第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年重慶市西北狼教育聯(lián)盟高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2?5i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(m,1)，b=(6,?2)，若a與b共線，則m=(

)A.3 B.13 C.?133.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=23，b=2，A=π3，則△ABCA.32 B.3 C.24.高一某班10名學(xué)生的英語口語測(cè)試成績(jī)(單位：分)如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是(

)A.85 B.86 C.85.5 D.86.55.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不重合的直線，則下列命題中正確的為(

)A.若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，則m⊥αB.若m?α，n?β，m//n，則α//β

C.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βD.若m//α，n//β，m//n，則α//β6.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為CD的中點(diǎn)，則直線AA.25

B.35

C.137.在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，且AC=CD,AB=2AC=3AD，則sinB=A.23 B.33 C.8.如圖，三棱錐P?ABC的底面△ABC的斜二測(cè)直觀圖為△A′B′C′，已知PB⊥底面ABC，PB=6，A′D′=D′C′，A′O′=O′B′=O′D′=2，則三棱錐P?ABC外接球的表面積S為(

)A.96πB.116π

C.136πD.144π二、多選題：本題共2小題，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(1,2)，b=(4,?3)，則(

)A.|a|=5

B.若(ka+b)⊥b，則k=5210.有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，現(xiàn)加入兩個(gè)正整數(shù)x，y構(gòu)成新樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)比較，下列說法正確的是(

)A.若平均數(shù)不變，則x+y=6 B.若極差不變，則x+y=6

C.若x+y=6，則中位數(shù)不變 D.若x+y=6，則方差不變?nèi)⑻羁疹}：本題共3小題，每小題5分，共15分。11.雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤(rùn)人生，南寧市某校每年舉辦“品經(jīng)誦典浴書香，提雅增韻享閱讀”中華經(jīng)典誦讀大賽，比賽內(nèi)容有三類：“誦讀中國(guó)”、“詩教中國(guó)”、“筆墨中國(guó)”.已知高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)分別為：100人、150人和250人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從三個(gè)年級(jí)中抽取25人組成校代表隊(duì)參加市級(jí)比賽，則應(yīng)該從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為______．12.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=22點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB?AF=213.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=3，acosB=(2c?b)cosA，設(shè)AM是△ABC的高，則AM的范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)?z為純虛數(shù)．

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若復(fù)數(shù)ω=z2+i，求復(fù)數(shù)15.(本小題15分)

為增強(qiáng)職工身體素質(zhì)，某企業(yè)鼓勵(lì)職工積極參加徒步活動(dòng).為了解運(yùn)動(dòng)情況，企業(yè)工會(huì)從該企業(yè)職工中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)他們的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：

(1)求圖中a的值；

(2)估計(jì)該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)

(3)若該企業(yè)恰好有25的職工的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到了企業(yè)制定的“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)者”達(dá)標(biāo)線，試估計(jì)該企業(yè)制定的“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)者”達(dá)標(biāo)線．16.(本小題15分)

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=2，BD1和B1D交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．

(1)求證：EF/?/平面AD17.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bsinB?csinC+(c?a)sinA=0．

(1)求角B；

(2)如圖，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，且a=3，c=4，

(i)求BD的長(zhǎng)度；

(ii)若AB邊上的中線CE與BD相交于點(diǎn)F，求∠DFE的余弦值．18.(本小題17分)

正方形ABCD中，AB=2，M為CD的中點(diǎn)，BN=λBC，λ∈(0,1).將△ADM沿AM翻折到△PAM，△CMN沿MN翻折到△PMN，連接AN．

(1)求證：PM⊥AN；

(2)當(dāng)λ=12時(shí)，求二面角P?AN?M的正弦值；

(3)設(shè)直線PM與平面AMN所成角為α，問是否存在λ∈(0,3

參考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.C

6.D

7.A

8.B

9.ACD

10.AC

11.5

12.2

13.(14.解：(1)由z=3+bi(b∈R)，

得(1+3i)?(3+bi)=(3?3b)+(9+b)i，

∵(1+3i)?z是純虛數(shù)，

∴3?3b=09+b≠0，解得b=1．

∴z=3+i；

(2)由ω=z2+i=3+i2+i15.(1)由頻率分布直方圖得2(a+0.1+5a+0.12+a)=1，解得a=0.04．

(2)由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為：

x?=5×2×0.04+7×2×0.1+9×2×5×0.04+11×2×0.12+13×2×0.04=9.08．

所以該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)約為9.08千步．

(3)日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在[12,14]的頻率為2×0.04=0.08，

日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在[10,12)的頻率為0.12×2=0.24，

日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在[8,10)的頻率為5×0.04×2=0.4，

所以達(dá)標(biāo)線位于[8,10)內(nèi)，

則達(dá)標(biāo)線為0.08+0.24+10?m2×0.4=25，解得m=9.6，

該企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國(guó)運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線是9.6千步．

16.(1)證明：由題意證明如下，

連接AD1，B1D1，BD．

在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，BB1//DD1且BB1=DD1，

∴四邊形BB1D1D為平行四邊形．

∴E為BD1的中點(diǎn)，

在△ABD1中，E，F(xiàn)分別為BD1和AB的中點(diǎn)，

∴EF//AD1．

∵EF?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，

∴EF//平面ADD1A1．

(2)解：由題意，B1D與平面BCC1B1所成角為π4.連接B1C.

∵長(zhǎng)方體中AA1=AD=2，所以B1C=22.所以B1C=22．

∵長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D117.(1)根據(jù)題意可知，在△ABC中，由bsinB?csinC+(c?a)sinA=0，

根據(jù)正弦定理可知b2?c2+(c?a)a=0，

即a2+c2?b2=ac，

根據(jù)余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=ac2ac=12，而0<B<π，∴B=π3；

(2)(i根據(jù)題意可知，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，則∠ABD=∠CBD=π6，

又在△ABC中，SΔABC=SΔABD+S△CBD，即12acsinB=12c?BD?sin∠ABD+12a?BD?sin∠CBD，

即12×3×4×32=12×4×BD×12+12×3×BD×12，解得BD=1237；

(ii)∵CE為△ABC的中線，

根據(jù)中線向量運(yùn)算得CE=12(CA+CB)=12(CB+BA+CB)=12(BA?2BC)，

又CE2=14(BA?2BC)2=14BA2?BA?BC+BC2=4?6+9=7，則|CE|=7，

∵|AB|=4,|BC|=3,∠ABC=π3，BD為∠ABC的角平分線，

在△ABD中，∵|AD|sin∠ABD=|AB|sin∠BDA，得到|AD|sinπ6=|AB|sin∠BDA①，

在△BDC中，∵|CD|sin∠DBC=|BC|sin∠BDC