專題09導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用一、單選題1．（2023屆山西省運(yùn)城市運(yùn)城中學(xué)高三第二次模擬）函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，所以所求切線方程為：，即.故選A2．（2024屆江蘇省淮安市高三上學(xué)期第一次調(diào)研）函數(shù)與直線相切，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．e D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)與直線相切于，直線斜率為，，故，則，故，即，解得，故.故選B3．（2024屆江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期初學(xué)情檢測）已知是奇函數(shù)，則在處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，化簡可得，當(dāng)時(shí)，對任意方程成立，故，所以，故，所以切線方程為，即.故選B4．（2024屆陜西省榆林市府谷縣高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，對求導(dǎo)得，則，且，所以，對求導(dǎo)得，則，且，所以.令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，即，所以，，所以，?故選C.5．（2024屆河南省新未來高三上學(xué)9月聯(lián)考）若存在，，使得直線與，的圖象均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，圖象上的切點(diǎn)分別為，，則過這兩點(diǎn)處的切線方程分別為，，則，，所以，設(shè)，，設(shè)，則，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，，可得時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故選C.6．（2024屆北京市八一學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試）直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，如果直線l與曲線相切，那么b等于（

）．A． B． C．1 D．【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為，且的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，所以切線的斜率為，即切線的斜率為，解得，可得切點(diǎn)為，由，解得.故選B7．（2024屆重慶市第十一中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知曲線與直線相切，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，時(shí)，，，切線方程為，又切線方程為，即，所以，消去得，易知，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以時(shí)，，從而取得最大值．故選C．8．（2024屆廣東省高三上學(xué)期新高考聯(lián)合質(zhì)量測評9月聯(lián)考）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)椋?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以切線方程為，所以，即，依題意關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解、，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解、，所以.故選D9．（2023屆云南省保山市高三二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以且，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選A.10．（2023屆河南省信陽高級中學(xué)高三下學(xué)期2月測試）已知過點(diǎn)不可能作曲線的切線．對于滿足上述條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，代入點(diǎn)得，，由于過點(diǎn)不可能作曲線的切線，則直線與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，，所以函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值也即是最大值，則．對于滿足此條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，等價(jià)于恒有兩個(gè)不同的變號零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解．令，則，，即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增．令，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．所以．所以．因?yàn)?，所以，所以．即?shí)數(shù)a的取值范圍是．故選A二、多選題11．（2024屆福建省廈門市松柏中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考）已知直線與曲線相切，則下列直線中可能與垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】的定義域?yàn)椋?，即直線的斜率，設(shè)與垂直的直線的斜率為，則，所以，.對于A，直線的斜率為，故A正確；對于B，直線的斜率為，故B錯(cuò)誤；對于C，直線的斜率為，故C正確；對于D，直線的斜率為，故D錯(cuò)誤.故選AC.12．（2024屆廣東省深圳市寶安第一外國語學(xué)校高三上學(xué)期8月月考）若過點(diǎn)可作3條直線與函數(shù)的圖象相切，則實(shí)數(shù)可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€方程為，又切線過，則，整理得，所以令，則，令得，所以當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極小值，當(dāng)時(shí)，取極大值，由可知當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的圖象大致如圖，

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)過點(diǎn)可作3條直線與函數(shù)的圖象相切，由此可知，BCD符合題意，故選BCD13．（2023屆湖南省長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模）已知，若過點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，其中，則m與n可能滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，過點(diǎn)恰能作兩條直線與曲線相切，即方程有2個(gè)解，即，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，，若，令，得或，令，得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

若，令，得或，令，得，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

又，，故由圖可知，當(dāng)或時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，或.故選AD.14．已知函數(shù)，，直線分別與曲線和曲線相切于點(diǎn)，，且直線也與曲線，都相切，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】選項(xiàng)A，B：易知，，所以，則，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則，所以，所以，，故A正確，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，D：曲線與曲線關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱性可知，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是與曲線的切點(diǎn)，則，，所以，則，，故C錯(cuò)誤，D正確．故選AD三、填空題15．（2024屆江西省樂安縣第二中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù).【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，則有，解得16．（2023屆江西省景德鎮(zhèn)市高三第三次質(zhì)量檢測）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則.【答案】【解析】，，切線斜率，切線方程可記為：或，，，則，易得，，.17．（2024屆江蘇省常州高級中學(xué)高三上學(xué)期期初檢測）在平面直角坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)且同時(shí)與曲線，曲線都相切的直線有兩條，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然這兩條曲線的公切線存在斜率，設(shè)為，因此切線方程為，設(shè)曲線的切點(diǎn)為，即，由，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，則有，設(shè)的切點(diǎn)為，即，由，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，則有，由題意可知：，于是有：，得，或，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，則有，由可解，.18．（2024屆福建省漳州市第三中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)過點(diǎn)的直線為，，設(shè)切點(diǎn)為，則，得有三個(gè)解，令，，當(dāng)，得或，，得，所以在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，，有三個(gè)解，得，即.19．（2024屆江西省智學(xué)聯(lián)盟體高三第一次聯(lián)考）若過軸上任意點(diǎn)可作曲線兩條切線，則的取值范圍．【答案】【解析】設(shè)曲線上一點(diǎn)，，在點(diǎn)的切線方程，把點(diǎn)代入切線方程得，得：，令，則，分別令，解得在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，當(dāng)，，，，要有兩個(gè)解，則即對任意，則，對任意，則，只要，令，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．．20．已知函數(shù)有兩條與直線平行的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可知的定義域?yàn)?，所以?由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切點(diǎn)為時(shí)，切線斜率為，切點(diǎn)為時(shí)，切線斜率為．又∵兩條切線與直線平行，可得，即，所以是關(guān)于方程的兩根，由，又，可得，所以．四、解答題21．（2023屆河南省部分學(xué)校高三押題信息卷）已知函數(shù)．(1)求證：曲線僅有一條過原點(diǎn)的切線；(2)若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí)有，即，故，因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)有且只有一個(gè)，則曲線僅有一條過原點(diǎn)的切線，即得證.（2）關(guān)于的方程有唯一解，即方程，有唯一解，令，則.因?yàn)椋十?dāng)，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.易知的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，設(shè)有兩個(gè)根，，則，，故.①若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故要使得有唯一解，則或恒成立.此時(shí)，即，，.則極大值，令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，又恒成立，故，；同理，極小值，當(dāng)時(shí)無最小值，此時(shí)無實(shí)數(shù)使得恒成立.②若，則，，不滿足；③若，由①可得；故當(dāng)時(shí)，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.22.（2024屆江蘇省南通市如東縣高三上學(xué)期期初學(xué)情檢）已知是函數(shù)的極值點(diǎn).(1)求的極值；(2)證明：過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線.【解析】（1）因?yàn)?，所?/p>