是平面的一個基底)．(3)兩個平面垂直的證明思路：(，分別是平面，的法向量)．例2．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱平面，，，，是的中點(diǎn)．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使平面，并求出點(diǎn)分別到和的距離．【解析】(1)以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，的夾角為，則，，所以．故與所成角的余弦值為．(2)由于點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)，則，因為平面，所以即．從而點(diǎn)到和的距離分別為、．例3．如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，底面．(1)當(dāng)時，求直線與平面所成角的大小；(2)當(dāng)取何值時，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心？【解析】因為平面，，，所以，，．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．設(shè)，則．(1)當(dāng)時，，，，可求得平面的法向量，所以．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成的角為．(2)的重心，，因為平面，所以．又因為，所以，此時，即；反之，當(dāng)時，三棱錐為正三棱錐，所以在平面內(nèi)的射影恰好為的重心．三、空間距離問題構(gòu)成空間的點(diǎn)、線、面之間有六種距離，這里著重研究點(diǎn)面之間的距離的求法、異面直線之間的距離的求法、線面之間的距離的求法、面面之間的距離的求法，其中線面之間的距離的求法、面面之間的距離的求法都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面之間的距離來求．(1)求點(diǎn)面之間的距離設(shè)是平面的法向量，在內(nèi)取一點(diǎn)，則到的距離為．(2)求異面直線之間的距離在上取一點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，設(shè)，分別為異面直線，的方向向量，設(shè)異面直線，的公共的垂直向量為(，)，則異面直線，的距離為：(此方法移植于點(diǎn)面距離的求法)．例4．正方體的棱長為，求異面直線，的距離．【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線，的公共的垂直向量為，則．因為在上的投影長為，所以異面直線，的距離為．四、空間角問題空間的角主要有：異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角．(1)求異面直線所成的角設(shè)，分別為異面直線，的方向向量，異面直線成角的范圍是，而向量的夾角的范圍是，則：．例5．三棱柱中，平面平面，，，，，求異面直線，所成的角．【解析】解法一：設(shè)，，，則，，所以，，，．故異面直線，所成的角為．解法二：以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，．故異面直線，所成的角為．(2)求線面角問題設(shè)是斜線的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角．例6．如圖，正三棱柱中，，，求直線與平面所成的角．【解析】解法一：以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則即為所求．，，所以．故直線與平面所成的角為．解法二：顯然平面的法向量為，則．故直線與平面所成的角為．(3)求二面角問題解法一：設(shè)，在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如圖，則二面角的平面．解法二：設(shè)，是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)，則二面角的平面角．例7．如圖，在直四棱柱中，，，，，，垂足為．(1)求證：；(2)求二面角的大??；(3)求異面直線與所成角的大小．(1)【證明】在直四棱柱中，因為底面，所以是在平面上的射影．因為，所以．(2)【解析】連接、、．因為，，所以平面．所以為二面角的平面角．在底面中，，，，，，所以，，，，．在中，，，故二面角的大小為．(3)【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，，，所以．故異面直線與所成角的大小為．大招七立體幾何核心模型之鱉臑幾何體研究陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵．再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相時的棱剖開，得到四棱錐和三棱錐各一個．以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．一、鱉臑幾何體中的垂直關(guān)系如圖所示，鱉臑幾何體中，平面，，于，于．(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)證明：平面平面；(4)證明：．【證明】(1)因為平面，平面，所以．又，，所以平面．(2)因為平面，平面，所以．又，，所以平面，則．又，所以平面．(3)因為平面，所以平面平面．(4)因為平面，