第02卷2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測(cè)試卷（綜合測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】B【分析】將表示的復(fù)數(shù)代入所求式，化簡(jiǎn)成一個(gè)復(fù)數(shù)的模，再運(yùn)用模的運(yùn)算公式計(jì)算即得.【詳解】因，則.故選：B.2．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解法求得集合，結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，所以，又由不等式，解得，所以.故選：A.3．（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用湊角及兩角和的正弦公式，結(jié)合降冪公式及兩角和的正弦公式的逆用，然后再利用二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】，．故選：D．4．設(shè)函數(shù)（，），則函數(shù)的單調(diào)性（

）A．與有關(guān)，且與有關(guān) B．與無(wú)關(guān)，且與有關(guān)C．與有關(guān)，且與無(wú)關(guān) D．與無(wú)關(guān)，且與無(wú)關(guān)【答案】D【解析】通過(guò)對(duì)進(jìn)行討論，再用復(fù)合函數(shù)的求單調(diào)性的方法，可知該函數(shù)的單調(diào)性與是否有關(guān).【詳解】函數(shù)（，），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.則且，，的單調(diào)性都為單調(diào)遞減.所以函數(shù)（，）的單調(diào)性與無(wú)關(guān).故選：D5．甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球；乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C．事件與事件不相互獨(dú)立 D．、、兩兩互斥【答案】A【分析】利用全概率公式可判斷A選項(xiàng)；直接寫(xiě)出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷C選項(xiàng)；利用互斥事件的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】依題意，，，，，，B對(duì)，，A錯(cuò)；，，所以，，所以，事件與事件不相互獨(dú)立，C對(duì)，由題意可知，事件、、中的任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，因此，事件、、兩兩互斥，D對(duì).故選：A.6．已知等差數(shù)列，則是成立的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】正面證明得到充分性成立，舉反例否定必要性即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得顯然成立，故充分性成立，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，一定成立，無(wú)法推出，可得必要性不成立，即則是成立的充分不必要條件.故選:B7．已知直線l與橢圓在第二象限交于，兩點(diǎn)，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)（在橢圓外），若，則的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到，再由條件得到也是的中點(diǎn)，從而得到關(guān)于的方程，進(jìn)而求得，由此得解.【詳解】設(shè)：（，），設(shè)Ax1,y1，B聯(lián)立，得，由題意知，所以，，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，得，又因?yàn)?，，所以也是的中點(diǎn)，所以的橫坐標(biāo)為，從而得，因?yàn)榻辉诘诙笙?，解得，設(shè)直線傾斜角為，得，得，故A正確.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式得，討論其符號(hào)求范圍，進(jìn)而寫(xiě)出解析式并畫(huà)出草圖，數(shù)形結(jié)合得、，即可得答案.【詳解】由，若，則，可得，所以,若，則，可得，所以，所以，其函數(shù)圖象如下圖，要使有4個(gè)不同實(shí)根，則，由圖知：，故，且，所以的范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角恒等變換研究正弦型函數(shù)性質(zhì)，并畫(huà)出的圖象為關(guān)鍵.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．《中華人民共和國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要》中明確提出要?jiǎng)?chuàng)新實(shí)施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開(kāi)展群眾性文化活動(dòng).某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng)，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)甲村的評(píng)分X和乙村的評(píng)分Y都近似服從正態(tài)分布，其中，，，則（

）A．X對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線比Y對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平B．甲村的平均分低于乙村的平均分C．甲村的高度滿意率與不滿意率相等D．乙村的高度滿意率比不滿意率大【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，曲線越扁平，方差較大，判斷A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出兩村的平均分，比較出大小；CD選項(xiàng)，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性判斷.【詳解】A選項(xiàng)，曲線越扁平，說(shuō)明評(píng)分越分散，方差較大，因?yàn)?，所以Y對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線比X對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，甲村的平均分為70，乙村的平均分為75，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)榧状宓钠骄譃?0，由對(duì)稱性知，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)橐掖宓钠骄譃?5，由對(duì)稱性知，D正確.故選：BCD.10．已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，滿足，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．若是正項(xiàng)數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列B．，，一定是等比數(shù)列C．若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列D．若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出公比，得到方程，結(jié)合是正項(xiàng)數(shù)列，得到公比，得到是單調(diào)遞增數(shù)列；B選項(xiàng)，舉出反例；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)都成立，得到，從而得到為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列；D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)，得到當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)公比為，故，解得或，若是正項(xiàng)數(shù)列，則，，故，故是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，，均為0，不合要求，B錯(cuò)誤：C選項(xiàng)，若，則單調(diào)遞增，此時(shí)不存在，使對(duì)都成立，若，此時(shí)，故存在，使得對(duì)都成立，此時(shí)為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，顯然不是等差數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線：，，為曲線上動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．曲線關(guān)于y軸對(duì)稱 B．曲線的圖象具有3條對(duì)稱軸C． D．的最大值為【答案】ABC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:將用替換代入方程計(jì)算，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B:令，，代入整理可得，利用周期性與對(duì)稱性即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C:代入，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；對(duì)于選項(xiàng)D:借助三角函數(shù)的性質(zhì)并表示出.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:將用替換代入方程，方程不變，故曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:由，令，，代入整理可得，其中，為點(diǎn)所在終邊對(duì)應(yīng)的角度，且，因?yàn)椋?，因?yàn)榍€關(guān)于y軸對(duì)稱，故對(duì)應(yīng)的圖象關(guān)于軸（即y軸對(duì)稱）對(duì)稱，注意到關(guān)于的周期為，故曲線也關(guān)于和（即）對(duì)稱，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C:，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:，D錯(cuò)誤；故選：ABC．C另解：，該方程關(guān)于有解，令，則在上有根，由，則，或，解得；或綜上：．D另解：，解得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于將曲線進(jìn)行換元，令，，代入整理得，借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)探討即可.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式有關(guān)知識(shí)求得正確答案.【詳解】由于，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P，Q是E上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線．若則E的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)橢圓定義用表示，再利用余弦定理可解.【詳解】設(shè)，則，又由橢圓定義，得，所以又因?yàn)?，所以，所以．故答案為?14．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別為棱，，，的中點(diǎn)，且點(diǎn)都在球的表面上，點(diǎn)是球表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，異面直線與所成角的余弦值的平方為．【答案】【分析】根據(jù)條件，得出球是正方體的棱切球，進(jìn)而得出圓心和半徑，再利用球的性質(zhì)得出點(diǎn)的位置，利用幾何關(guān)系得出就是異面直線與所成角，再計(jì)算出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱，，，的中點(diǎn)，且點(diǎn)都在球的表面上，則球是正方體的棱切球，球心為對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為，取的中點(diǎn)，則點(diǎn)為延長(zhǎng)線與球O表面的交點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)，，．連接OE，則，就是異面直線與所成角，因?yàn)?，所以，所以異面直線與所成角的余弦值的平方為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于，利用點(diǎn)都在球的表面上，得到球?yàn)檎襟w的棱切球，利用球的性質(zhì)，將球面上的點(diǎn)到平面的最大距離轉(zhuǎn)化成球心到平面的距離不處理，再利用幾何關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè)為曲線的對(duì)稱中心．(1)求；(2)記的角對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，求邊上的高長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出解析式，即可求；（2）利用余弦定理得到，結(jié)合三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以且，所以，可知，又由，可知，所以，故，由，可得，即．（2），化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，故長(zhǎng)的最大值為．16．如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺(tái)，其中，．(1)求證：；(2)若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，BD，DE，設(shè)，由勾股定理的逆定理可得，同理可得，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可證明；（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得，又，根據(jù)線面、面面垂直的判定定理可得面面ABE，如圖，則為題意所求的線面角，解三角形即可.【詳解】（1）連接BD，DE，設(shè)，則，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，則四邊形BCDG為正方形，故，得，∴，∴同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，；

（2）由（1）知，又∵，∴，由，得．又∵，面ABCD，∴面ABCD，過(guò)點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)M，連接EM．因?yàn)槊鍭BCD，所以，又因?yàn)椋颐鍰EM，則面DEM，又面ABE，∴面面ABE．過(guò)點(diǎn)D作交EM于點(diǎn)N，連接AN．∴就是直線AD與面ABE所成的線面角．∵面面ADE，∴就是直線AD與面CDF所成的線面角．∵，又，，∴，又，∴，即直線AD與平面CDF所成線面角的正弦值為.

17．設(shè)函數(shù)().(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【分析】（1）只需分別求出即可；（2）求導(dǎo)得，根據(jù)是否大于0對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解；（3）分離參變量轉(zhuǎn)換為恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，只需求得的最小值即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，又，故在處的切線方程為.（2）因?yàn)?，則，

若，即時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；若，即或時(shí)，.+0─0+↗↘↗則在和上為增函數(shù)；在上為遞減函數(shù).（3）因?yàn)闀r(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，上式成立，也即當(dāng)時(shí)，恒成立，記，則.記，則，則在為減函數(shù)，則，即恒成立，則單調(diào)減，為增函數(shù)，，則，所以的取值范圍為.18．已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線．(1)若的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4，直線與有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線分別交軸，軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，過(guò)的左焦點(diǎn)作直線與相交于兩點(diǎn)（在軸上方），分別過(guò)作的切線，兩切線交于點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用直線與有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線分別交軸，軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，即可求解；（2）依題意，，設(shè)，聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理，得到切線方程，然后根據(jù)兩條切線方程聯(lián)立，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)求解三角形面積最值即可．【詳解】（1）因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4，所以，，聯(lián)立方程，得，又與有唯一的公共點(diǎn)，所以，即，的橫坐標(biāo)為，把代入中，，所以，過(guò)且與垂直的直線為，則，所以，，又，所以，即，所以的軌跡方程為．（2）因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，所以，，左焦點(diǎn)，當(dāng)斜率為0時(shí)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)，由得，設(shè)，則，，橢圓在軸上方對(duì)應(yīng)方程為，則點(diǎn)處切線斜率為，點(diǎn)處切線方程為，即，同理可得點(diǎn)處的切線方程為，由得，代入①得，所以，所以，而，所以，即，又，所以．令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，．所以面積的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與雙曲線及橢圓的位置關(guān)系，利用直線和圓錐曲線聯(lián)立，根據(jù)交點(diǎn)情況（1）中，（2）中，（