現(xiàn)代數(shù)學(xué)高考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{1,2,3\}\)C.\(\{1,2,4\}\)D.\(\{1,2,3,4\}\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值為（）A.5B.-5C.11D.-114.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，其前\(n\)項和\(S_n=100\)，則\(n\)等于（）A.9B.10C.11D.125.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)6.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)B.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)7.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_{0.3}2\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關(guān)系是（）A.\(a<b<c\)B.\(c<b<a\)C.\(b<c<a\)D.\(c<a<b\)8.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.1B.2C.3D.49.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個數(shù)字中任取\(3\)個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geqslant0\)時，\(f(x)=x(1+x)\)，則\(f(-2)\)等于（）A.-6B.6C.-2D.2二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=2^x\)2.以下說法正確的是（）A.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與直線\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.圓\(x^2+y^2-2x+4y=0\)的圓心坐標(biāo)為\((1,-2)\)C.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距）D.拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的焦點坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)3.對于向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，\(\overrightarrow{c}\)，下列說法正確的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)，則\(\overrightarrow=\overrightarrow{c}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow\cdot\overrightarrow{c}\)C.\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|\leqslant|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|\)D.若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)是單位向量，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\)4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_n=2n-1\)C.\(a_2=3\)D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列5.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)6.已知函數(shù)\(f(x)=\sinx\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(2\pi\)B.\(f(x)\)的圖象關(guān)于點\((\pi,0)\)對稱C.\(f(x)\)在\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)上單調(diào)遞減D.\(f(x)\)的最大值為\(1\)7.設(shè)\(a\)，\(b\)為正實數(shù)，下列不等式恒成立的是（）A.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)B.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)C.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)D.\(\frac{a}+\frac{a}\geqslant2\)8.已知復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)），則下列說法正確的是（）A.若\(z\)為實數(shù)，則\(b=0\)B.若\(z\)為純虛數(shù)，則\(a=0\)且\(b\neq0\)C.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)D.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)9.下列命題中，真命題有（）A.\(\existsx\inR\)，\(x^2+1<0\)B.\(\forallx\inR\)，\(x^2\geqslant0\)C.\(\existsx\inQ\)，\(x^2=2\)D.\(\forallx\inR\)，\(x^2+2x+1\geqslant0\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，下列說法正確的是（）A.若\(f(a)f(b)<0\)，則在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一個零點B.若\(f(a)=f(b)\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)必有極值點C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值D.若\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）3.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)。（）4.直線\(x+y+1=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切。（）5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_4=8\)。（）6.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）7.復(fù)數(shù)\(z=1+i\)的模為\(\sqrt{2}\)。（）8.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過點\((1,0)\)。（）9.若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)是共線向量，則存在實數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)。（）10.曲線\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程為\(y=3x-2\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的對稱軸、頂點坐標(biāo)和單調(diào)區(qū)間。-答案：對稱軸為\(x=-\frac{2a}=2\)。將\(x=2\)代入函數(shù)得頂點坐標(biāo)為\((2,-1)\)。單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,2]\)，單調(diào)遞增區(qū)間是\([2,+\infty)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_n\)的通項公式。-答案：公差\(d=\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{13-5}{4}=2\)，\(a_1=a_3-2d=5-4=1\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.計算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)的值。-答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}×1^3+1)-(\frac{1}{3}×0^3+0)=\frac{4}{3}\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,-1)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，求\(3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow\)的坐標(biāo)。-答案：\(3\overrightarrow{a}=(6,-3)\)，\(2\overrightarrow=(-6,8)\)，則\(3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow=(6-6,-3+8)=(0,5)\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\((1,+\infty)\)上的單調(diào)性，并說明理由。-答案：在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。設(shè)\(1<x_1<x_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1-1}-\frac{1}{x_2-1}=\frac{x_2-x_1}{(x_1-1)(x_2-1)}\)，\(x_2-x_1>0\)，\((x_1-1)(x_2-1)>0\)，所以\(f(x_1)>f(x_2)\)，即單調(diào)遞減。2.討論橢圓和雙曲線的性質(zhì)有哪些異同點。-答案：相同點：都有焦點、離心率等概念。不同點：橢圓是平面內(nèi)到兩定點距離之和為定值的點的軌跡，離心率\(0<e<1\)；雙曲線是到兩定點距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，離心率\(e>1\)。橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分母和為\