高三數(shù)學(xué)第二學(xué)期三角函數(shù)與解三角形多選題單元易錯(cuò)題測(cè)試題一、三角函數(shù)與解三角形多選題1．已知函數(shù)且對(duì)于都有成立．現(xiàn)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù) B．函數(shù)相鄰的對(duì)稱軸距離為C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABCD【分析】先利用已知條件求出的周期，即可得，再利三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換得的解析式，在逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閷?duì)于都有成立所以，，所以對(duì)于都成立，可得的周期，所以，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍可得，對(duì)于選項(xiàng)A:，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：函數(shù)周期為，所以相鄰的對(duì)稱軸距離為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D正確，故選：ABCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是由恒成立得出可得的值，求出的解析式.2．如圖，的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（）A．是等邊三角形B．若，則，，，四點(diǎn)共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為【答案】AC【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可求，再利用，可知為等邊三角形，從而判斷；利用四點(diǎn)，，，共圓，四邊形對(duì)角互補(bǔ)，從而判斷；設(shè)，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷．【詳解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；B不正確：若四點(diǎn)共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由A正確知，但由于時(shí)，，∴B不正確．C正確，D不正確：設(shè)，則，，，，，，，，∴C正確，D不正確；故選：AC.．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．3．（多選題）如圖，設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，是外一點(diǎn)，，下列說法中，正確的是（）A． B．是等邊三角形C．若四點(diǎn)共圓，則 D．四邊形面積無最大值【答案】ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可得，根據(jù)等比中項(xiàng)和余弦定理可得，即是等邊三角形，若四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，再利用余弦定理可求，最后，根據(jù)和可得，從而求出最大面積.【詳解】由成等差數(shù)列可得，，又，則，故A正確；由成等比數(shù)列可得，，根據(jù)余弦定理，，兩式相減整理得，，即，又，所以，是等邊三角形，故B正確；若四點(diǎn)共圓，則，所以，，中，根據(jù)余弦定理，，解得，故C正確；四邊形面積為：又，所以，，因?yàn)椋?dāng)四邊形面積最大時(shí)，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查解三角形和平面幾何的一些性質(zhì)，同時(shí)考查了等差等比數(shù)列的基本知識(shí)，綜合性強(qiáng)，尤其是求面積的最大值需要一定的運(yùn)算，屬難題.4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于任意分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，則稱為“三角形函數(shù)”，其中為“三角形函數(shù)”的函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】結(jié)合三角形的性質(zhì)有:兩邊之差小于第三邊，得若為“三角形函數(shù)”則恒成立，即恒成立即可，根據(jù)條件求出函數(shù)的最大值和最小值，進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:①，則，則恒成立,則滿足條件②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則不恒成立，則不滿足條件③，則不滿足條件恒成立，故不是④，，則，則，則恒成立，故滿足條件故選【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的性質(zhì)及“三角形函數(shù)”的概念，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為恒成立是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.5．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（）A．函數(shù)最靠近原點(diǎn)的零點(diǎn)為B．函數(shù)的圖像在軸上的截距為C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABC【分析】首先根據(jù)圖象求函數(shù)的解析式，利用零點(diǎn)，以及函數(shù)的性質(zhì)，整體代入的方法判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖像知，，設(shè)的最小正周期為，則，∴，．∵，且，∴，故．令，得，，即，，因此函數(shù)最靠近原點(diǎn)的零點(diǎn)為，故A正確；由，因此函數(shù)的圖像在軸上的截距為，故B正確；由，因此函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；令，，得，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D不正確．故選：ABC．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心時(shí)，可通過驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求的范圍，驗(yàn)證此區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間.6．設(shè)、是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)，若、兩點(diǎn)距離的最小值為，是該函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是B．該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程是，C．在上單調(diào)遞增D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，可判斷D選項(xiàng)的正誤，利用余弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷AB選項(xiàng)的正誤，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?、是函?shù)的圖象與直線的交點(diǎn)，若、兩點(diǎn)距離的最小值為，則函數(shù)的最小正周期為，，所以，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，可得，則.，，則，，，D選項(xiàng)正確；對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，解得，所以，函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程是，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成或形式，再求或的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入或的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．7．已知函數(shù)，則以下說法中正確的是（）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞減C．是的一個(gè)對(duì)稱中心 D．的最大值為【答案】ABC【分析】利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)的正誤，利用正弦型函數(shù)的有界性可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】，所以，.對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，是的一個(gè)對(duì)稱中心，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A． B．的最小正周期為C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】BCD【分析】利用圖象，把代入求利用周期求出，從而，研究對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.【詳解】由圖可知，所以，根據(jù)圖象可知在的單調(diào)遞增區(qū)間上，又，所以，A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋越Y(jié)合圖像，由五點(diǎn)法得，解得，則的最小正周期，B項(xiàng)正確；將代入，得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C項(xiàng)正確﹔將代入可得，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，D項(xiàng)正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)解析式的方法：(1)求A通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函數(shù)上的點(diǎn)帶入即可求解.9．如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A，B，若，圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．B．的最小正周期為4C．一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為D．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為【答案】BCD【分析】先利用設(shè)，得到點(diǎn)A處坐標(biāo)，結(jié)合周期公式解得選項(xiàng)A錯(cuò)誤，再利用最高點(diǎn)解出得到周期，求得解析式，并利用代入驗(yàn)證法判斷單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱中心，即判斷選項(xiàng)BCD正確.【詳解】由，設(shè)，則，，選項(xiàng)A中，點(diǎn)A處，，則，即，，解得，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，依題意，得，故，最小正周期，B正確；選項(xiàng)C中，由，得，結(jié)合最高點(diǎn)，知，即，當(dāng)時(shí)，，故是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，C正確；選項(xiàng)D中，時(shí)，故是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，通常利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，采用整體代入法進(jìn)行求解，或者帶入驗(yàn)證.10．已知函數(shù)，為奇函數(shù)，則下述四個(gè)結(jié)論中說法正確的是（）A．B．在上存在零點(diǎn)，則的最小值為C．在上單調(diào)遞增D．的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】ABC【分析】首先得到的解析式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一驗(yàn)證即可.【詳解】解：因?yàn)椋?/p>