第25頁(yè)，共25頁(yè)第頁(yè)，共頁(yè)2025年高三《第八單元立體幾何與空間向量》測(cè)試卷一、單選題1.α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α/?/β”是“m//β”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán)，側(cè)面積為4π，則圓臺(tái)上下底面面積之差的絕對(duì)值為(

)A.π B.2π C.4π D.8π3.如圖所示，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是(

)A.M，N，P，Q四點(diǎn)共面

B.∠QME=∠CBD

C.△BCD∽△MEQ

D.四邊形MNPQ為矩形4.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為AC，A1BA.π6 B.π4 C.π35.如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，OE=A.112a?b+112c 6.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿x軸折成直二面角，此時(shí)A,B之間的距離為11，則φ=(

)

A.π6 B.π3 C.2π7.已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為35，則該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為(

)A.12π B.27π C.64π9 D.8.如圖，ABCD?EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足AP=34AB+12AD+2A.34 B.45 C.569.如圖，半球的球心為O，BC為底面大圓O的直徑，點(diǎn)A在球面上，且AO垂直于底面，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則直線MN與AO所成角的正切值為(

)

A.105 B.33 C.10.如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=PB=CA=CB=2，∠APB=∠ACB=π2，E，F(xiàn)，G分別為PA，PB，PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，若此時(shí)恰好存在一個(gè)小球與三棱錐P?ABC的四個(gè)面均相切，且小球同時(shí)還與平面EFG相切，則PC=(

)

A.6+2 B.6?11.金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成金剛石的每個(gè)碳原子，都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來(lái)看，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而中間的那個(gè)碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說(shuō)，圖2中有AE=BE=CE=DE，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，則下列結(jié)論不正確的是(

)

A.AE?CD=0 B.EA+EB+12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，且MA在CN方向上的投影向量為μCN，則μ的值為(

)

A.23 B.13 C.2513.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=6A.AP=23AB+13AC+13AA1二、多選題14.如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中(

)

A.AF//CN B.BM⊥DE

C.CN與BM成60°角 D.NE與BM是異面直線15.已知正方體ABCD?A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，M是AA'中點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足D'N=λD'C'(λ∈[0,1])，平面MPN截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為V1，VA.λ=12時(shí)，截面面積為32 B.λ=12時(shí)，V1=V2

16.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM=2A1M，C1N=2A.AB與B1C1的夾角為60° B.MN=1317.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，以直線DA，DC，DDA.點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(5,4,3)

B.點(diǎn)C1關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱的點(diǎn)為(8,5,?3)

C.點(diǎn)A關(guān)于直線BD1對(duì)稱的點(diǎn)為(0,5,3)

D.點(diǎn)C三、填空題18.已知AB=(?2,2,?2)，AC=(?1,6,?8)，AD=(x?4,?2,0)，且點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，則x=

19.如圖，在坡面α與水平面β所成二面角為60°的山坡上，有段直線型道路AB與坡腳l成30°的角，這段路直通山頂A.已知此山高1353米．若小李從B點(diǎn)沿著這條路上山，并且行進(jìn)速度為每分鐘30米，那么小李到達(dá)山頂A需要的時(shí)間是

分鐘．

20.如圖，在多面體EF?ABCD中，四邊形ABCD是矩形，EF/?/AB，G為CD的中點(diǎn).記四棱錐A?DEFG，F(xiàn)?ABCG的體積分別為V1，V2，若EF:AB=3:4，則V1:V2四、解答題21.已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別為AA1和AB的中點(diǎn)，求證：

(1)D1，M，N22.如圖，底面是正三角形的直三棱柱ABC?A1B1C1中，D(Ⅰ)求證：A1C//平面(Ⅱ)求的A1到平面AB23.如圖，已知AD//BC//FE，平面ABF⊥平面ADEF，AB⊥AF，AF⊥AD，AD=2BC=2EF=2AF=2，點(diǎn)P為梯形ADEF內(nèi)(1)求點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度；(2)當(dāng)線段BP最短時(shí)，直線BP與平面BCEF的夾角θ的正弦值為36，求三棱錐P?CDE24.已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，E，F(xiàn)分別為AC和AB上的點(diǎn)，且AE=1，EF//BC，如圖1.沿EF將△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，連接AC，AB，如圖2．

(1)求異面直線AC與BF所成角的余弦值；(2)已知M為棱AC上一點(diǎn)，試確定M的位置，使EM//平面ABF．25.如圖，四棱柱ABCD??A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1(1)證明：B1(2)求二面角B1(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為答案和解析1.【答案】A

【解析】α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，若α/?/β，則m//β，

若m//β，則α與β可能平行，也可能相交，

所以“α/?/β”是“m//β”的充分不必要條件．

故選：A．2.【答案】B

【解析】設(shè)圓臺(tái)上下底面半徑分別為r，R(R>r)，

設(shè)展開圖中大半圓半徑為R1，小半圓半徑為R2，

因?yàn)閳A臺(tái)側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán)，

所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l=R1?R2，且2πR=πR1，2πr=πR2，

由此可得R1=2R，R2=2r，那么母線長(zhǎng)l=2R?2r=2(R?r)，

已知圓臺(tái)側(cè)面積S側(cè)=π(R+r)l=4π，

3.【答案】D

【解析】由題意可知，MQ/?/BD，ME/?/BC，QE//CD，NP//BD，所以MQ//NP，

對(duì)于A，由MQ//NP，可得M，N，P，Q四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B，根據(jù)空間等角定理，得∠QME=∠CBD，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，根據(jù)空間等角定理，得∠QME=∠CBD，∠MEQ=∠BCD，

則△BCD∽△MEQ，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，沒有充分理由推證四邊形MNPQ為矩形，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：D．4.【答案】B

【解析】連接BD，A1D，則有MN//A1D，

所以異面直線MN與AD所成角等于A1D與AD所成的角，即∠ADA1

5.【答案】B

【解析】∵OE=12ED，

∴OE=16.【答案】C

【解析】如圖，因?yàn)閒(x)的最小正周期T=2ππ3又|AC|=M，|BC|=所以折成直二面角時(shí)，因?yàn)锳C⊥x軸，AC?平面ACD，所以AC又BC?平面BCD，所以AC所以|AB|=|AC|2+|BC所以，又f(0)=sinφ=因?yàn)?，所以?π3或2π又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在y軸右側(cè)附近單調(diào)遞減，所以φ=2π故選：C．7.【答案】D

【解析】在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，取AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)為E，F(xiàn)，G，H，

連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，

正方形ABCD的中心為O1，正方形A1B1C1D1的中心為O2，連接O1O2，

則GH=2，EF=8，F(xiàn)G=EH=352?8?222=6，

O1O2=FG2?EF?GH22=33，

記同時(shí)與正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1底面8.【答案】C

【解析】分別以AB、AD、AE為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

∵正方體ABCD?EFGH的棱長(zhǎng)為1，

∴AB=(1,0,0)，AD=(0,1,0)，AE=(0,0,1)，

∵AP=34AB+12AD+23AE，

∴AP=(34,12,239.【答案】D

【解析】過(guò)M點(diǎn)做MD⊥BC，交BC于D點(diǎn)，連接MO，NO，DN，如圖，

因?yàn)锳O⊥底面，BC?底面，

所以AO⊥BC，AO，MD共面，所以MD//AO，

∠NMD為直線MN與AO所成角，

AO⊥底面，所以MD⊥底面，又ND?底面，

所以MD⊥ND，

設(shè)半球的半徑為1，則OM=ON=1，

點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，所以NO⊥BC，

又AO⊥底面，NO?底面，

所以NO⊥AO，

AO∩BC=O，AO，BC?平面ABC，

所以NO⊥平面ABC，又OM?平面ABC，

所以NO⊥MO，由勾股定理得MN=1+1=2，

點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，

所以∠MOC=45°，所以MD=22，ND=2?10.【答案】B

【解析】如圖，取AB中點(diǎn)M，連接PM，CM，

由題可知AB⊥PM，AB⊥CM，

因?yàn)镻M∩CM=M，PM，CM?平面PMC，

所以AB⊥平面PMC，作PH⊥MC，垂足為H，

因?yàn)镻H?平面PMC，所以AB⊥PH，

又CM∩AB=M，CM，AB?平面ABC，

所以PH⊥平面ABC，

過(guò)點(diǎn)H作HN⊥BC，垂足為N，連接PN，易知BC⊥PN，

設(shè)小球半徑為r，所以PH2r=PBFB=32，所以PH=3r，

根據(jù)題意，V三棱錐P?ABC=13S△ABC?PH=13(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)?r11.【答案】D

【解析】由題意得，E是正四面體ABCD

外接球的球心．

設(shè)點(diǎn)

O

是頂點(diǎn)

A

在底面的射影，則

AO

是正四面體ABCD

的高，OB

是

?BCD

的外接圓半徑，對(duì)于A，因?yàn)?/p>

AE⊥底面

BCD，CD?底面BCD

，所以

AE⊥CD

，所以

AE?CD=0

取CD的中點(diǎn)G，AB的中點(diǎn)F，連接BG，GF，F(xiàn)C,FD，則O在BG上，取FG的中點(diǎn)為M

，因?yàn)?/p>

AG=BG=3

，則在等腰

?BGA

中，

GF⊥AB

，則

MA=MB=同理，在等腰

?CFD

中，

MC=MD=C則

M

為外接球的球心，即M與E重合，則E是FG的中點(diǎn)，對(duì)于B，

EA+EB=2EF

，

EC+ED=2所以

EA+EB+

EC+因?yàn)?/p>

AG=BG=3則

OB=23BG=23因?yàn)?/p>

BE2=(AO?AE)2+B則

AE2=263?AE2對(duì)于D，因?yàn)?/p>

cos?AC所以

AC?AE=AC故選：D12.【答案】A

【解析】以{CA,CB,CD}作為基底，

則MA=CA?CM=CA?12CB，CN=12(CA+CD).

設(shè)向量CN與MA的夾角為θ，

則直線AM和CN夾角的余弦值等于|cosθ|.

CN?MA=12(CA+CD)?(

CA?12CB)

=13.【答案】D

【解析】對(duì)于A:由題意知AP=AB+BP=AB+23BC1=AB+23(AC1?AB)

=13AB+23(AC+AA1)=13AB+23AC+23AA1，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B:記AB=a，AC=b，AA1=c，14.【答案】BCD

【解析】展開圖翻折成的正方體如圖所示，由正方體的性質(zhì)，

因?yàn)镃N//BE，BE⊥AF，因此CN⊥AF，所以A錯(cuò)誤；

同理DE//CF，CF⊥BM，所以BM⊥DE，所以B正確；∠MBE或其補(bǔ)角是CN與BM所成的角，又△MBE是等邊三角形，所以∠MBE=60°，所以CN與BM所成的角是60°又NE//平面MFBC，NE//MF,MF∩BM=M，所以NE與BM不平行，NE與BM是異面直線，所以D正確．故選：BCD．15.【答案】BCD

【解析】如圖，當(dāng)λ=12時(shí)，截面為正六邊形，且棱長(zhǎng)為22，故截面面積為33由對(duì)稱性可知，當(dāng)λ=12時(shí)，平面分兩部分體積相等，B如圖，當(dāng)λ從0變化到1時(shí)，截面從四邊形MD'CP變化至五邊形MPJC'Q(其中J為BC靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn))，被截面所分兩部分體積之差的絕對(duì)值先減小至0，再逐漸增大，故C正確．

|V1?V2|取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)為λ=0，或λ=1時(shí)情形.計(jì)算可知λ=0時(shí)，|V1?V2|=512，

16.【答案】BD

【解析】根據(jù)題意得a·b=0,a·c=b·c=12，

對(duì)于A，AB與B1C1的夾角為A1B1與B1C1的夾角的補(bǔ)角，為120°，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，MN=A1N?A1M=A17.【答案】BC

【解析】由圖形及其已知可得：點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(4,5,3)，

點(diǎn)C1(0,5,3)關(guān)于點(diǎn)B(4,5,0)對(duì)稱的點(diǎn)為(8,5,?3)，

點(diǎn)A(4,0,0)關(guān)于直線BD1對(duì)稱的點(diǎn)為C1(0,5,3)，

點(diǎn)C(0,5,0)關(guān)于平面ABB1A118.【答案】11

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，所以存在唯一實(shí)數(shù)λ，μ，使得AD=λAB+μAC成立，

所以(x?4,?2,0)=λ(?2,2,?2)+μ(?1,6,?8)，

因此x?4=?2λ?μ?2=2λ+6μ0=?2λ?8μ，解得19.【答案】18

【解析】過(guò)點(diǎn)A作AO⊥平面β，垂足為O，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥直線l，垂足為C，連接AC，

則AC⊥直線l，∠ACO=60°，AO=1353，如圖所示；

在Rt△AOC中，AC=AOsin∠ACO=1353sin60°=270，

Rt△ABC，∠ABC=30°，∴AB=2AC=540，

小李行進(jìn)速度為每分鐘30米，它到達(dá)山頂20.【答案】5:6

【解析】連接AC，如圖，

因?yàn)镚為CD的中點(diǎn)，且EF:AB=3:4，

則四邊形DEFG與△CFG的面積比為5:2，

所以V1:VA?CFG=5:2，

又易知△ACG與△ABC的面積比為1:2，

所以VA?CFG:VF?ABC=VF?ACG21.【解析】證明：(1)如圖，連接A1B，

因?yàn)镸、N分別為AA1和AB的中點(diǎn)，

所以MN/?/A1B，

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，

易知A1D1/?/BC，A1D1=BC，

所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，

所以A1B/?/D1C，所以MN/?/D1C，

所以MN與D1C確定一個(gè)平面，

所以M，N，C，D1四點(diǎn)共面；

(2)因?yàn)镸N/?/D1C，且MN=12A1B=12D1C，

所以直線D1M與CN必相交，

設(shè)D1M∩CN=K22.【解析】(1)連接A1B交AB1于O，連接OD，在ΔBA1C中，O∴OD//A又因?yàn)镺D?面AB1D∴A(2)解法一：設(shè)A1點(diǎn)到平面AB1在ΔADB1中，AB1DB1=為RtΔ，

，又SΔA過(guò)D作DH⊥AB于H，

又∵A∴DH⊥BB1，∴DH⊥面A1B1BA∵V即13解得?=2解法二：由①可知A1∴點(diǎn)A1到平面AB1D的距離等于點(diǎn)為RtΔ，∴SSΔADC=設(shè)點(diǎn)C到面AB1DVC?A即13解得?=223.【解析】(1)因?yàn)槠矫鍭BF⊥平面ADEF，AB⊥AF，平面ABF∩AB?平面ABF，故AB⊥平面而AF⊥設(shè)B(0,0,b)，則A(0,0,0),F(1,0,0),E(1,1,0),D(0,2,0),C(0,1,b)，因?yàn)辄c(diǎn)P為梯形ADEF內(nèi)(包括邊界)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)P(x,y,0)，則BP=(x,y又EC=(?1,0,b),設(shè)平面CDE的法向量為m=(x,y,z)則m·EC=?x+bz=0因BP//平面CDE，則BP故bx+by?b=0，即x+y?1=0，取x=0，則y=1，取y=0，則x=1，故P的軌跡長(zhǎng)度為1(2)如圖，取AD的中點(diǎn)為G，連接FG，AP，由(1)可得P的軌跡為FG，

又由(1)可得BA⊥平面ADEF，而AP?平面故AB⊥AP，因?yàn)锳P2=BP2而AF=AG=1，故點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，故P1設(shè)平面BCEF的法向量為n=(u,v,t)，

而EF=(0,?故n·EF=?v=0因?yàn)橹本€BP與平面BCEF的夾角θ的正弦值為3而BP=12故2b4?3b2易得BC//平面ADEF，則點(diǎn)C到平面PDE的距離為1或又ED=(?1,1,0)，EP故點(diǎn)P到直線ED的距離為，易得ED=2故三棱錐P?CDE的體積為13×1