曹楊中學2024-2025學年第二學期高二年級數(shù)學期末一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知復數(shù)，則．

2．若數(shù)列為首項為3，公差為2的等差數(shù)列，則．

3．已知二項式，其展開式中含項的系數(shù)為．

4．已知是第二象限角，，則．

5．已知拋物線經(jīng)過點，則此拋物線的準線方程是．

6．設為隨機變量，，若隨機變量的期望為2，則．

7．曲線在處切線的斜率是．

8．有一系列正方形，邊長組成以1為首項，為公比的等比數(shù)列，表面積分別記為，則．

9．某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為．

10．給出下列4個命題：

（1）若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則；

（2）一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為15；

（3）已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差也是3；

（4）對具有線性相關關系的兩個變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是4．其中正確命題的序號為．

11．已知雙曲線的左、右頂點分別為是上一點，為等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為．

12．已知函數(shù),點是函數(shù)圖象上不同的兩個點，設為坐標原點，則的取值范圍是．二、選擇題（本題滿分18分，13、14每小題滿分4分，15、16每小題滿分5分）

13．設為非零向量，則＂存在，使得＂是＂＂的（）.

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

14．從含甲、乙在內(nèi)的5名同學中隨機選取3人參加某項活動，則在甲被選中的條件下，乙也被選中的概率是（）.

A．B．C．D．

15．在中，已知，且，則的形狀為（）.

A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一個角為的直角三角形 D．等邊三角形

16．關于曲線，給出下列四個結論：

（1）曲線關于原點對稱，但不關于軸，軸對稱；

（2）曲線恰好經(jīng)過8個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

（3）曲線上任意一點到原點的距離都不大于；

（4）曲線上任意一點到原點的距離都不小于2．其中，正確結論的個數(shù)是（）.

A．1B．2C．3D．4

三、解答題（本大題共5題，滿分78分）

17．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．

如圖為正四棱柱，其中.

（1）求矩形繞旋轉一周所得幾何體的表面積；

（2）若為的中點，求直線與平面所成角的大?。?/p>

18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。

已知數(shù)列的前項和為，且滿足是正整數(shù)．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；

（2）設，如果對于任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍．

19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．

某班組織同學們在體測前進行立定跳遠、鉛球兩個項目的測試，已知個人總成績?yōu)閭€人各項目成績之和，立定跳遠合格得60分，投擲鉛球合格得20分.否則不得分，此外只有當?shù)谝粋€測試項目的成績合格后，才能進行另一項測試．在這兩項測試中，得到相關數(shù)據(jù)如下：（單位：名）項目順序個人總成績合格（人數(shù)）個人總成績不合格（人數(shù)）合計先立定跳遠20828先投擲鉛球101626合計302454（1）分析能否有的把握認為先立定跳遠與個人總成績是否合格存在關聯(lián)？

（2）設甲同學立定跳遠的合格率為0.75，投擲鉛球的合格率為0.8，且兩個項目是否合格相互獨立．若甲同學要使總成績的期望最大，那么他應該先選哪個項目？說明理由．

附：，其中。20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知橢圓過點，離心率．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點的斜率為直線交橢圓于另一點，若的面積為2，其中為坐標原點，求直線的斜率的值；

（3）設過點的直線交橢圓于點，直線分別交直線于點．求證：線段的中點為定點．

21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知函數(shù)和.

（1）求在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)的最大值和的最小值互為相反數(shù)，求的值；

（3）若對任意，都存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.（2）（3）；11.12.11．已知雙曲線的左、右頂點分別為是上一點，為等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為．

【答案】【解析】設在雙曲線的左支上，∵外接圓面積為，設外接圓的半徑為，令則的坐標為即

代入雙曲線方程可得，由，可得，即有12．已知函數(shù),點是函數(shù)圖象上不同的兩個點，設為坐標原點，則的取值范圍是．【答案】【解析】當時，，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，

當時，由，得，即

作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的方程為，切點為，則切線方程為，

將原點坐標代入切線方程得，即，令函數(shù)，其中，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，

由，解得，則，

而函數(shù)的漸近線方程為設直線與的夾角為，設直線的傾斜角為，

則

結合圖形可知，．故答案為：．二、選擇題13.A14.B15.D16.B15．在中，已知，且，則的形狀為（）.

A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一個角為的直角三角形 D．等邊三角形

【答案】D【解析】由和正弦定理可得，即,所以，由可得，又，所以，

所以，所以的形狀為等邊三角形故選：．16．關于曲線，給出下列四個結論：

（1）曲線關于原點對稱，但不關于軸，軸對稱；

（2）曲線恰好經(jīng)過8個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

（3）曲線上任意一點到原點的距離都不大于；

（4）曲線上任意一點到原點的距離都不小于2．其中，正確結論的個數(shù)是（）.

A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意，關于曲線，對于（1），對于，有成立，即點也在曲線上，故曲線當于原點對稱，對于，方程不一定成立，方程不一定成立，故曲線不關于坐標軸對稱，（1）正確；

對于（2），時，時，；．

則曲線恰好經(jīng)過6個整點，，故（2）不正確；

對于（3），，由于，即，則有,即，即曲線上任意一點到原點的距離都不大于，（3）正確；

對于（4），當時，曲線上任意一點到原點的距離，（4）錯誤；正確的有（1）（3）．故選：B．三、解答題17.（1）（2）18.（1）證明略，（2）19.（1）存在關聯(lián)（2）立定跳遠，因為期望更大20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知橢圓過點，離心率．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點的斜率為直線交橢圓于另一點，若的面積為2，其中為坐標原點，求直線的方程；

（3）設過點的直線交橢圓于點，直線分別交直線于點．求證：線段的中點為定點．【答案】（1）（2）或．（3）證明見解析，定點．【解析】依題意，解得，，所以橢圓的方程為．

（2）當直線的斜率不存在時，，，此時，所以直線的方程為．

當直線的斜率為0時，，此時，所以直線的方程為．

當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，原點到直線的距離為，由消去并化簡得

設，則所以則，解得（舍去）.

綜上所述，直線的方程為或．

（3）依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為

由，消去并化簡得，

則，

由，．

依題意可知直線的斜率存在，直線的方程為，

令，得，同理可求得，

所以，所以線段的中點為定點．21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知函數(shù)和.

（1）求在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)的最大值和的最小值互為相反數(shù)，求的值；

（3）若對任意，都存在，使得，求實數(shù)的取值范圍