第20頁(yè)，共20頁(yè)第頁(yè)，共頁(yè)2025年高三《第四單元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》測(cè)試卷一、單選題1.設(shè)函數(shù)fx=ax?alnx(a>0且a≠1)在區(qū)間A.e,+∞ B.e2,+∞ C.2e,+∞ 2.函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，f?1=2，對(duì)任意x∈R，f'x>2，則A.?1,1 B.?1,+∞ C.?∞,?1 D.?∞,+∞3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且滿足f(x)=2xf'(e)+lnx，則f(e)=(

)A.e B.?1e C.?1 4.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種液體材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每出售1mL的液體材料，制造商可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為8cm，則當(dāng)每瓶液體材料的利潤(rùn)最大時(shí)，瓶子的半徑為(

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm5.如圖所示，已知直線y=kx與曲線y=fx相切于兩點(diǎn)，函數(shù)gx=kx+mm>0，則對(duì)函數(shù)Fx=gA.有極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn) B.有極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)

C.至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) D.至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)6.已知函數(shù)f(x)=ex?x22?1，若f(x)≥kx在A.(?∞,1] B.(?∞,e] C.(?∞,2e] D.(?∞,7.設(shè)直線x=t與函數(shù)fx=2x2,gx=lnA.12+ln2 B.3ln2?18.羅爾中值定理是微分學(xué)中的一個(gè)重要定理，與拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并稱微分學(xué)三大中值定理．羅爾中值定理：若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)記為f'(x)，且函數(shù)f(x)滿足條件①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；③f(a)=f(b).那么至少存在一個(gè)ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0.已知函數(shù)f(x)=ex?ax2?(e?a?1)x?1，a∈R在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，其中，e=2.718…A.12,1 B.12,e29.過點(diǎn)(1,0)可以做三條直線與曲線y=xex?a相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.?5e2,0 B.?5e10.若二次函數(shù)f(x)=x2+1的圖象與曲線C：g(x)=aex+1(a>0)A.(0,4e2] B.(0,8e11.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=fx及其導(dǎo)函數(shù)y=f'x的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)0,1，則

A.函數(shù)y=fx+x的最小值為1 B.函數(shù)y=fxex的最小值為1

C.函數(shù)y=fx?12.已知函數(shù)f(x)=ex?2m，g(x)=x2?mx，若過點(diǎn)(m,0)的直線與曲線y=f(x)和y=g(x)A.?2 B.?1 C.1 D.2二、多選題13.已知函數(shù)fx=13A.函數(shù)fx

的極大值為223，極小值為?103

B.若函數(shù)fx在?2,a上單調(diào)遞減，則?2<a≤2

C.當(dāng)x∈3,4時(shí)，函數(shù)fx的最大值為223，最小值為?14.已知f(x)=xlnx?2x?1A.f(x)的定義域是[12,+∞)

B.函數(shù)f(x)在(12,1)上為減函數(shù)

C.若直線y=m和15.關(guān)于函數(shù)fx=exA.若過點(diǎn)a,b可以作曲線fx的兩條切線，則0<b<ea

B.若fx?kx≥0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為0≤k≤e

C.若gx≤mfx在1,3上恒成立，則16.已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnxA.函數(shù)y=f(x)?g(x)在0,1e上單調(diào)遞減

B.若P，Q分別是曲線y=f(x)和y=g(x)上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為2

C.函數(shù)y=f(x)?g(x)的最小值為2

D.若f(x)?g(mx)≥(m?1)x對(duì)x17.已知函數(shù)f(x)=xexA.0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

B.函數(shù)f(x)僅有一個(gè)極小值?1e

C.若1<x1<3<x2，且f(x1)=f(x2三、填空題18.曲線y=1?xln(2x)的一條切線為y=?2x+b，則b=__________．19.定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足fx>0，f'x為?fx的導(dǎo)函數(shù)，且2fx<xf'20.已知點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，定義dAB=(x1?y2)2四、解答題21.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(3)=27，g(3)=3．

(1)求f(x)的解析式；

(2)設(shè)曲線y=g(x)在點(diǎn)(t,g(t))(t≠0)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t)，求S(t)22．已知函數(shù)f(x)=2aln(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=?x+b，求a和b的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性．23.如圖，一個(gè)面積為6400平方厘米的矩形紙板ABCD，在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，AD的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中a≥b．(1)當(dāng)a=80，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定以a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．24.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：e其中n!=1×2×3×4×?×n,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828??.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)fx(1)證明：ex(2)設(shè)x∈0,+∞，證明：f(3)設(shè)Fx=gx?a1+x2225.已知函數(shù)f(x)=alnx+(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a=1時(shí)，若f(x1)+f((3)求證：對(duì)于任意n∈N?都有2ln答案和解析1.【答案】A

【解析】依題意，f'x=a記gx=f'x=a所以f'x在1,+∞上單調(diào)遞增，所以只需alna?a=a故選：A．2.【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=f(x)?2x?4，

則g,x=f,x?2，

因?yàn)閷?duì)任意x∈R，f'(x)>2，

所以對(duì)任意x∈R，g,x>0，

即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(?1)=2，

所以g(?1)=f(?1)+2?4=0，

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)單調(diào)遞增，

由3.【答案】C

【解析】由f(x)=2xf'(e)+lnx，得f'(x)=2f'(e)+1x，則f'(e)=2f'(e)+1e，

所以f'(e)=?1e，

故f(x)=?24.【答案】A

【解析】由題意可知，每瓶液體材料的利潤(rùn)是

y=f(r)=0.3×43πr3?0.1πr4=0.1π(4r3?r4)，0<r≤8，

所以f'(r)=0.4πr2(3?r)，

令f'(r)=0，得r=3，

當(dāng)r∈(0,3)時(shí)，f'(r)>0，5.【答案】C

【解析】由題設(shè)，F(xiàn)(x)=kx+m?f(x)，則F'(x)=k?f'(x)，

又直線y=kx與曲線y=f(x)相切于兩點(diǎn)且橫坐標(biāo)為x1,x2且x1<x2，

所以F'(x)=0的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2，

由圖知：存在x0∈(x1,x2)使F'x0=0，

綜上，F(xiàn)'(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)x1<x0<x2，

由圖：(0,x1)6.【答案】A

【解析】當(dāng)x=0時(shí)，f(x)≥kx顯然恒成立；

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥kx即為ex?12x2?kx?1≥0，設(shè)g(x)=ex?12x2?kx?1(x>0)，

則g'(x)=ex?x?k，設(shè)?(x)=ex?x?k，

?'(x)=ex?1>0，

∴函數(shù)g'(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，

①當(dāng)k≤1時(shí)，g'(x)>g'(0)=1?k≥0，故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，

∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；

②當(dāng)k>1時(shí)，g'(0)=1?k<0，g'(k)=ek?2k>0，故存在7.【答案】A

【解析】設(shè)M(t,2t2)，N(t,lnt)，

則|MN|=2t2?lnt,t>0，

設(shè)?(t)=2t2?lnt，t>0，則?'(t)=4t?1t=(2t+1)(2t?1)t，

當(dāng)?'(t)>0，解得t>12，當(dāng)?'(t)<0，解得0<t<128.【答案】D

【解析】依題意設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)為x1，則有f(x1)=f(0)=0，

由羅爾中值定理可知，存在x2∈(0,x1)，使f'(x2)=0，

同理，由f(x1)=f(1)=0及羅爾中值定理可知，

存在x3∈(x1,1)，使f'(x3)=0，

故f'(x)=0在(0,1)上至少有兩個(gè)不等實(shí)根，

令g(x)=f'(x)=ex?2ax?(e?a?1)，

則g'(x)=ex?2a，顯然g'(x)=ex?2a在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a≤12，x∈(0,1)時(shí)，g'(x)>0，此時(shí)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

故f'(x)=0在(0,1)上至多只有一個(gè)實(shí)根，

同理可知，當(dāng)a≥e2，x∈(0,1)時(shí)，g'(x)<0，此時(shí)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

故f'(x)=0在(0,1)上至多只有一個(gè)實(shí)根，

當(dāng)12<a<e2時(shí)，令g'(x)=0，可得9.【答案】A

【解析】設(shè)切點(diǎn)為Mx0,y0∴點(diǎn)M處的切線斜率k=x則過點(diǎn)P的切線方程為y=x又切線過點(diǎn)(1,0)，所以0=x0+1∵過點(diǎn)(1,0)可以作三條直線與曲線C:∴方程a=(?x令f(x)=?x2令f'(x)=0，解得x1=?2，則當(dāng)x∈(?∞,?2)時(shí)，f'(x)<0，f(x)在(?∞,?2)上單調(diào)遞減，且x→?∞當(dāng)x∈(?2,1)時(shí)，f'(x)>0，f(x)在(?2,1)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f'(x)<0，f(x)如圖所示，

故f(?2)<a<0，即?5故選：A．10.【答案】A

【解析】設(shè)公切線與f(x)=x2+1的圖象切于點(diǎn)(x1,x12+1)，

與曲線C：g(x)=aex+1切于點(diǎn)(x2,aex2+1)，

∴2x1=aex2=(aex2+1)?(x12+1)x2?x1=aex2?x12x2?x1，

化簡(jiǎn)可得，【解析】由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象都在x軸上方，則f'因此實(shí)線為y=f(x)的圖象，虛線為y=f'(x)對(duì)于A，y'=f對(duì)于B，y'=f'(x)?f(x)ex，由圖知，當(dāng)x<0因此函數(shù)y=f(x)ex在(?當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值ymax=f(0)對(duì)于C，y'=f函數(shù)y=f(x)?ex在R對(duì)于D，y'由圖知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)?f'(x)<0函數(shù)y=exf(x)在(?因此當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值ymin=e故選：D．12.【答案】C

【解析】因?yàn)間x=x2?mx，所以g'x=2x?m．

因?yàn)辄c(diǎn)(m,0)在曲線y=?g(x)上，所以曲線y=?g(x)在點(diǎn)(m,0)處的切線方程為y=g'mx?m=mx?m．

設(shè)過點(diǎn)(m,0)的直線l與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)Px0,y0．

因?yàn)閒x=ex?2m，所以f'x=ex，

因此直線l的方程為y=f'x0x?x0+ex0?2m=ex0x?x0+ex0?2m，

而直線l過點(diǎn)(m,0)，所以ex0m?x0+ex0?2m=0，

即?x0ex0+ex0?2m=?mex0，

因此直線l13.【答案】ABD

【解析】f(x)定義域?yàn)镽，f'(x)=x2?4，

令f'(x)=0，得x=?2或2，由f'(x)>0，得x<?2或x>2，由f'(x)<0，得?2<x<2，

所以在(?∞,?2)，(2,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，在(?2,2)上單調(diào)遞減，故B正確;

f(x)極大值=f(?2)=13(?2)3?4(?2)+2=223

f(x)極小值=f(2)=13×23?4×2+2=?103，故A正確;

f(3)=13×33?4×3+2=?114.【答案】ABD

【解析】因?yàn)閒(x)=xlnx?2x?1，

對(duì)于A，由題有x>02x?1?0，解得x?12，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B，f'x=lnx+1?12x?1，

令g(x)=f'x=lnx+1?12x?1，

則g'x=1x+122x?1?32×2=1x+12x?13，

所以在12,+∞上g'x>0恒成立，所以g(x)在12,+∞上單調(diào)遞增，

又g(1)=0，當(dāng)x∈(12,1)時(shí)f?'(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)f?15.【答案】ABC

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，畫出曲線f(x)=ex的圖象，

根據(jù)圖可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和x軸上才可以作出兩條切線，故0<b<ea，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B，f(x)?kx≥0在R上恒成立，等價(jià)于y=ex在R上恒在y=kx上方，

設(shè)y=ex的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，其切線方程為y?ex0=ex0x?x0，

對(duì)應(yīng)的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，將(0,0)代入解得x0=1，

其切線的斜率k=e，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為0≤k≤e，故B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C，若g(x)≤mf(x)在[1,3]上恒成立，

則m≥g(x)f(x)=x2ex在[1,3]上恒成立，即m≥(g(x)f(x))max，x∈[1,3]，

設(shè)F(x)=g(x)f(x)=x2ex，F(xiàn)'(x)=x(2?x)16.【答案】ABD

【解析】函數(shù)y=f(x)?g(x)=ex?lnx，定義域?yàn)?0,+∞)，

其導(dǎo)函數(shù)y'=ex?1x顯然單調(diào)遞增，

∴當(dāng)0<x<1e時(shí)，y'<e1e?e<0

所以函數(shù)y=f(x)?g(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減，故A正確；

函數(shù)f(x)和g(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

結(jié)合圖像可知，當(dāng)直線PQ與y=x垂直，且P，Q處兩函數(shù)圖像的切線平行于y=x時(shí)，|PQ|最小，

f'(x)=ex=1，得x=0，P(0,1)，

g'(x)=1x=1，得x=1，Q(1,0)，

此時(shí)|PQ|=2，故B正確；

當(dāng)x=1時(shí)，y'=e?1>0，

當(dāng)x=1e時(shí)，y'=e1e?e<0，

故存在唯一t∈(1e,1)使得y'=0，且et=1t，

當(dāng)0<x<t時(shí)，y'<0，此時(shí)y=f(x)?g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>t時(shí)，y'>0，此時(shí)y=f(x)?g(x)單調(diào)遞增，

所以x=t時(shí)，y=f(x)?g(x)取得極小值，也是最小值，

ymin=et?lnt=1t+t>2(∵t∈(1e,1))，故C錯(cuò)誤；

f(x)?g(mx)≥(m?1)x對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，

即ex+x?ln(mx)+mx=eln(mx)+ln(mx)對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，

設(shè)函數(shù)?(x)=ex17.【答案】AC

【解析】對(duì)于A，當(dāng)x=0時(shí)，f0=0e0=0，故A正確；

對(duì)于B，當(dāng)x<1時(shí)，f'(x)=(x+1)ex，

當(dāng)x<?1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)?1<x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f?1=?1e，

且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)=ex(x?3)x4，

當(dāng)1<x<3時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>3時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f3=e327，

則y=f(x)的大致圖像如圖：

所以，函數(shù)f(x)的極小值為?1e和e327，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C，若1<x1<3<x2，且f(x1)=f(x2)，

則ex1x13=ex2x23，兩邊取對(duì)數(shù)可得x1?3lnx1=x2?3lnx2，

設(shè)p(x)=x?3lnx，p'x=1?3x，

則1<x1<3<x2，且p(x1)=p(x2)，

不妨設(shè)q(x)=p(x)?p(9x)，x∈1,3，

易得q'(x)=p'(x)+9x2p'9x=3x?12>018.【答案】1+e2【解析】y'=?ln(2x)?1，令?ln(2x)?1=?2，則x=e2，切點(diǎn)19.【答案】827【解析】設(shè)gx=fxx則g'x=xf'x?2f所以f2故f2設(shè)?x則?'x=xf'所以f2則f2所以827故f2f3的取值范圍是827,20.【答案】2【解析】定義dAB=(x1?y2)2+(x2?y1)2，

即為點(diǎn)A(x1,y1)，B'(y2,x2)之間的距離，

若點(diǎn)A，B在曲線y=ln(x?a)+2上，

則點(diǎn)B'所在曲線為y=ln(x?a)+2關(guān)于y=x對(duì)稱的曲線上，

由dAB的最小值為2，

可得曲線y=ln(x?a)+2與其關(guān)于y=x對(duì)稱的曲線上的點(diǎn)的最短距離為2，

則由對(duì)稱性可得曲線y=ln(x?a)+2上的點(diǎn)到直線y=x的最小距離為1，

令f(x)=ln(x?a)+221.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=ax3+bx，所以g(x)=3ax2+b，

所以27a+3b=2727a+b=3，解得a=?13b=12，

所以f(x)=?13x3+12x；

(2)因?yàn)間(x)=?x2+12，所以g'(x)=?2x，

則y=g(x)在點(diǎn)(t,g(t))(t≠0)處的切線的斜率為?2t．

所以y=g(x)在點(diǎn)(t,12?t2)處的切線方程為y?(12?t2)=?2t(x?t)，

令x=0，得y=t2+12，令y=0，得x=t2+122t，

所以S(t)=12×(t2+12)?t2+122|t|，

易知S(?t)=S(t)，函數(shù)S(t)為偶函數(shù)，22.【解析】(1)函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，

因?yàn)閒(x)=2aln?x+34x由f(1)=?a?94得曲線y=f(x)

在點(diǎn)1,f(1)

處的切線方程為y+a+94即y=(a?32)x?2a?34

，

根據(jù)已知條件該處切線方程y=?x+b，

則a?32=?1?2a?3(2)f'(x)=若a≤0

，則當(dāng)x∈0,2

時(shí)，f'x<0

，當(dāng)x∈2,+∞

若0<a<3

，則當(dāng)x∈(2a3,2)

時(shí)，當(dāng)x∈(0,2a3)∪(2,+∞)

時(shí)，若a=3

，則f'x≥0

在0,+∞若a>3

，則當(dāng)x∈(2,2a3)

時(shí)，f'x<0

，當(dāng)x∈(0,2)∪(綜上所述，

當(dāng)a≤0

時(shí)，fx

的單調(diào)遞增區(qū)間為2,+∞

，單調(diào)遞減區(qū)間為0,2

當(dāng)0<a<3

時(shí)，fx

的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2a3),(2,+∞)

當(dāng)a=3

時(shí)，fx

的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞

當(dāng)a>3

時(shí)，fx

的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),(2a3,+∞)

23.【解析】：(1)當(dāng)a=80時(shí)，b=80，紙盒的底面是正方形，邊長(zhǎng)為80?2x，周長(zhǎng)為320?8x.

所以紙盒的側(cè)面積S(x)=(320?8x)x=?8x2+320x，其中x∈(0,40).

令S'(x)=0，得x=20，

所以當(dāng)x<20時(shí)，S'(x)>0，可知S(x)在區(qū)間(0,20)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>20時(shí)，S'(x)<0，可知S(x)在區(qū)間(20,40)上都單調(diào)遞減，

S(x)的最大值為S(x)max=S(20)=3200，

所以當(dāng)a=80時(shí)，紙盒側(cè)面積的最大值為3200平方厘米．

(2)紙盒的體積V=(a?2x)(b?2x)x，其中x∈0,b2，a≥b>0，且ab=6400.

因?yàn)?a?2x)(b?2x)=ab?2(a+b)x+4x2≤ab?4abx+4x2=4(x2?80x+1600)，

當(dāng)且僅當(dāng)以a=b=80時(shí)取等號(hào)，

所以x0,4040f'(x)+0?f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表可知，f(x)的極大值是f403=102400027，也是最大值．

所以當(dāng)a=b=80，且24.【解析】(1)證明：設(shè)

?x=ex?x?1

當(dāng)

x>0

時(shí)，

?'x>0

：當(dāng)

x<0

時(shí)，

?'x<0

.所以

?x

在

?∞,0

因此，

?x≥?0=0

，即(2)證明：由泰勒公式知

ex=1+x+x于是

e?x=1?x+x由①②得fg所以f即

fxx(3)解：

Fx=gF由基本不等式知，

ex+e?x2≥所以當(dāng)

a≤1

時(shí)，

t'(x)?1?a?0

，所以

F'x

在

R又因?yàn)?/p>

F'x

是奇函數(shù)，且

F'0所以當(dāng)

x>0

時(shí)，

F'x>0

；當(dāng)

x<0

時(shí)，

F'所以

Fx

在

?∞,0

上單調(diào)遞減，在

0,+∞

因此，

x=0

是

Fx

下面證明：當(dāng)

a>1

時(shí)，

x=0

不是

Fx

當(dāng)

a>1

時(shí)，