全國(guó)高數(shù)競(jìng)賽試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共40分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且當(dāng)x趨近于0時(shí)，(f(x)-f(0))/(x^2)的極限存在，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.f(x)在x=0處可導(dǎo)B.f'(0)存在且等于0C.f(x)在x=0處二階可導(dǎo)D.f(0)是f(x)的極小值2.已知函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，則以下哪個(gè)選項(xiàng)一定成立？A.存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0

B.存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

C.存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f(ξ)

D.存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=13.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，且f''(x)>0，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.f(x)在I上單調(diào)遞增B.f(x)在I上的圖像是凹的C.f'(x)在I上單調(diào)遞減D.f(x)在I上有極大值4.計(jì)算積分∫(0到1)x*e^xdx的值，以下哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.e-1

B.1C.eD.05.設(shè)級(jí)數(shù)∑(n=1到∞)a_n收斂，且a_n>0，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.∑(n=1到∞)√a_n收斂B.∑(n=1到∞)(a_n)^2收斂C.∑(n=1到∞)1/a_n發(fā)散D.∑(n=1到∞)a_n^3收斂6.設(shè)A為n階可逆矩陣，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.|kA|=k|A|

B.|A^T|=|A|C.|AB|=|A|*|B|僅當(dāng)A,B為對(duì)角矩陣時(shí)成立D.|A^-1|=-|A|7.已知函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2，在點(diǎn)(1,1)處沿方向(1,1)的方向?qū)?shù)為多少？A.√2

B.2√2

C.2D.18.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且∫(0到1)f(x)dx=0，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.f(x)在[0,1]上恒等于0B.存在ξ∈[0,1]，使得f(ξ)=0C.f(x)在[0,1]上單調(diào)D.f(x)在[0,1]上有界9.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，g(x)在x=a處有間斷點(diǎn)，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.f(x)+g(x)在x=a處連續(xù)B.f(x)*g(x)在x=a處連續(xù)C.f(x)/g(x)在x=a處可能連續(xù)D.以上都不對(duì)10.設(shè)A,B為n階矩陣，且AB=O，則以下哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.A=O或B=OB.|A|=0或|B|=0C.A,B均不可逆D.A,B的秩之和等于n二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共40分）11.下列哪些條件能保證函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)？A.f(x)在I上連續(xù)B.f(x)在I上有界且單調(diào)C.f(x)在I的閉包上連續(xù)D.f(x)在I上可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)有界12.下列哪些級(jí)數(shù)是收斂的？A.∑(n=1到∞)1/n^2B.∑(n=1到∞)(-1)^n/nC.∑(n=1到∞)n!/n^nD.∑(n=1到∞)1/(n*ln(n))13.下列哪些矩陣是正交矩陣？A.單位矩陣B.對(duì)角矩陣，對(duì)角元為±1C.旋轉(zhuǎn)矩陣D.任意可逆矩陣14.下列哪些函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足羅爾定理的條件？A.f(x)=x^2-1,x∈[-1,1]B.f(x)=|x|,x∈[-1,1]C.f(x)=sin(x),x∈[0,π]D.f(x)=1/x,x∈[1,2]15.下列哪些積分可以通過(guò)換元法簡(jiǎn)化？A.∫(0到1)x*e^(x^2)dxB.∫(0到π/2)sin(x)*cos(x)dxC.∫(1到∞)1/(x*ln(x))dxD.∫(0到1)√(1-x^2)dx16.下列哪些命題是正確的？A.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有界

B.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處連續(xù)

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)，則f(x)在I上有界

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上一致連續(xù)17.下列哪些條件能推出矩陣A可逆？A.A的行列式不為0B.A的秩等于其階數(shù)C.A的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)D.A的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)18.下列哪些函數(shù)是奇函數(shù)？A.f(x)=x^3B.f(x)=sin(x)C.f(x)=e^x-e^(-x)

D.f(x)=|x|19.下列哪些命題關(guān)于極限的運(yùn)算是正確的？A.lim(x→a)[f(x)+g(x)]=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)B.lim(x→a)[f(x)*g(x)]=lim(x→a)f(x)*lim(x→a)g(x)C.lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x)（lim(x→a)g(x)≠0）D.lim(x→a)[f(x)]^n=[lim(x→a)f(x)]^n20.下列哪些曲線(xiàn)在給定條件下有垂直切線(xiàn)？A.參數(shù)方程x=t^2,y=t^3，在t=0處B.隱函數(shù)方程x^2+y^2=1，在(1,0)處C.顯函數(shù)y=x^(1/3)，在x=0處D.極坐標(biāo)方程r=θ，在θ=0處三、判斷題（每題1分，共10分）21.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上的導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)。（）22.若級(jí)數(shù)∑(n=1到∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1到∞)|a_n|一定收斂。（）23.若矩陣A,B都是正交矩陣，則AB也是正交矩陣。（）24.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a的任意鄰域內(nèi)都有界。（）25.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，且f''(x)>0，則f'(x)在I上單調(diào)遞增。（）26.若兩個(gè)矩陣A,B相似，則它們一定有相同的特征值。（）27.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上一定存在最大值和最小值。（）28.若函數(shù)f(x)在x=a處的左極限和右極限都存在且相等，則f(x)在x=a處連續(xù)。（）29.若向量組α1,α2,...,αn線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αn也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（）30.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可積，則f(x)在I上一定有界。（）四、填空題（每題1分，共10分）31.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_______。32.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式為_(kāi)_______。33.曲線(xiàn)y=ln(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)斜率為_(kāi)_______。34.級(jí)數(shù)∑(n=1到∞)1/n(n+1)的和為_(kāi)_______。35.函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2在點(diǎn)(1,1)處的梯度為_(kāi)_______。36.積分∫(0到π/2)sin(x)dx的值為_(kāi)_______。37.若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，則α·β=________。38.方程x^2-4x+4=0的根為_(kāi)_______。39.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開(kāi)式的前兩項(xiàng)為_(kāi)_______。40.若矩陣A的特征值為1,2,3，則A的行列式為_(kāi)_______。答案：一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.B4.A5.B6.B7.B8.B9.D10.B二、多項(xiàng)選擇題11.CD12.ABC13.ABC14.A